De asemenea, se poate observa că, dacă este necesară doar creșterea deplasării pentru a calcula modificarea vectorului forță internă, configurația de referință poate rămâne fie fixă ​​(formularea lagrangiană totală) fie actualizată periodic (formularea lagrangiană actualizată). De obicei, alegerea este dictată de dacă răspunsul constitutiv al materialului este mai ușor de descris în raport cu configurațiile originale sau actualizate. În funcție de această alegere, măsura de deformare se modifică și vor fi necesari termeni suplimentari în primul termen al Ec. 4 pentru a converti incrementul în gradient de deplasare într-un increment de deformare. Tensorul de solicitare utilizat trebuie să fie conjugat de lucru cu măsura deformării, iar componenta ratei de solicitare care este legată de deformarea materialului de către modelul constitutiv trebuie să fie independentă de rotațiile corpului rigid (Belytschko et al. 2000).
It may also be noted that if only the increment of displacement is required to compute the change in internal force vector, the reference configuration can either remain fixed (total Lagrangian formulation) or be updated periodically (updated Lagrangian formulation). Usually, the choice is dictated by whether the material constitutive response is easier to describe with respect to the original or updated configurations. Depending on this choice, the strain measure changes and additional terms will be needed in the first term of Eq. 4 to convert the increment in displacement gradient to an increment of strain. The stress tensor used has to be work conjugate to the strain measure, and the component of stress rate that is related to material deformation by the constitutive model has to be independent of rigid body rotations (Belytschko et al. 2000).

Atunci când există gradienți mari de deformare (de exemplu, deformații localizate în apropierea muchiei de tăiere), o analiză lagrangiană cu aceeași rețea duce la distorsiuni mari în elemente, ceea ce provoacă dificultăți de convergență pentru scheme implicite și pași mici de timp pentru scheme explicite. Din acest motiv, rețeaua va trebui să fie periodic regenerată și/sau netezită pentru simularea tăierii materialelor care sunt ductile. Regenerarea completă a rețelei se poate face prin însămânțarea nodurilor în regiuni cu gradienți înalți și folosind o schemă de generare a rețelei, cum ar fi triangulația Delaunay (Sekhon și Chenot 1993; Marusich și Ortiz 1995) sau prin specificarea dimensiunilor elementelor necesare de-a lungul punctelor de graniță și/sau interior și generarea unei rețele de „pavaj” (Madhavan și colab. 1996). Starea materialului (solicitare, deformare plastică, temperatură, și alte variabile istorice) este mapată de la rețeaua veche la rețeaua nouă printr-un pas de interpolare, numit și rezonare (care este banal pentru locurile în care sunt plasate noduri noi în punctele de integrare ale rețelei vechi). Folosind această abordare periodică de repoziționare și rezonare, Madhavan și colab. (1996) au arătat că prelucrarea materialelor ductile poate fi simulată fără a invoca vreun criteriu de defecțiune sau separare care separă așchia de piesa de prelucrat, demonstrând astfel că deformarea în jurul muchiei de tăiere la prelucrare este foarte asemănătoare cu deformația din jurul vârfului indentorului pană. Atunci când este cuplat cu algoritmi buni de repoziționare, acesta este cel mai eficient mod de a simula prelucrarea în condiții care conduc la modele periodice de deformare datorate benzilor sau fisurilor de forfecare și a materialelor cu modele constitutive complexe.
When there are large gradients in strain (e.g., localized deformations near the cutting edge), a Lagrangian analysis with the same mesh leads to large distortions in the elements, which causes convergence difficulties for implicit schemes and small time steps for explicit schemes. For this reason, the mesh will have to be periodically regenerated and/or smoothed for simulation of cutting of materials that are ductile. Complete regeneration of the mesh can be done by seeding nodes in regions of high gradients and using a mesh generation scheme such as Delaunay triangulation (Sekhon and Chenot 1993; Marusich and Ortiz 1995) or by specifying required element sizes along boundary and/or interior points and generating a “paver” mesh (Madhavan et al. 1996). The state of the material (stress, plastic strain, temperature, and other history variables) is mapped from the old mesh to the new mesh via an interpolation step, also called as rezoning (which is trivial for places where new nodes are placed at integration points of the old mesh). Using this periodic remeshing and rezoning approach, Madhavan et al. (1996) showed that machining of ductile materials can be simulated without invoking any failure or separation criterion that separates the chip from the workpiece, thereby demonstrating that the deformation around the cutting edge in machining is very similar to the deformation around the tip of awedge indenter. When coupled with good remeshing algorithms, this is the most efficient way to simulate machining under conditions that lead to periodic deformation patterns due to shear banding or cracking and of materials with complex constitutive models.

