Pentru a face față analizei și sintezei toleranței cu o diagramă a toleranței, multe modele matematice au fost dezvoltate în ultimii 30 de ani. Mai multe sisteme de grafică a toleranțelor asistate de calculator sunt utilizate pentru a efectua eficient calculele pentru planificarea dimensională și pentru a ajusta în mod economic și rezonabil toleranțele de lucru pentru fiecare operație de prelucrare din proces.
In order to deal with tolerance analysis and tolerance synthesis with a tolerance charting, many mathematical models had been developed in the last 30 years. Several computer-aided tolerance charting systems are used to perform efficiently the calculations for dimensional planning and to adjust economically and reasonably the working tolerances for each machining operation in the process.

Metoda timpurie de graficare a toleranței asistată de computer doar a computerizat abordările manuale de diagramare a toleranței. Pentru a dezvolta o metodă sistematică, eficientă de diagramă de toleranță, este necesar să se stabilească câteva modele matematice pentru diagramele de toleranță. În 1988, Tang și Davies au introdus o abordare matrice-arbore-lanț pentru graficarea toleranței asistată de computer (Tang și Davies 1988). Efectuând o serie de operații asupra matricei, s-au descoperit lanțurile dimensionale și alte relații dintre o dimensiune și alte dimensiuni aferente. Acest model matematic a reamintit interesul pentru diagrama toleranței în rândul cercetătorilor din întreaga lume. După aceea, au fost dezvoltate multe modele matematice reprezentând diagramele de toleranță. Irani și co. au propus o reprezentare grafică a secvenței de prelucrare în diagramele de toleranță în 1989. Schemele modelului și schemele de îndepărtare a adaosurilor au fost toate reprezentate grafic. Algoritmul lor teoretic-graf a eliminat necesitatea menținerii dimensiunilor de echilibru, așa cum s-a făcut în schema convențională. Whybrew și colab. au introdus o abordare teoretică-graf a diagramelor de toleranță în 1990 (Whybrew et al. 1990). Au fost prezentate două abordări pentru găsirea traseului de la o față tăiată la suprafața originală, adică o diagramă arbore înrădăcinat și o metodă de tabulare. A.Y.C. Nee și A.S. Kumar au prezentat un sistem bazat pe reguli pentru graficarea toleranței unghiulare în 1992. În anul următor, B.K.A. Ngoi și C.K. Chua au dezvoltat o metodă matriceală de derivare a dimensiunilor și toleranțelor în timpul graficării toleranțelor. P. Ji a prezentat o reprezentare teoretică arbore pentru diagrama de toleranță (Ji 1993a). Tang G.R. și colab. au prezentat o abordare listă a diagramei de toleranță (Tang et al. 1993). Anul 1993 a câștigat cel mai popular interes în diagramele de toleranță asistate de computer.
Early computer-aided tolerance charting method just computerized the manual tolerance charting approaches. In order to develop a systematic, efficient method for tolerance charting, it is necessary to establish some mathematical models for tolerance charts. In 1988, Tang and Davies introduced a matrix-tree-chain approach for computer-aided tolerance charting (Tang and Davies 1988). By performing a series of operations on the matrix, the dimensional chains and other relationship between a dimension and other related dimensions were found out. This mathematical model recalled the interest on tolerance charting among researchers over the world. After that, many mathematical models representing the tolerance charts had been developed. Irani et al. proposed a graph representation of the machining sequence in tolerance charts in 1989 (Irani et al. 1989). The blueprint schematics and the stock removal schematics were all represented with the graph representation. Their graph-theoretic algorithm eliminated the need to maintain balance dimensions, as was done in the conventional scheme. Whybrew et al. introduced a graph-theoretic approach to tolerance charting in 1990 (Whybrew et al. 1990). Two approaches to find the route from a cut face to the original surface were presented, that is, a rooted tree diagram and a tabulation method. A. Y. C. Nee and A. S. Kumar presented a rule-based system for angular tolerance charting in 1992 (Nee and Kumar 1992). In the following year, B. K. A. Ngoi and C. K. Chua developed a matrix method of deriving the dimensions and tolerances during tolerance charting (Ngoi and Chua 1993). P. Ji presented a tree-theoretic representation for tolerance chart (Ji 1993a). Tang G. R. et al. presented a list approach to the tolerance chart (Tang et al. 1993). The year of 1993 gained the most popular interest in computer-aided tolerance charting.

