Necesitățile de productivitate în cadrul producției flexibile implică nevoia de mișcare a robotului de înaltă performanță. Modul stabilit și de mare succes de a realiza o astfel de performanță atât în ​​mediul academic, cât și în industrie este prin intermediul controlului bazat pe model, care se aplică atât controlului servo-urilor individuale, cât și controlului general al manipulatorului multivariabil. Prin urmare, modelarea adecvată este esențială pentru performanță și, deoarece controlul forței trebuie să se ocupe și de dinamica mediului, trebuie să acordăm o atenție deosebită modelării și proiectării controlului, astfel încât proprietățile rezultate de mișcare a robotului să fie ușor de gestionat și de înțeles. Adică, în cazurile în care există riscul de spargere sau vibrații nedorite, sistemul trebuie proiectat astfel încât să poată fi determinate sursele problemelor. In caz contrar, niciun produs de control al forței nu va avea succes cu implicații evidente pentru aplicabilitatea robotului. Rețineți că acesta este un alt punct de vedere al abordării algoritmice care este dominant în literatură (Siciliano și Khatib 2008).The productivity needs within flexible manufacturing imply a need for highperformance robot motion. The established and very successful way to accomplish such performance both in academia and in industry is by means of model-based control which applies both to the control of the individual servos and for the overall multivariable manipulator control. Therefore, proper modeling is essential for performance, and since force control also needs to deal with dynamics of the environment, we have to pay special attention to modeling and control design such that the resulting robot motion properties are manageable and understandable. That is, in cases where there is a risk for shattering or undesired vibrations, the system needs to be designed such that the sources of the problems can be determined. Otherwise, no force control product will be successful with obvious implications for robot applicability. Note that this is another viewpoint of the algorithmic approach that is dominant in the literature (Siciliano and Khatib 2008).

Astfel, deși controlul mișcării a fost tratat în capitolul anterior, vom revizui acum modelarea astfel încât controlul forței aplicabil industrial să poată fi prezentat într-o manieră coerentă în secțiunile următoare. Începem cu modele bine-cunoscute de manipulator cu corp rigid, abordând treptat efectele dinamice ale articulațiilor care fac abordările pur academice mai puțin aplicabile în industrie. În afară de controlul nominal-intenționat, trebuie luate în considerare și cazurile saturate și excepționale, ca în orice inginerie a controalelor industriale.
Thus, while motion control has been covered in the previous chapter, we will now revisit the modeling such that industrially applicable force control can be presented in a coherent manner in the following sections. We start with well-known rigid-body manipulator models, gradually approaching the joint-wise dynamic effects that make the purely academic approaches less applicable in industry. Apart from the nominal-intended control, the saturated and exceptional cases also need to be considered, as in any engineering of industrial controls.

Control bazat pe modele și spațiu-stare

Principiile controlului cu feedback și controlului feedforward se presupune că sunt cunoscute. Schemele de control sunt, totuși, prezentate într-o varietate de moduri în literatură, adesea astfel încât componentele de bază sunt amestecate în moduri confuze. În timp ce un controller cu feedback pentru un sistem liniar invariant în timp, cum ar fi o servo articulație simplă de robot, poate consta dintr-un filtru digital liniar între un senzor și un actuator, noțiunea de control bazat pe model implică o necesitate inginerească pentru menținerea și calcularea parametrilor de filtrare pe baza parametrilor modelului fizic. Este important atunci să se mențină înțelegerea modului în care proiectarea controlului depinde de modele, care ar putea fi neliniare.
The principles of feedback control and feedforward control are assumed to be known. Control schemes are, however, presented in a variety of ways in the literature, often such that the basic components are mixed in confusing ways. While a feedback controller for a linear time-invariant system, such as a simple robot joint servo, may consist of a linear digital filter between a sensor and an actuator, the notion of model-based control implies an engineering need for maintaining and computing the filter parameters based on parameters of the physical model. It is then important to maintain the understanding of how the control design depends on the models, which could be nonlinear.

Buclele de control de bază din robotică urmăresc reducerea efectelor perturbărilor de sarcină, fără a injecta prea mult zgomot de măsurare în sistem, făcând bucla închisă insensibilă la variațiile procesului și făcând ca ieșirile dorite să urmeze cu acuratețe semnalele de comandă/traiectoriile de referință dorite. Pentru a fi pregătit pentru utilizarea modelelor neliniare și pentru a menține înțelegerea stărilor fizice, este recomandabil de a baza controlul pe o formulare de spațiu-stare. Figura 1 prezintă o astfel de structură generică.
The basic control loops in robotics aim at reducing effects of load disturbances while not injecting too much measurement noise into the system, making the closed loop insensitive to variations in the process and making the desired outputs accurately follow command signals/desired reference trajectories. To be prepared for the use of nonlinear models, and to maintain the understanding of the physical states, it is advisable to base the control on a state-space formulation. Figure 1 shows such a generic structure.

