Multe modele teoretice și metode de modelare au fost introduse în ultimii 50 de ani datorită evoluției continue a articulațiilor interspațiale și a aplicațiilor manipulatoarelor conforme. De la bun început, modelarea articulațiilor interspațiale din ecuația clasică a momentului de încovoiere a fost suficientă atunci când se aștepta ca articulațiile interspațiale să furnizeze mișcări mici de deflecții. Pe măsură ce dorința de deflectare mare a crescut, modelele analitice care se concentrează pe comportamentul de deflectare neliniară a articulațiilor interspațiale au fost introduse până la sfârșitul anilor 1960. Când în anii 1990 în industria semiconductoarelor au fost necesare manipulatoare conforme de înaltă precizie, evoluția articulațiilor interspațiale balama-crestătură a stimulat eforturile de a găsi abordări de modelare mai exacte. Aceste eforturi continuă până astăzi datorită noilor articulații interspațiale pe bază de grindă care au fost introduse pentru a furniza mișcări mari de deflecție. După înțelegerea limitărilor articulațiilor interspațiale și a constrângerilor de proiectare, această secțiune prezintă o bibliotecă cuprinzătoare de modele teoretice și metode de modelare care pot fi utile pentru modelarea diferitelor tipuri de articulații interspațiale.

Teoremele deflecției mici

Arcul lamelar este considerat cea mai timpurie formă a unei articulații interspațiale. Poate fi modelat ca o grindă în consolă pe baza legii Bernoulli-Euler. Din Ec. 1, curbura grinzii datorată unui moment încovoietor poate fi reprezentată în coordonate dreptunghiulare

unde f(x,y) = [1 + (dy/dx)²]^3/2. Pe baza ipotezei de deflecție mică, pătratul pantei, (dy/dx)², este aproximat cu zero. Această ipoteză permite f(x,y) = 1 și conduce la ecuația clasică curbură-grindă-moment ca

Pentru o grindă în consolă supusă unei sarcini de capăt prezentată în Fig. 14a, însumarea momentului dă M = P(l - x). Prin rezolvarea Ec. 13 cu M = P(l - x), deflecția maximă de-a lungul axei-y are loc la x = l și se exprimă astfel:

Prin înlocuirea Ec. 2 în Ec. 14 cu M = Pl și c = h/2, efortul maxim este dat de

Pentru mișcarea pură de translație așa cum se arată în Fig. 14b, însumarea momentului dă M = P(l-s-x). Prin rezolvarea Ec. 13 cu M= P(l-s-x), mișcarea maximă de translație de-a lungul axei-y, care are loc la x = l și s = l/2, este exprimată de

Folosind Ec. 2 cu M = Pl și c = h/2, solicitarea maximă este dată de

Ecuația mișcării de translație pură exprimată în Ec. 16 este utilă pentru găsirea rigidității la translație a unui mecanism cu arc liniar paralel prezentat în Fig. 15a. Pentru a evita mișcarea de torsiune parazită, acest mecanism conform folosește două arcuri lamelare paralele pentru a obține o mișcare pură de translație (sau prismatică) de-a lungul axei y. Pe baza acelorași notații utilizate pentru a defini geometriile unei grinzi în consolă, prezentate în Fig. 11, rigiditatea la translație de-a lungul axei y, KδyPy, care este dublă din Ec. 16, se exprimă ca

Pentru a obține o mișcare de translație maximă de la o sarcină dată, Py, punctul de încărcare trebuie să fie situat la l/2 distanță de bază, așa cum este ilustrat în Fig. 15b. Deși rigiditatea este dublată datorită configurației paralele, cantitatea de deflecție rămâne neschimbată, iar solicitarea maximă este similară cu o configurație de arc arc-lamelar, care este dată în Ec. 17. Pe baza Ec. 18 cu Iyy, translația de-a lungul axei x, KδxPx , este exprimată ca

