Într-o formulare arbitrară-Lagrangian-Euleriană (ALE), mișcarea arbitrară a celulei este modelată folosind deplasările celulei φ(X,t) (în raport cu materialul) ca variabile nodale suplimentare, iar ecuațiile de continuitate, impuls și energie sunt modificate pentru a include aceste variabile [18, 5]. Viteza convectivă c = v - v̅, este viteza materialului în raport cu celula în punctul φ din cadrul de referință al celulei, adică diferența dintre viteza materialului (v = dx(X(φ),t)/dt) și cea a celulei (v̅ = dφ(X(φ),t)/dt). Rata materialului de modificare a fiecărei variabile este exprimată ca suma ratei sale de schimbare în cadrul celulei (adică la punctul de referință curent corespunzător punctului material) și un termen convectiv care decurge din componenta gradientului variabilei în direcția vitezei convective. De exemplu,
In an arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation, arbitrary mesh motion is modeled using mesh displacements φ(X, t) (with respect to the material) as additional nodal variables, and the continuity, momentum and energy equations are modified to include these variables [18, 5]. The convective velocity c = v - v̅, is the velocity of the material with respect to the mesh at point φ in the mesh reference frame, i.e., the difference between the velocity of the material (v = dx(X(φ), t)/dt) and that of the mesh (v̅ = dφ(X(φ),t)/dt ). The material rate of change of each variable is expressed as the sum of its rate of change in the mesh frame (i.e. at the current reference point corresponding to the material point), and a convective term arising from the component of the gradient of the variable in the direction of the convective velocity. For instance,

Termenul convectiv dă naștere la termeni suplimentari în formă slabă, care conduc la termeni suplimentari în ecuațiile cu elemente finite. După specificarea vitezelor celulei, viteza materialului poate fi rezolvată. Însă, pentru fluxurile dominate de convecție, apar oscilații parazite în soluție, cu excepția cazului în care difuzia artificială este adăugată sistemului (vezi Cap. 7 din [5]). Acest lucru se realizează în mod obișnuit folosind tehnica streamline upwinding, care adaugă difuzie suplimentară numai în direcția fluxului, astfel încât să nu existe difuzie artificială în direcții normale la curgere, iar soluția converge în continuare către cea corectă.
The convective term gives rise to additional terms in the weak form, that lead to additional terms in the finite element equations. After specification of the mesh velocities the material velocities can be solved for. However, for convection dominated flows, spurious oscillations occur in the solution unless artificial diffusion is added to the system (see Chap. 7 of [5]). This is typically accomplished using the streamline upwinding technique, which adds extra diffusion only in the direction of the flow, so that there is no artificial diffusion in directions normal to the flow, and the solution still converges to the correct one.

Diferitele regiuni ale granițelor au constrângeri diferite asupra vitezei celulei – granițe euleriene prin care materialul curge în sau din celulă și granițe lagrangiene în care componentele celulei și viteza materialului perpendiculară pe celulă sunt aceleași. În interiorul domeniului, viteza celulei este prescrisă pe baza diferitelor strategii de netezire pentru a elimina distorsiunile și necesitatea de a rafina rețeaua în regiuni cu gradienți mari de soluție, curbură geometrică etc.
Different regions of the boundaries have different constraints on the mesh velocity – Eulerian boundaries through which material flows into or out of the mesh, and Lagrangian boundaries where the components of mesh and material velocity perpendicular to the mesh are the same. In the interior of the domain, the mesh velocity is prescribed based on different smoothing strategies to remove distortions, and the need to refine the mesh in regions of high solution gradients, geometric curvature, etc.