În cazul liniar și invariant în timp, câștigurile cu feedback vor fi o matrice de constante (un controller proporțional în cazul scalar). Uref este acțiunea de control necesară în cazul cunoașterii perfecte a modelului, deci feedback-ul este folosit doar pentru tratarea variațiilor necunoscute. Pentru motoarele de robot normale, semnalul este echivalent cu accelerația dorită înmulțită cu inerția articulației și, în termeni mai generali, aceasta este dinamica inversă a sistemului. Deoarece sistemul ca atare va avea acțiune integrală, pentru că asta face natura (și vor fi cel puțin atâția poli câte zerouri sunt în cazul dinamicii proceselor liniare), inversul va avea, desigur, o acțiune de control derivativă. Diferențierea numerică a punctului de referință, care poate fi schimbat în trepte pentru a obține referințele de stare, poate fi, desigur, problematică, deoarece referințele de stare trebuie de obicei să fie netede. Prin urmare, modelul de spațiu-stare trebuie să includă o oarecare filtrare trece-jos și poate fi nevoie de furnizarea de viteze și accelerație de referință netede sau planificate de la nivelul de planificare.
In the linear and time-invariant case, the feedback gains will be an array of constants (a proportional controller in the scalar case). The uref is the required control action in case of a perfect model knowledge, so feedback is used only for handling unknown variations. For normal robot motors, the signal is equivalent to the desired acceleration times the joint inertia, and in more general terms, this is the inverse dynamics of the system. Since the system as such will have integral action, because that is what nature does (and there will be at least as many poles as there are zeroes in the case of linear process dynamics), the inverse will of course have derivative control action. Numerical differentiation of the possibly stepwise changing set point to obtain the state references can of course be problematic since state references typically need to be smooth. Therefore, the state-space model needs to include some low-pass filtering, and there can be a need for providing smooth or planned reference velocities and acceleration from the planning level.

Estimarea stării include dinamica bazată pe model atât pentru stările interne (nemăsurabile), cât și pentru stările care reprezintă perturbațiile (cum ar fi partea I a unui controller PID care reprezintă o perturbare constantă necunoscută). Când toate stările sunt măsurabile și perturbațiile sunt gestionate fără un model intern, ca în cazul controlului ideal al cuplului calculat al unui manipulator cu corp rigid, estimatorul de stare va transmite pur și simplu vectorul valorii comune q, sau estimatorul de stare poate fi o transformare fără stare dacă bucla de feedback este închisă în spațiul operațional.
The state estimation includes model-based dynamics both for the internal (not measurable) states and for states representing the disturbances (such as the I part of a PID controller representing a constant unknown disturbance). When all states are measurable and the disturbances are managed without an internal model, as in the case of ideal computed torque control of a rigid-body manipulator, the state estimator will simply forward the joint value vector q, or the state estimator can be a stateless transformation if the feedback loop is closed in the operational space.

Dinamica manipulatorului cu corp rigid

Pentru controlul mișcării, dinamica corpului rigid este adesea modelată prin ecuații Euler-Lagrange în spațiul de configurare (spațiul articular). Pentru un manipulator serie cu n legături și n articulații, cu q fiind vectorul variabilelor de poziție a articulației, ecuațiile Euler-Lagrange pentru mișcarea neconstrânsă complet acționată sunt:
For motion control, rigid-body dynamics is often modeled by Euler-Lagrange equations in the configuration space (joint space). For a serial manipulator with n links and n joints with q denoting the vector of joint position variables, the EulerLagrange equations for fully actuated unconstrained motion are

unde M(q) este matricea de inerție, C(q,q́)q́ vectorul Coriolis și forțele centripete, iar τ forțele articulare acționate. Matricea de inerție M(q) este o matrice simetrică, definită pozitivă. Din cinematica robotului serie, pozițiile articulațiilor rezultă în poziții și orientări ale efectorului final notate cu vectorul x ϵ ℝ⁶ în spațiul operațional (spațiul sarcinilor). Din maparea cinematică x = f (q) care leagă pozițiile articulațiilor la pozițiile efectorului final, maparea vitezei din vitezele articulației la vitezele efectorului final poate fi găsită ca:
where M(q) is the inertia matrix, C(q,q́)q́ the vector of Coriolis and centripetal forces, and τ the actuated joint forces. The inertia matrix M(q) is a symmetric, positive definite matrix. From the serial robot kinematics, the joint positions result in an end effector positions and orientations denoted by the vector x ϵ ℝ⁶ in the operational space (task space). From the kinematic mapping x = f (q) relating joint positions to end effector positions, the velocity mapping form joint velocities to end effector velocities can be found as

unde J(q) este matricea Jacobiană. Când J(q) este inversabilă, dinamica spațiului operațional se supune ecuațiilor de mișcare:
where J(q) is the Jacobian matrix. When J(q) is invertible, the operational space dynamics obey the motion equations

unde Λ(q) este matricea de pseudo-inerție:
where Λ(q) is the pseudo-inertia matrix