Rigiditatea la torsiune în jurul axelor x și z este exprimată de

Orice mișcare de translație furnizată de mecanismul arcului liniar va fi însoțită de o variație parazită a înălțimii, λ. Figura 16a ilustrează un mecanism cu arc liniar compus care poate elimina sau minimiza această eroare. Folosind două mecanisme de arc liniar conectate în serie, variația parazită a înălțimii platformei mobile poate fi anulată de variația parazită a înălțimii platformei intermediare. Datorită conexiunii în serie, rigiditatea la translație este jumătate din mecanismul arcului liniar. Figura 16b prezintă un mecanism dublu cu arc liniar compus, care este un concept simetric al unui mecanism cu arc liniar compus. A fost introdus pentru a obține o mișcare rectilinie superioară și pentru a reduce sensibilitatea la perturbații externe prin conceptul simetric. Prin urmare, rigiditatea la translație este dublă față de mecanismul cu arc liniar compus unic. Tabelul 5 listează rigiditatea la translație de-a lungul axei-y și solicitarea maximă pentru ambele tipuri de mecanisme cu arc liniar compus.

Descoperirea balamalei cu crestătură permite ca mecanismele conforme să fie fabricate în forme monolitice (o singură piesă) unde nu este nevoie de asamblare. Prin urmare, erorile de asamblare pot fi minimizate sau evitate pentru a face manipulatoarele conforme mai deterministe. Cea mai simplă formă de balama cu crestătură prezentată în Fig. 17a are un profil de formă circulară, care încorporează o decupare circulară pe ambele părți ale semifabricatului pentru a forma o secțiune cu gât în ​​jos. Această secțiune cu gâtul în jos, care servește ca centru fix de rotație, prezintă o mișcare de rotație pură într-un interval mic dedicat. În 1965, Paras și Weisbord (1965) au prezentat o analiză completă a unor astfel de balamale cu crestătură.
Presupunând că raportul h/(2R + t) este aproape de unitate, ceea ce face crestăturile aproape semicirculare, rigiditatea unghiulară a balamalei cu crestătură este exprimată de

Pentru forme circulare definite prin t < R < 5 t, rigiditatea unghiulară este exprimată ca

unde factorul de corecție, k, este dat de

Tensiunea maximă este determinată de

unde factorul de corecție a tensiunii, kt, este dat de

Mecanismele monolitice conforme cu mișcare de translație prezentate în Fig. 18 sunt construite prin articulații interspațiale balama-crestătură circulare. Spre deosebire de versiunile cu arc-lamelar, fiecare membru este format dintr-o pereche de articulații balama-crestătură conectate în serie. Tabelul 6 prezintă rigiditatea la translație și solicitarea maximă a diferitelor forme de tip balama-crestătură a mecanismelor liniare.

Balamalele cu crestături de formă circulară conduc de obicei la concentrații mari de tensiuni în timpul operațiunilor. Ulterior, au fost explorate diferite tipuri de forme pentru a evita astfel de solicitări de încovoiere mari (Xu și King 1996; Tseytlin 2002; Lobontiu și colab. 2002; Lobontiu și colab. 2004; Yong și colab. 2008). Exemple de aceste articulații interspațiale includ forma eliptică prezentată în Fig. 17b și balamaua cu formă de colț rotunjit prezentată în Fig. 17c. Pe baza literaturii anterioare (Lobontiu 1962), conformitatea unghiulară a balamalei cu crestătură eliptică poate fi exprimată ca

Pentru balamaua-crestătură cu colț rotunjit, conformitatea unghiulară este dată de

Au fost efectuate multe studii pentru a găsi formele optime eliptice și cu colț rotunjit. Figura 19 prezintă rezultatele obținute dintr-o investigație (Henein 2006) care a prezentat un grafic ce trasează solicitările obținute din balamaua de formă eliptică și, respectiv, altele din balamaua cu formă de colț rotunjit. Pentru a evita concentrarea solicitărilor, rezultatele investigației sugerează că raportul de elipsă, ry/rx, al balamalei de formă eliptică nu trebuie să depășească 0,025. Rezultatele investigației sugerează, de asemenea, că raza rotunjirii, r/tmin, trebuie să se mențină sub doi. Prin compararea nivelului de solicitare normalizată, σ/Eα, între ambele grafice, nivelul de solicitare al balamalei de formă optimizată cu colț rotunjit este cu 10% mai mic decât balamaua de formă eliptică, de R = 2tmin și de 5 ori mai mic decât o balama cu formă circulară. Insă, este încă cu 13 % mai mare decât grinda prismatică ideală.