În ceea ce privește problemele de alocare a toleranței, s-au folosit adesea abordările de optimizare euristică sau matematică. Chase şi colab. (1990) au prezentat o abordare a alocării toleranței pentru asamblarea mecanică bazată pe relația discretă cost-toleranță. Au fost dezvoltate trei metode, adică căutare exhaustivă, căutare univariată și programare pătratică secvențială, pentru a selecta cel mai economic proces de fabricație pentru fiecare dimensiune dintr-un set de procese alternative. Dong și Soom (1990) au folosit un sistem expert pentru a genera automat funcțiile obiectivului de optimizare și pentru a asocia fiecare toleranță de proiectare cu un mod adecvat de precizie a costurilor de producție. Formularea generală a modelului de toleranță optimă a fost introdusă pentru lanțuri dimensionale multiple asociate. Lee și Woo (1989) au formulat alocarea toleranței pentru asamblare ca o problemă de optimizare discretă. Pentru o selecție optimă a toleranței dintr-un model discret dat care implică diferite procese de fabricație, a fost dezvoltat un algoritm de ramificare și legat pentru a asigura o selecție optimă. Gadallah și El Maraghy ​​(1994) au dezvoltat un algoritm care utilizează natura combinatorie a matricelor ortogonale pentru a atribui toleranțe dimensionale și pentru a selecta procesul corespunzător. Kopardekar și Anand (1995) au prezentat o abordare bazată pe rețea neuronală pentru problema de alocare a toleranței, luând în considerare capacitățile procesului și schimbările medii. Lin şi colab. (1997) au studiat problema de alocare a toleranței de asamblare pe baza simulării Monte Carlo. Ji şi colab. (2000) au propus o abordare cuprinzătoare de evaluare fuzzy pentru a evalua prelucrabilitatea unei piese și au dezvoltat un algoritm genetic pentru a optimiza modelul. Chen și Fischer (2000) au folosit și metoda algoritmului genetic în tratarea problemelor de alocare a toleranței pentru asamblare. Ming și Mak (2001) au folosit algoritmul genetic pentru a genera toleranța optimă pentru fiecare proces de fabricație și au adoptat rețeaua neuronală Hopfield pentru a selecta operațiunile de fabricație.
As to the tolerance allocation problems, the heuristic or mathematical optimization approaches were often used. Chase et al. (1990) presented an approach to tolerance allocation for mechanical assembly based on the discrete cost–tolerance relationship. Three methods, that is, exhaustive search, univariate search, and sequential quadratic programming, were developed for selecting the most economical manufacturing process for each dimension from a set of alternative processes. Dong and Soom (1990) used an expert system to automatically generate the optimization objective functions and to associate each design tolerance with an appropriate production cost-precision mode. The general formulation of optimal tolerance design was introduced for multiple related dimensional chains. Lee and Woo (1989) formulated the tolerance allocation for assembly as a discrete optimization problem. For an optimum selection of tolerance from a given discrete model involving various manufacturing processes, a branch and bound algorithm was developed to ensure optimum selection. Gadallah and El Maraghy (1994) developed an algorithm using the combinatorial nature of orthogonal arrays to assign dimensional tolerances and to select corresponding process. Kopardekar and Anand (1995) presented a neural network-based approach for the tolerance allocation problem considering process capabilities and mean shifts. Lin et al. (1997) studied the assembly tolerance allocation problem based on the Monte Carlo simulation. Ji et al. (2000) proposed a fuzzy comprehensive evaluation approach to evaluate the machinability of a part and developed a genetic algorithm to optimize the model. Chen and Fischer (2000) also used the genetic algorithm method in dealing with tolerance allocation problems for assembly. Ming and Mak (2001) used the genetic algorithm to generate the optimal tolerance for each manufacturing process and adopted the Hopfield neural network to select the manufacturing operations.

El a dezvoltat un program de optimizare pentru a determina setul optim de dimensiuni și toleranțe prin combinarea a trei funcții obiectiv bazate pe cost (He 1991). Pentru optimizarea concomitentă a toleranțelor de proiectare și de fabricație, Zhang și colab. (1992) au prezentat o metodă de recoacere simulată. Al-ansary și Deiab (1997) au formulat un model de optimizare multivariabilă neliniar rezolvat cu un algoritm genetic. Jeang și Hun (2000) au prezentat o metodă pentru a determina mediile procesului și toleranțele simultan și pentru a le ajusta secvențial, luând în considerare deviația sau deteriorarea procesului. Li şi colab. (2000) au folosit metoda algoritmului genetic pentru a găsi setul optim de date de prelucrare și toleranțele de prelucrare simultan.
He developed an optimization program to determine the optimal set of dimensions and tolerances by combining three cost-based objective functions (He 1991). For concurrent optimization of both design and manufacturing tolerances, Zhang et al. (1992) presented a simulated annealing method. Al-ansary and Deiab (1997) formulated a nonlinear multi-variable optimization model solved with a genetic algorithm. Jeang and Hun (2000) presented a method to determine the process means and tolerances simultaneously and to adjust them sequentially by considering process drift or deterioration. Li et al. (2000) used the genetic algorithm method to find the optimal machining datum set and machining tolerances simultaneously.