Pentru a evita complexitatea dezvoltării unui algoritm de repoziționare bun și costul de calcul al rezonării, o abordare mai simplă adoptată adesea este utilizarea unei linii de separare de-a lungul căreia materialul așchiei este separat de piesa de prelucrat. Separarea este inițiată atunci când este îndeplinit un criteriu bazat pe deformarea plastică, deteriorare, distanța până la muchia de tăiere etc. (Strenkowski și Carroll 1985; Shih și colab. 1990; Zhang și Bagchi 1994; Guo și Dornfeld 2000). O linie de despărțire poate fi modelată folosind elemente de interfață care leagă nodurile coincidente până se separă. Porțiunea piesei de prelucrat care formează așchia și porțiunea care formează suprafața prelucrată sunt modelate ca regiuni separate care au două seturi de noduri coincidente (situate în locații identice) de-a lungul graniței lor comune. Elementele de interfață leagă sau constrâng inițial nodurile coincidente să se miște împreună. Când criteriul de separare este îndeplinit, constrângerile de interfață sunt eliminate și nodurile devin libere să se deplaseze pe diferite căi. O variantă a acestei tehnici modelează un rând subțire de elemente între cele două porțiuni ale piesei de prelucrat care formează suprafața prelucrată și așchia, care se șterg unul câte unul, atunci când este îndeplinit criteriul de ștergere a elementului. Problema cu abordarea liniei de despărțire este că criteriul de separare este arbitrar, ceea ce duce la incertitudine în ceea ce privește forțele de prelucrare, solicitările de suprafață prelucrate, temperatura interfeței etc. (Huang și Black 1996; Zhang 1999). În plus, criteriul de separare nu rezolvă problemele cauzate de deformările mari localizate în alte regiuni, cum ar fi zona de forfecare secundară și de-a lungul benzilor de forfecare.
To avoid the complexity of developing a good remeshing algorithm, and the computational cost of rezoning, a simpler approach adopted often is to use a parting line along which the chip material is separated from the workpiece. Separation is initiated when a criterion based on plastic strain, damage, distance to the cutting edge, etc., is satisfied (Strenkowski and Carroll 1985; Shih et al. 1990; Zhang and Bagchi 1994; Guo and Dornfeld 2000). A parting line can be modeled using interface elements that tie coincident nodes together till they separate. The portion of the workpiece that forms the chip and the portion that forms the machined surface are modeled as separate regions that have two sets of coincident nodes (located in identical locations) along their common boundary. The interface elements initially tie or constrain the coincident nodes to move together. When the separation criterion is satisfied, the interface constraints are removed and the nodes become free to move along different paths. A variant of this technique models a thin row of elements between the two portions of the workpiece that form the machined surface and the chip, that get deleted one by one, when the element deletion criterion is satisfied. The problem with the parting line approach is that the separation criterion is arbitrary, which leads to uncertainty in machining forces, machined surface stresses, interface temperature, etc. (Huang and Black 1996; Zhang 1999). Additionally, the separation criterion does not solve problems caused by localized high strains in other regions, such as the secondary shear zone and along shear bands.

În ciuda acestor neajunsuri, abordarea liniei de despărțire poate fi cea mai potrivită metodă pentru unele situații, de exemplu, pentru a studia formarea așchiilor de materiale fragile sau materiale eterogene. Chuzoy și colab. (2003) au modelat distribuția spațială a fazelor în cadrul unei piese de prelucrat din fontă ductilă, au folosit diferite proprietăți mecanice pentru diferitele faze și au simulat prelucrarea. Deoarece fierul ductil are o ductilitate limitată, ei au folosit o abordare de ștergere a elementelor pentru separarea modelului de așchie. Ei au raportat potriviri bune între rezultatele experimentale și cele de simulare pentru morfologia așchiilor și forțele de tăiere. O observație interesantă care a fost reprodusă prin simularea lor a fost că forța de tăiere pentru prelucrarea fierului ductil este mai mică decât cea pentru prelucrarea fie feritei, fie perlitei în aceleași condiții. Obikawa și Usui (1996) au modelat prelucrarea Ti64 cu un criteriu de defectare a elementului și au interpretat rezultatele lor ca indicând faptul că formarea așchiilor în dinți de ferăstrău la viteze convenționale de tăiere este inițiată prin fisurare, în timp ce benzile de forfecare adiabatică pot fi mecanismul de control la viteze mari.
Despite these shortcomings, the parting line approach may be the most appropriate method for some situations, for instance, to study the chip formation of brittle materials or heterogeneous materials. Chuzoy et al. (2003) modeled the spatial distribution of phases within a workpiece of ductile cast iron, used different mechanical properties for the different phases, and simulated machining. Since ductile iron has limited ductility, they utilized an element deletion approach to model chip separation. They reported good matches between experimental and simulation results for the chip morphology and cutting forces. An interesting observation that was reproduced by their simulation was that the cutting force for machining ductile iron is less than that for machining either ferrite or pearlite under the same conditions. Obikawa and Usui (1996) modeled the machining of Ti64 with an element failure criterion and interpreted their results as indicating that the sawtooth chip formation at conventional cutting speeds is initiated by cracking, while adiabatic shear banding may be the controlling mechanism at high speeds.

Simoneau et al. (2006, 2007) au efectuat un studiu cuprinzător pentru a înțelege interrelația dintre microstructura materialului și omogenitatea deformării. Ei au descoperit că rezistența mai mică și ductilitatea mai mare a fazei de ferită au făcut ca deformarea să fie din ce în ce mai localizată în faza de ferită, pe măsură ce adâncimea de tăiere scade, ducând la formarea de așchii de „extrudare cu cvasi-forfecare”. Tipul de analiză folosit de ei a fost o analiză lagrangiană folosind ABAQUS/Explicit, împreună cu ștergerea elementului pentru a realiza separarea așchiei de material. Având în vedere capacitatea simulării lagrangiane de a păstra tranzițiile ascuțite ale materialelor dacă nu are loc rezonificare sau deplasare laterală, dar necesitatea de a separa așchia, aceasta este probabil cea mai eficientă procedură de soluție care satisface scopul propus de a studia formarea cipului.
Simoneau et al. (2006, 2007) carried out a comprehensive study to understand the interrelationship between material microstructure and homogeneity of deformation. They found that the lower strength and higher ductility of the ferrite phase caused the deformation to be increasingly localized within the ferrite phase as the depth of cut decreases, leading to the formation of “quasi-shear extrusion” chips. The type of analysis used by them was a Lagrangian analysis using ABAQUS/Explicit, along with element deletion to accomplish separation of the chip from the material. Given the ability of the Lagrangian simulation to preserve sharp material transitions if no rezoning or advection occurs, but the need to separate the chip, this is probably the most efficient solution procedure that satisfies the intended purpose of studying chip formation.