Teoremele deflecției mari neliniare

Pe măsură ce manipulatoarele conforme au progresat la o deplasare mai mare, forma ideală a grinzii a devenit o soluție promițătoare datorită solicitării sale reduse, dar caracteristicilor de deflecție mari. Însă, furnizarea unei deflecțiuni mari înseamnă că aceste articulații interspațiale vor experimenta o deplasare parazită în punctul de pivotare și vor prezenta caracteristici neliniare. Figura 20a arată că, cu un punct de pivotare fix, calea de deflecție ideală este un arc concentric în jurul punctului de pivotare. Odată ce există o deplasare în punctul de pivotare, traseul de deflecție este modificat provocând o variație între poziția reală și cea deflectată vizată. Această deplasare este cunoscută în mod obișnuit ca deplsare parazită.

Efectele deplasării parazitare sunt explicate de legea Bernoulli-Euler exprimată în Ec. 12. În teoria deflecțiunii mici, panta dy/dx se presupune a fi zero, rezultând în derivarea ecuației clasice moment-încovoiere. Însă, această ipoteză este invalidă pentru analiza deflecțiunii mari. Luând în considerare f(x, y) din Ec. 12, Tabelul 7 prezintă valorile din f(x, y) datorate modificărilor pantei. Când unghiul de deflecție este mic, efectele lui f(x, y) sunt neglijabile. La 26,6^o , valoarea lui f(x, y) crește la 40 %. Până la 45^o , valoarea lui f(x, y) crește de până la 2,8 ori mai mare decât valoarea inițială. În consecință, această investigație arată importanța lui f(x, y) deoarece va ține cont de comportamentul de neliniaritate al deflecției mari.

Pentru analiza deflecțiunii mari, conformitatea unghiulară a unei grinzi în consolă supusă unei încărcări de moment la capătul liber (Fig. 21c) poate fi derivată direct din Ec. 1 și scrisă ca

Prin aplicarea regulii produsului vectorial pe Ec. 1, deflecția de-a lungul axelor x și y poate fi exprimată ca

Ecuația 29 poate fi utilizată pentru a găsi conformitatea unghiulară a unui pivot cu arc încrucișat 1-DOF prezentat în Fig. 21a, considerându-l ca o pereche de grinzi în consolă supuse unei încărcări de moment extern la capătul liber.

Pentru analizarea unei grinzi în consolă supusă unei sarcini punctuale perpendiculare la capătul liber (Fig. 22a), momentul încovoietor este exprimat ca

Prin integrarea Ec. 32 prin s rezultă

Pentru a rezolva Ec. 34 pot fi folosite integrale eliptice sau integrarea numerică. Deoarece există multe exemple și surse (Howell 2001; Frisch 1962; Byrd și Fredman 1954), această secțiune nu va merge mai departe pentru a obține soluția în formă-închisă.

Model de corp pseudo-rigid

Pentru analiza deflecțiunii mari, integralele eliptice sau integrarea numerică pot oferi soluții exacte în formă închisă. Însă, se observă că aceste metode sunt greoaie în timpul etapei de proiectare a mecanismului conform. Pentru a face analiza deflecțiunii mari neliniare ușor de prezis, dar exactă, Howell (2001) a introdus o metodă de aproximare cunoscută sub numele de modelare Pseudo-Rigid-Body (PRB).

Analiza oricărei articulații interspațiale se bazează pe percepția că deflecția este generată în raport cu un punct de pivot. În modelarea PRB, acest punct de pivot este predefinit pe baza tipurilor de încărcare și a naturii articulației interspațiale. O altă unicitate a acestei metode este un arc de torsiune, K, care este atașat la fiecare pivot. Acest arc guvernează rigiditatea la torsiune a articulației interspațiale. Revizuiți problema unei grinzi în consolă supusă unei încărcări punctuale perpendiculare la capătul liber. Figura 22b prezintă reprezentarea echivalentă a modelului PRB cu un pivot caracteristic și o rază caracteristică care definește calea de deflecție. Pe baza modelării PRB (Howell 2001), deflecția de-a lungul axelor x și y poate fi aproximată prin