În timpul mișcării constrânse cu interacțiunea forțelor cu mediul înconjurător, ecuațiile de mișcare sub influența forțelor efectorului final externe F în spațiul operațional sunt modificate la:
During constrained motion with force interaction with the environment, the motion equations under the influence of external end effector forces F in the operational space are modified to

Dinamica de acționare a articulațiilor liniare

Spre deosebire de Ec. 1, majoritatea sistemelor robotice industriale nu sunt acționate de motoare cu acționare directă. Extinderea modelului de robot prin luarea în considerare a lanțului de transmisie are avantajul că interacțiunea dinamică dintre articulații este atenuată și într-o oarecare măsură decuplată de motoarele de multe ori cu angrenaje puternice (Fig. 2). Pe de altă parte, sunt introduse rezonanțe suplimentare și perturbări semnificative precum reculul și frecarea; vezi, de exemplu, modelul de articulație introdus de Spong în (1989). Cel mai adesea, senzorii de poziție a articulației sunt colocați cu acționarea (adică, montați pe axa motorului). Pentru majoritatea sistemelor robotice industriale, senzorii de viteză expliciți, cum ar fi tahometrele, nu sunt adesea prezenți în acționările cu motor, așa că ar putea fi necesar să se estimeze viteze, ceea ce poate pune constrângeri asupra mișcării realizabile și a performanței forței atunci când sunt utilizate pentru feedback.
In contrast to Eq. 1, most industrial robot systems are not actuated by direct-driven motors. Extension of the robot model by taking the drive chain into account has the benefit that the dynamic interaction between joints is attenuated and to some extent decoupled by the often highly geared motors (Fig. 2). On the other hand, additional resonances and significant disturbances like backlash and friction are introduced; see, e.g., the joint model introduced by Spong in (1989). Most often the joint position sensors are colocated with the actuation (i.e., mounted on the motor axis). For most industrial robot systems, explicit velocity sensors, such as tachometers, are often not present in motor drives, so velocities may need to be estimated which may put constraints on the achievable motion and force performance when used for feedback.

Modelul Spong oferă o extindere a modelării corpului rigid, cu respectarea dinamicii actuatorului și lanțului de transmisie sub forma ecuației de mișcare.
The Spong model offers an extension of the rigid-body modeling with compliance of the actuator and drive chain dynamics in the form of the motion equation

unde Ma, Da și Ka sunt matricea de inerție, matricea de amortizare și matricea de rigiditate a dinamicii actuatorului; qa este vectorul variabilelor de poziție a actuatorului; iar u este semnalul de referință al cuplului la actuator.
where Ma, Da, and Ka are the inertia matrix, damping matrix, and stiffness matrix of the actuator dynamics; qa is the vector of actuator position variables; and u is the torque reference signal to the actuator.

Rețineți că aceste ecuații pot fi interpretate ca un sistem subacționat.
Note that these equations can be interpreted as an underactuated system.

Dinamica de acționare a articulațiilor neliniare

Controlul acționării cuplului în prezența neliniarităților este important în robotica industrială (Fig. 3). În timp ce unele posibile neliniarități ale acționării articulației au atras atenția în literatură (Ozgoli și Taghirad 2006), unele astfel de neliniarități sunt cele mai puțin relevante. Specific:
Torque actuation control in the presence of nonlinearities is important in industrial robotics (Fig. 3). Whereas some possible nonlinearities of the joint actuation have gotten attention in the literature (Ozgoli and Taghirad 2006), some such nonlinearities are the less relevant ones. Specifically:

1. Fără feedback de curent al motorului, EMF inversă, precum și constanta de cuplu dependentă de temperatură, a motorului articulației este un efect neliniar, deoarece relația liniară dorită între cuplul motor și accelerație nu este implementată. Dependența de viteză, cuplu și timp au inspirat cercetările privind controlul adaptiv în ceea ce privește aceste efecte. Totuși, aceasta nu are nicio valoare, deoarece toate controller-ele industriale folosesc feedback al curentului de acţionare, astfel încât tensiunea motorului să poată fi controlată și astfel încât efectele neliniare să devină nesemnificative.
1. Without motor-current feedback, the back EMF, as well as the temperature dependent torque constant, of the joint motor is a nonlinear effect since the desired linear relation between motor torque and acceleration is not implemented. The speed, torque, and time dependencies have inspired research on adaptive control with respect to those effects. That is, however, of no value since all industrial controllers use actuator current feedback so that the motor voltage can be controlled and so that the nonlinear effects become insignificant.