Când se utilizează integrarea explicită, ecuațiile cuplate care descriu atât mișcarea celulelor, cât și deplasarea materialului sunt de obicei rezolvate într-o manieră aproximativă folosind o abordare cu operator divizat. Deformarea mecanică (deplasarea) este mai întâi rezolvată cu celula care se deplasează cu materialul în abordarea obișnuită lagrangiană. Aceasta este urmată de o etapă de mișcare a celulei (numită și pas de advecție) în care nu există nicio deformare a materialului, dar nodurile sunt mutate pentru a netezi rețeaua și este calculată mișcarea materialului (și a variabilelor istorice, cum ar fi deformarea, căldura, deteriorarea, etc.) peste granițele elementelor. Pentru viteze normale de tăiere, poate fi necesar să existe un pas de advecție doar o dată la fiecare sută de pași de deformare mecanică lagrangiană. În timp ce etapa de advecție este similară ca scop cu etapa de rezonificare descrisă mai sus, mișcările rețelei la fiecare actualizare sunt limitate la o fracțiune din dimensiunea elementului, iar algoritmi simpli pot fi utilizați pentru a calcula transportul între elemente și pentru a actualiza aceste variabile dependente de istorie. Însă, se aplică considerații speciale pentru advecția variabilelor discontinue, cum ar fi solicitările și deformarea. Natura ușor disipativă a acestor algoritmi poate inhiba localizarea deformării și poate duce la rezultate inexacte, mai ales atunci când rețeaua nu este suficient de rafinată sau aliniată cu direcția solicitării maxime de forfecare.
When explicit integration is used, the coupled equations that describe both mesh motion and material displacement are usually solved in an approximate manner using a split operator approach. The mechanical deformation (displacement) is first solved for with the mesh moving with the material in the usual Lagrangian approach. This is followed by a mesh motion step (also called advection step) in which there is no deformation of the material, but the nodes are moved to smooth the mesh and motion of material (and of history variables such as strain, heat, damage, etc.) across element boundaries is calculated. For normal cutting speeds, it may be necessary to have an advection step only once every hundred steps of Lagrangian mechanical deformation. While the advection step is similar in purpose to the rezoning step described above, mesh motions at each update are limited to be a fraction of the element size, and simple algorithms can be used to calculate the transport across the elements and update these history dependent variables. However, special considerations apply to the advection of discontinuous variables such as stresses and strain. The slightly dissipative nature of these algorithms can inhibit localization of deformation and lead to inaccurate results, especially when the mesh is not refined enough or aligned with the direction of maximum shear stress.

Pantale și colab. (1996) și Touratier (1999) au dezvoltat o capacitate de a efectua o analiză 3D arbitrară Lagrangian-Euleriană (ALE) a prelucrării oblice. Pednekar şi colab. (2004) au folosit capacitatea de analiză ALE din cadrul ABAQUS/Explicit pentru a studia tranziția de la deformarea plană la solicitarea plană în prelucrarea ortogonală. Ei au descoperit că, în timp ce materialul de-a lungul părților libere ale piesei de prelucrat se deforma sub presiune plană, o mare parte din materialul din mijloc s-a deformat prin deformare plană. S-a remarcat că rata de deformare în PSZ nu s-a modificat apreciabil de la fețele centrale către cele laterale din cauza constrângerilor cinematice asupra deformației în PSZ, impuse de cerința ca materialul așchiilor din afara PSZ și SSZ să se deplaseze ca un corp rigid. In orice caz, s-a remarcat că temperatura de-a lungul fețelor laterale a fost semnificativ diferită de temperatura de-a lungul planului median, datorită deformației mai mici în material și generării mai mici de căldură de-a lungul părților laterale, din cauza deformării la solicitare plană (Fig. 1).
Pantale et al. (1996) and Touratier (1999) developed a capability to carry out 3D arbitrary Lagrangian–Eulerian (ALE) analysis of oblique machining. Pednekar et al. (2004) used the ALE analysis capability within ABAQUS/Explicit to study the transition from plane strain to plane stress in orthogonal machining. They found that while the material along the free sides of the workpiece was deforming in plane stress, much of the material in the middle deformed in plane strain. It was noted that the strain rate in the PSZ did not change appreciably from the middle to the side faces because of the kinematic constraints on the deformation in the PSZ, imposed by the requirement that chip material outside the PSZ and SSZ travel as a rigid body. However, it was noted that the temperature along the side faces was significantly different from the temperature along the midplane, due to lower strain within the material and lower heat generation along the sides, on account of plane stress deformation (Fig. 1).