unde γ = 0,85 pentru acest caz specific. Pentru o predicție exactă folosind aceste ecuații, unghiul de deflecție trebuie să se mențină sub 64,3^o. Cu arcul de torsiune care guvernează rigiditatea unghiulară, forța și unghiul sunt legate de un cuplu aplicat în jurul pivotului caracteristic. Prin urmare, relația dintre sarcină și unghi este dată de

unde K este constanta arcului și ϕ reprezintă unghiul sarcinii (de exemplu, sarcina verticală dă ϕ = π/2 ). Constanta arcului este exprimată de

unde β = 2,25 pentru acest caz specific. Pentru alte cazuri de configurații sau condiții de încărcare, metoda PRB oferă reprezentare, abordare de modelare și parametri specifici pentru fiecare caz. Câteva exemple sunt prezentate în Fig. 23 în care fiecare configurație individuală sau condiție de încărcare are o reprezentare specifică de modelare PRB.

În cazul unei configurații de pivot interspațial de lungime mică prezentată în Fig. 23a, articulația interspațială este cuplată cu o legătură rigidă pentru a amplifica deflecția. Pe baza modelării PRB (Howell 2001), deflecția de-a lungul axelor-x și -y poate fi aproximată de

unde l reprezintă lungimea articulației interspațiale și L reprezintă lungimea legăturii-rigide. Relația dintre sarcină și unghi este dată de

unde K este exprimat în Ec. 38 cu β = 1. Pentru o analiză exactă, L >> l trebuie să fie satisfăcută, de exemplu, L trebuie să fie de cel puțin 10 ori mai mare ca l.

Pentru o grindă în consolă cu mișcare de translație pură, acest caz poate fi modelat ca o grindă în consolă ghidată fix, prezentată în Fig. 23b. Pe baza modelării PRB (Howell 2001), deflecția de-a lungul axelor x și y poate fi aproximată de

unde γ = 0,8517 pentru acest caz specific cu o sarcină verticală constantă și un moment de reacție. Constanta arcului pentru fiecare arc de torsiune este dată de

unde rigiditatea caracteristică, KΘ, este 2,67617 pentru sarcină verticală constantă.

În cazul unei grinzi cu pârghie în consolă supusă unei încărcări de moment la capătul liber prezentat în Fig. 23c, deflecția de-a lungul axei-x și -y poate fi aproximată folosind ecuațiile 35 și, respectiv, 36, cu γ = 0,7346. În acest caz, constanta arcului este exprimată în Ec. 38 cu β = 1,5164. Există și alte cazuri care au fost prezentate în literatura anterioară (Howell 2001; Howell și colab. 1996; Howell și Midha 1994). Această secțiune oferă doar câteva cazuri, iar cazurile rămase pot fi găsite din aceste surse. O notă importantă este că metoda de modelare PRB oferă soluții simpliste și exacte pentru analizarea diferitelor configurații interspațiale și condiții de încărcare. Dar, cea mai semnificativă contribuție este că metoda de modelare PRB a legat mecanismul clasic de legătură și mecanismul conform împreună.
Folosind conceptul unic de adăugare a unui arc de torsiune la fiecare punct de pivot pentru a descrie rigiditatea unghiulară, cunoașterea mecanismului cu corp rigid poate fi folosită pentru a proiecta un mecanism conform.

Model semi-analitic

Metoda de modelare PRB are locații specifice pentru a plasa punctele de pivotare, valori specifice pentru constanta arcului de torsiune și reprezentări specifice pentru fiecare configurație interspațială și condiții de încărcare. Ca rezultat, orice judecată greșită și selecție inadecvată a acestor modele PRB conduc adesea la rezultate inexacte, în special pentru analiza deflecției mari. Figura 24 prezintă diferite tipuri de articulații interspațiale găsite într-un manipulator conform. Analizarea fiecărei articulații interspațiale cu configurație interspațială specifică necesită o persoană care cunoaște bine metoda de modelare PRB. În plus, împerecherea unui model PRB cu o configurație interspațială în timpul etapei de proiectare este extrem de restrictivă și ar putea duce la o analiză inexactă. Acest lucru se datorează faptului că proiectarea unei articulații interspațiale trece adesea printr-un proces iterativ de modificare a geometriilor legăturilor rigide sau a articulațiilor interspațiale pentru a obține rigiditatea dorită și rigiditatea în afara axei într-o constrângere de dimensiune dată. Având în vedere articulații interspațiale cu configurația interspațială de L ≤ l prezentate în Fig. 24, configurația s-ar putea schimba la L < l sau L = l în timpul etapei de proiectare și sunt necesare diferite modele PRB pentru diferite configurații. Prin urmare, principala limitare a metodei PRB este incapacitatea sa de a oferi o soluție simplă și generică pentru toate formele de configurații interspațiale.