2. Un alt efect neliniar este saturația cuplului, care se datorează combinațiilor dintre puterea electronică de antrenare și cuplul permis asupra sistemului mecanic. Deși acest lucru a inspirat și cercetarea (Spong 1989), este un alt exemplu de soluții neaplicabile. Există modalități de a gestiona saturațiile cuplului prin intermediul protecției anti-windup, modele de referință adecvate (de exemplu, în generarea traiectoriei), adaptarea coordonatelor căii (Dahl 1992) și propagarea inversă a saturațiilor ca în industria de proces (Elmqvist 1978).
2. Another nonlinear effect is the torque saturation, which is due to combinations of the drive electronics power and the permitted torque on the mechanical system. While this has also inspired research (Spong 1989), it is another example of non-applicable solutions. There are ways to manage torque saturations by means of anti-windup protection, appropriate reference models (e.g., in trajectory generation), adaptation of path coordinates (Dahl 1992), and backpropagation of saturations as in the process industry (Elmqvist 1978).

3. Frecarea este, de asemenea, o sursă a analizei de control neliniar, de exemplu, pentru a evita ciclurile limită (Olsson și A˚stro¨m 2001). Însă, folosind feedback-ul în bucla interioară strânsă și luând în considerare cele două elemente anterioare, nu pare să existe nicio problemă de stabilitate asociată cu frecarea. Dacă frecarea cauzează probleme de stabilitate, atunci mecanica robotului trebuie îmbunătățită. În practică, compensarea frecării poate fi implementată prin control feedforward anticipat (parte a dinamicii inverse; vezi Fig. 1), fără a afecta marja de stabilitate a sistemului.
3. Friction is also a source of nonlinear control analysis, for instance, to avoid limit cycles (Olsson and A˚stro¨m 2001). However, using tight inner-loop feedback and considering the two previous items, there would not appear to be any stability problem associated with friction. If friction causes stability problems, then the robot mechanics need to be improved. In practice, friction compensation can be implemented by feedforward control (part of the inverse dynamics; see Fig. 1), without harming the stability margin of the system.

În total, tehnicile publicate pentru manipularea dinamicii de acționare a articulațiilor neliniare sunt cu greu aplicabile. Pe de altă parte, există dovezi fizice și experimentale că astfel de efecte neliniare sunt cruciale, deci care sunt acestea? Pentru a răspunde la această întrebare, ar trebui să analizăm structura mecanică a articulațiilor robotului.
In total, the published techniques for handling nonlinear joint actuation dynamics are hardly applicable. On the other hand, there are physical and experimental evidence that such nonlinear effects are crucial, so what are they? To answer that question, we should look into the mechanical structure of robot joints.

Comportamentul rezonant cauzat de conformitatea între inerțiile transmisiei articulate este un efect care este cel mai bine gestionat în servocontrolul articulației locale, cu implicații pentru controlul general al manipulatorului conform Ec. 11. Având în vedere posibilul joc în cutia de viteze a fiecărei articulații, există într-un mod similar o nevoie de stabilizare locală a motorului și, apoi, în controlul manipulatorului, să se ocupe de proprietățile de control în buclă închisă, care, de asemenea, ar trebui să să fie adaptate controlului manipulatorului. În caz contrar, luați în considerare implicația reculului asupra ecuației 7 și în următorul proiect de control. Adică, pentru cupluri reduse ale motorului, elementele diagonale ale matricei M vor fi foarte mici, iar câștigurile reglate pentru inerția completă vor avea ca rezultat motoare de articulare care vibrează în jocul cutiei de viteze. Concluzia este că pentru proiectarea controlului forței robotice, trebuie să luăm în considerare și spațiul actuatorului, pe lângă spațiul articulației și spațiul operațional (Fig. 4, Tabelul 1).
The resonant behavior caused by the compliance between the inertias of the joint transmission is an effect that is best managed in the local joint-wise servo control, with implications for the overall manipulator control according to Eq. 11. Considering the possible backlash in the gearbox of each joint, there is in a similar way a need for stabilizing the motor locally, and, then in the manipulator control, to deal with the closed-loop control properties, which also would need to be tailored to the manipulator control. Otherwise, consider the implication of backlash on Eq. 7 and in the following control design. That is, for low motor torques the diagonal elements of the matrix M will be very small, and the gains tuned for the full inertia will result in joint motors vibrating within the gearbox play. The conclusion is that for designing robotic force control, we need to consider also the actuator space in addition to the joint space and the operational space (Fig. 4, Table 1).

Fig. 4 Model de articulație robot cu dinamică neliniară, reprezentat ca o articulație prismatică pentru simplitate (Olofsson 2013). Pentru definirea notației, vezi tabelul 1
Fig. 4 Robot joint model with nonlinear dynamics, depicted as a prismatic joint for simplicity (Olofsson 2013). For definition of notation, see Table 1