De fapt, graficul de toleranță este cel mai eficient instrument de alocare a toleranței procesului. În primele zile, alocarea toleranței procesului a fost realizată cu metoda încercare și eroare cu ajutorul diagramelor de toleranță (Ahluwalia și Karolin 1984). Toleranțele inițiale au fost atribuite tăierilor de prelucrare. Stivuirea toleranței a fost apoi calculată pentru a verifica dacă cerințele modelului au fost îndeplinite sau nu. Evident că soluțiile optime nu s-au obținut atât de des cu o astfel de metodă euristică. În anii 1990, au fost dezvoltate unele abordări avansate de alocare a toleranței. A fost dezvoltat un model de programare liniară pentru echilibrarea toleranței (Ngoi 1992). Un alt model de programare liniară directă a fost dezvoltat luând în considerare dimensiunile modelului și capacitățile procesului (Ji 1993b). O procedură de căutare în gradient a fost propusă prin formularea alocării toleranței ca o problemă de optimizare pentru a minimiza costul sub constrângerile capacităților de proiectare, prelucrare și proces (Nurre și Vedati 1998). O diagramă de toleranță bazată pe caracteristici a fost utilizată în alocarea alternativă a toleranței pentru prelucrarea pieselor (Tseng și Terng 1999).
In fact, tolerance charting is the most effective tool for process tolerance allocation. In early days, process tolerance allocation was accomplished with the trial and error method with the aids of tolerance charts (Ahluwalia and Karolin 1984). Initial tolerances were assigned to the machining cuts. The tolerance stackup was then calculated to check whether the blueprint requirements were met or not. Obviously the optimal solutions were not so often obtained with such a heuristic method. In the 1990s, some advanced tolerance allocation approaches were developed. A linear programming model was developed for tolerance balancing (Ngoi 1992). Another direct linear programming model was developed on considering the blueprint dimensions and the process capabilities (Ji 1993b). A gradient search procedure was proposed by formulating the tolerance allocation as an optimization problem to minimize the cost under the constraints of design, machining, and process capabilities (Nurre and Vedati 1998). A feature-based tolerance chart was used in alternative tolerance allocation for machining parts (Tseng and Terng 1999).

Deoarece majoritatea modelelor problemelor de alocare a toleranței au fost formulate cu costul de fabricație ca funcții obiectiv, relația cost-toleranță a devenit una dintre cele mai importante subiecte pentru problemele de alocare a toleranței. Au fost propuse diverse funcții pentru a descrie relația cost-toleranță și au fost aplicate diverse metode de optimizare (Chase și colab. 1990; Wu et al. 1988). Dong şi colab. (1994) au dezvoltat câteva modele noi de cost-toleranță și o formulare de optimizare a toleranței unui model hibrid. Aceste modele cost-toleranță au fost toate formulate ca curbe continue pe baza datelor colectate empiric de cost-toleranță. În practică, datele empirice de toleranță la costuri ar trebui obținute direct de la atelierele de mașini și înregistrate în forma originală de puncte discrete. De fapt, datele empirice cost- toleranță ar trebui să fie obținute direct de la atelierele de mașini și înregistrate în forma originală de puncte discrete. De fapt, modelul cost-toleranță poate fi derivat ca un model de interval discret bazat pe gradele de toleranță care pot fi atinse cu o anumită tăietură de prelucrare.
Because most models of tolerance allocation problems were formulated with the manufacturing cost as the objective functions, the cost–tolerance relationship became one of the most important issues for the tolerance allocation problems. Various functions had been proposed to describe the cost–tolerance relationship and various optimization methods had been applied (Chase et al. 1990; Wu et al. 1988). Dong et al. (1994) developed several new cost–tolerance models and a hybrid-model tolerance optimization formulation. These cost–tolerance models were all formulated as continuous curves based on the collected empirical cost–tolerance data. In practice, the empirical cost–tolerance data should be directly obtained from machine shops and recorded in the original form of discrete points. In fact, the cost–tolerance model can be derived as a discrete interval model based on the tolerance grades that can be achieved with a certain machining cuts.

Aici, în sistemul CAATC, modelul matematic al metodei algebrice este folosit pentru a calcula dimensiunile de lucru și pentru a verifica stivuirile de toleranță. Un model de suprafață este folosit pentru a calcula modificarea suprafeței după ce o tăiere la mașină este efectuată pe suprafață. Cu relația cost-toleranță, se formulează un model knapsack cu variante multiple pentru problema de alocare a toleranței. Algoritmul genetic este folosit pentru a rezolva problema knapsack-ului. În cele din urmă, toleranțele sunt alocate optim pentru fiecare dimensiune de lucru. Și este ușor de verificat stivuirea toleranțelor. Figura 1 prezintă relațiile dintre diferitele modele matematice.
Here in the CAATC system, the mathematical model of algebraic method is employed to calculate the working dimensions and to verify the tolerance stack-ups. A surface model is employed to calculate the surface change after a machine cut is carried on the surface. With the cost–tolerance relationship, a multi-choice knapsack model is formulated for the tolerance allocation problem. The genetic algorithm is used to solve the knapsack problem. Finally, the tolerances are optimally allocated to each work dimensions. And it is easy to check the tolerance stack-up. Figure 1 shows the relationships between the different mathematical models. v