O metodă de modelare semi-analitică oferă o soluție generică, simplă și rapidă pentru analizarea caracteristicii neliniare a producerii de mișcări mari de deflecție din orice configurație interspațiale (Teo et al. 2010b). Termenul configurație interspațială reprezintă o articulație interspațială cuplată cu o legătură rigidă prezentată în Fig. 25a. Forța, F, aplicată la capătul legăturii rigide devine o sarcină de moment la capătul articulației interspațiale prezentată în Fig. 25b. Pe baza derivărilor prezentate în literatura anterioară (Teo et al. 2010b), deflectarea unei configurații interspațiale generice de-a lungul direcției de acționare poate fi aproximată cu

unde α reprezintă unghiul de deviere și ϖ este o funcție Sinc, adică ϖ = sin θ/θ. Referindu-ne la Fig. 25b, această funcție Sinc ține cont de deplasarea parazită a punctului de pivotare, PP'. Ulterior, deflecția parazită în-plan perpendiculară pe direcția de acționare poate fi aproximată cu

Rigiditatea unghiulară este derivată pe baza ipotezei că relația dintre cuplul aplicat și unghiul de deflecție al arcului de torsiune este guvernată de un braț de moment. Acest braț de moment este format din legătura rigidă și o porțiune a articulației interspațiale cum se arată în Fig. 26a. Această porțiune a articulației interspațiale reprezintă distanța de la centrul arcului de torsiune până la punctul de cuplare dintre legătura rigidă și articulația interspațială. Această porțiune a articulației interspațiale este denumită braț în schimbare, S și poate fi exprimată cu

unde ρ este introdus cu

Din Fig. 26b, brațul de schimbare variază în funcție de diferite configurații interspațiale chiar și cu lungimi similare de articulații interspațiale. Pentru a rezolva această problemă, ρ este un factor empiric care este utilizat pentru a determina schimbarea brațului în raport cu orice configurație interspațială. Ulterior, cuplul în schimbare, Tθ, este recunoscut ca o forță tangențială, Ft, aplicată brațului de moment și este exprimat cu

Rigiditatea unghiulară variabilă a unui arc de torsiune este dată de

Prin înlocuirea ecuațiilor. 49 și 29 în Ec. 50, relația dintre forță și unghi este exprimată cu

În modelarea semi-analitică, rigiditatea unghiulară în schimbare a unui arc de torsiune este exprimată în Ec. 51. Cu FT = F sin (π/2 - θ), forța verticală, F, aplicată pe brațul momentului poate fi determinată direct pe baza unui unghi de deflecție cunoscut prezentat în Fig. 26a. Nu în ultimul rând, solicitarea maximă de încovoiere, σmax, este dată de

Unicitatea modelării semi-analitice este generică pentru toate configurațiile interspațiale. În cazurile în care nu există o legătură rigidă, L va fi zero. Pentru orice alt caz, prezența lui ρ explică modificarea lungimii brațului de moment. Împreună cu funcția Sinc, ϖ, care guvernează deplasarea parazită a punctului de pivot, această metodă este un instrument generic, simplu și rapid pentru analizarea oricărei configurații interspațiale.

Modelarea rigidității

Articulațiile conforme sunt considerate elemente cu arc în cadrul unui mecanism conform. Prin urmare, platforma mobilă a unui mecanism conform poate fi conectată la o bază fixă printr-o serie de arcuri si arcuri paralele. Când arcurile sunt conectate în

serie, rigiditatea totală este exprimată cu

unde complianța C = K^-1. Când arcurile sunt conectate în paralel, rigiditatea totală este exprimată de

Exemplu. Aplicați acest concept pentru a modela rigiditatea de translație a unui modul de articulație spațială conformă cu 5 DOF prezentat în Fig. 27a. Acest modul este format din două segmente identice în care fiecare segment este format din două membre paralele, așa cum se arată în Fig. 27b. Deoarece fiecare membru poate oferi mișcări de 3 DOF, adică translație, îndoire și torsiune, combinarea a două segmente în serie produce mișcări spațiale de 5 DOF, adică trei mișcări de rotație, Ψx,y,z, și două mișcări de translație, Δx ,y.

Pentru ca fiecare segment să furnizeze o mișcare de translație pură, fiecare membru deflectează într-o formă de „S” și poate fi reprezentat ca două articulații interspațiale identice, cu lungimea individuală fiind l/2 și deflectarea fiecărei articulații interspațiale este Δ/2, așa cum se arată. în fig. 27c. Prin urmare, rigiditatea de translație a unei articulații interspațiale, Kl, este exprimată de

Pe baza modelării semi-analitice, forța motrice, F, poate fi obținută din Ec. 51 cu unghiul de deflecție, θ, derivat din Ec. 45 bazat pe Δ = Δ/2, l → l/2 și L = 0. Fiecare membru fiind format din două articulații interspațiale identice conectate în serie, complianța de translație a fiecărui membru, Climb, este

Deoarece fiecare segment este compus din două membre paralele, rigiditatea translației liniare a modulului de articulație spațială este

Exemplu. Având în vedere modulul de articulație prismatică conformă prezentat în Fig. 28a, acesta este format dintr-un modul cu arc liniar compus, care cuprinde două arcuri paralele conectate în serie, așa cum se arată în Fig. 28b. Fiecare arc paralel este articulat prin două membre paralele și fiecare membru este compus din două articulații interspațiale conectate între ele printr-o legătură rigidă. Prin urmare, fiecare membru poate fi reprezentat prin două configurații interspațiale identice, în care fiecare articulație interspațială este reprezentată de o articulație revolută cu un arc de torsiune atașat la ea, așa cum se arată în Fig. 28c.

Deflecția fiecărei configurații interspațiale este jumătate din deflecția dorită, adică Δz/2. Prin urmare, rigiditatea la deflecție pentru o configurație interspațială de-a lungul axei z, K_fc^z , este exprimată de

Pe baza modelării semi-analitice, forța motrice, Fz, poate fi obținută din Ec. 51 cu unghiul de deflecție, θ, derivat din Ec. 45 pe baza Δ = Δz/2 și L = L/2. Cu două configurații interspațiale identice conectate în serie pentru a forma fiecare membru, conformitatea deflecției fiecărui arc paralel de-a lungul axei z a fiecărui membru, C^z_limb, este

Deoarece fiecare arc paralel este articulat de două membre paralele, rigiditatea de translație liniară de-a lungul axei z, K_ps^z , este

Cu două arcuri paralele conectate în serie pentru a forma un arc liniar compus, rigiditatea de translație a arcului liniar compus de-a lungul axei z, K^ΔzFz_total, este

Acest concept de modelare bazat pe arc poate fi extins pentru a modela rigiditatea întregului manipulator conform. Având în vedere că un manipulator conform constă dintr-o platformă mobilă susținută de un număr j de membre paralele și simetrice, fiecare membru poate fi format dintr-un grup de module de articulație conforme conectate în serie prin legături așa cum se arată în Fig. 29a. Pentru o legătură în spațiul cartezian, vectorul moment, m, este un produs vectorial al vectorului legătură, r și al vectorului forță, f, exprimat ca

În plus, vectorul de deplasare liniară, dδ, este un produs vectorial al vectorului de deplasare unghiulară, dθ și al vectorului legăturii exprimat ca

În cadrul fiecărui membru, se presupune că numai modulul de articulație conformă este un element elastic cu o matrice conformă, Ci, stabilită la cadrul de coordonate local atașat la acesta. Pentru a stabili matricea conformă a fiecărui membru, este necesară Climb, o matrice jacobiană, Ji, care mapează cadrul de coordonate local al fiecărui modul de articulație conformă cu cadrul de coordonate local al vârfului fiecărui membru. Pe baza Ec. 64, vectorul de deplasare al fiecărui membru, X, poate fi exprimat ca

Pe baza Ec. 63, forța și momentul aplicate efectorului final, F, pot fi exprimate ca

Deoarece fiecare membru este format din modulele articulare conforme conectate în serie prin legăturile prezentate în Fig. 29a, deplasarea membrului este Xlimb = J1x1 + J2x2 + J3x3 + . . . bazat pe Ec. 65, reexprimat ca ClimbF = J1f1 + J2f2 + J3f3 + . . . bazat pe CF = X. Deoarece Ec. 66 poate fi reexprimată ca f = J^TF, matricea de conformitate a fiecărui membru este dată de

Din Fig. 29b, efectorul final este susținut de un grup de membre paralele. Pe baza Ec. 66, forța și momentul total aplicate efectorului final este F = J1^-Tf1 + J2^-Tf2 + J3^-Tf3 +...., reexprimată ca KX = J1^-TK1x1 + J2^-TK2x2 + J3^-TK3x3+.... bazat pe F= KX. Prin reexprimarea Eq. 65 în x =J^-1X, matricea de rigiditate a unui mecanism conform este dată de

Exemplu . Luați în considerare modelarea rigidității unui manipulator conform cu 3-DOF prezentat în Fig. 30a ca exemplu. Acest manipulator conform este format din trei membre paralele simetrice și fiecare membru constă din module articulare conforme spațiale și prismatice, așa cum se arată în Fig. 30b. Toate cele trei membre paralele sunt așezate la 120^o unul de celălalt pentru a susține o platformă mobilă, cu efectorul său final situat în centru.

În acest exemplu, matricea de conformitate a modulului de articulație conformă prismatică, CA și a modulului de articulație conformă spațială, CB, sunt date de

Atunci, cadrul individual de coordonate local este atașat la centrul modulului conform prismatic și la vârful articulației interspațiale în cadrul modulului articulației spațiale conforme, așa cum se arată în Fig. 30b. Aceste cadre de coordonate locale au aceeași orientare, dar decalaje diferite față de cadrul de coordonate local atașat la vârful membrului. Prin urmare, matricea jacobiană pentru fiecare modul, Jm, este exprimată de

unde m reprezintă A sau B pentru modulele respective. În acest exemplu, hA = 87 mm și hB = 19,5 mm. Matricele de conformitate CA și CB sunt asamblate pentru a forma

În plus, matricile jacobiene JA și JB sunt asamblate în

Din Ec. 67, matricea de conformitate a fiecărui membru este derivată ca

Înainte de derivarea matricei de rigiditate, trebuie stabilită mai întâi matricea jacobiană, Jj, care mapează cadrul de coordonate local al fiecărui membru la acest cadru de coordonate de referință. Figura 30c ilustrează faptul că cadrul de coordonate local atașat la vârful fiecărui membru are orientări diferite și o deplasare liniară față de cadrul de coordonate de referință atașat la centrul platformei în mișcare. Aici, cadrul de coordonate de referință atașat la centrul platformei în mișcare cade pe același plan cu cadrul de coordonate local la vârful fiecărui membru. Prin urmare, nu există nicio variație în axa z între ambele cadre de coordonate. Orientarea cadrului de coordonate local la vârful fiecărui membru față de cadrul de coordonate de referință sub formă de matrice este exprimată ca

unde βj = ψj + π/2 și j reprezintă fie 1, 2, fie 3. Pe baza ecuațiilor 75 și 65, matricea jacobiană care mapează cadrul de coordonate local al fiecărui membru la cadrul de coordonate de referință este

unde ψ1 = 3π/2, ψ2 = π/6, ψ3 = 5π/6, θ1 = π/2, θ2 = 7π/6, θ3 = 11π/6 și, în acest exemplu, r = 64,83 mm. Pe baza ecuațiilor 68, 74 și 76, matricea de rigiditate a manipulatorului conform este dată de

Matricea de rigiditate obținută a fost comparată cu valorile experimentale, iar rezultatele au demonstrat că variația dintre valorile teoretice și cele experimentale este mai mică de 15 %. Aceasta arată că această abordare de modelare a rigidității este exactă și capabilă să ofere o analiză rezonabilă asupra caracteristicii de rigiditate a unui mecanism conform.