Majoritatea aliajelor de inginerie în timpul unei încercări de tracțiune uniaxiale, după un anumit grad de întindere, tind să devină instabile, din cauza inițierii gâtuirii. Odată cu întinderea suplimentară, există o creștere a gâtuirii în specimen și, în cele din urmă, se formează o fractură în gât, astfel încât specimenul se rupe în două bucăți. Când s-a discutat despre testarea la compresiune, s-a afirmat că pentru metalele ductile, în general, se pot obține deformații mai mari în această încercare decât în ​​încercarea la tracțiune, deoarece se evită formarea gâtului în compresie. Dar, și în testul de compresie există limitări cu privire la cât de mult poate fi deformat specimenul. Acest lucru se datorează faptului că pot apărea diferite fenomene de fisurare, în special atunci când sunt testate materiale cu ductilitate scăzută.
Most of the engineering alloys during a uniaxial tensile test, after some degree of stretching, tend to become unstable, due to the onset of necking. With further stretching, there is neck growth in the specimen, and finally a fracture is formed in the neck, so that the specimen breaks into two pieces. When compression testing was discussed, it was stated that for ductile metals, larger strains can in general be obtained in this test than in tensile testing, because neck formation is avoided in compression. But also in the compression test, there are limitations on how much the specimen can be deformed. This is because various cracking phenomena may occur, especially when low-ductility materials are tested.

În formarea metalelor, este o problemă comună ca materialul piesei de prelucrat să se defecteze în timpul formării, într-un mod ca cel pentru materialele supuse testelor tehnologice. În acest capitol vor fi discutate diferite fenomene care provoacă cedarea materialului în timpul operațiunilor de formare a metalelor, cu accent deosebit pe defecțiunile datorate gâtuirii, fisurării la efort de tracțiune și fisurării prin forfecare.
In metal forming, it is a common problem that the material of the workpiece breaks down during forming, in a manner like that for materials subjected to technological tests. In this chapter, different phenomena that cause material failure during metal-forming operations will be discussed, with special emphasis on failure due to necking, tensile stress cracking, and shear cracking.

Formabilitate și lucrabilitate

Formabilitatea și lucrabilitatea unui material este o măsură la care acesta poate fi deformat într-un anumit proces de fabricație, fără defecte de suprafață sau sub suprafață sau rupere. În mod tradițional, formabilitatea are mai mult de-a face cu formarea tablei, iar prelucrabilitatea este asociată cu procesele de formare în vrac, cum ar fi trefilarea, forjarea, extrudarea etc. Formabilitatea unui material este, de asemenea, legată de ductilitatea materialelor, definită ca alungirea maximă la întindere (în procente) la rupere. Diferite fenomene care cauzează defectarea materialului sunt gâtuirea, fisurarea la tracțiune și fisurarea prin forfecare. Formabilitatea unui material depinde, de asemenea, de parametrii procesului de fabricație, cum ar fi temperatura, viteza de deformare la încărcare, frecarea dintre matriță și piesa de prelucrat, raportul de reducere etc. Unii dintre factorii care influențează formabilitatea sunt explicați mai jos:
Formability and workability of a material is a measure to which it can be deformed in a specific manufacturing process without any surface or subsurface defects or breakage. Traditionally, formability has more to do with the sheet metal forming, and workability is associated with the bulk forming processes such as wire drawing, forging, extrusion, etc. Formability of a material is also related to materials ductility defined as the maximum tensile elongation (on percentage basis) at fracture. Different phenomena that cause material failure are necking, tensile cracking, and shear cracking. Formability of a material also depends up on manufacturing process parameters such as temperature, loading strain rate, friction between the die and workpiece, reduction ratio, etc. Some of the factors influencing the formability are explained below:

(a) Limita de curgere : Materialele cu efort redus la curgere sunt ușor de deformat și se spune că sunt maleabile . Cu cât limita de curgere a materialului este mai mare, cu atât sunt necesare forțe și energie mai mari pentru a realiza deformarea.
(b) Călirea materialului: Solicitarea de curgere a unei game de aliaje de inginerie poate fi exprimată ca σ = Kεⁿ, unde K este coeficientul de rezistență în MPa și n este exponentul de călire prin deformare. Valorile mai mari ale lui n implică necesitatea unor forțe mai mari cu deformarea crescândă, ceea ce poate duce la uzura și ruperea sculei. Valorile scăzute ale călirii prin deformare pot duce la gâtuire localizată în timpul deformării, ceea ce are ca rezultat o deformare neuniformă.
(c) Modulul de elasticitate: Având un modul elastic ridicat duce la o recuperare elastică crescută după ce forțele de deformare sunt îndepărtate. Pentru dimensiuni precise ale piesei, revenirea elastică trebuie compensată.
(a) Yield Strength: Materials with low flow stress are easy to deform and are said to be malleable. The higher the yield strength of the material, the higher the forces and energy are required to accomplish the deformation.
(b) Material Work-Hardening: The flow stress of a range of engineering alloys can be expressed as σ = Kεⁿ, where K is the strength coefficient in MPa and n is the strain-hardening exponent. Higher values of n imply the necessity of higher forces with increasing deformation, which can lead to tool wear and tear. Low values of strain-hardening may lead to localized necking during the deformation, which results in nonuniform deformation.
(c) Modulus of Elasticity: Having a high elastic modulus leads to the increased elastic recovery after the deformation forces are removed. For precise dimensions of the part, the spring back should be compensated.

(d) Temperatura de operare: Când temperatura de formare este mai mare de 0,3 Tm (unde Tm este punctul de topire al materialului în K), se spune că este prelucrare la cald și este mai ușor să se formeze materialul datorită solicitărilor mai mici. Uneori, defecțiunile apar la deformări foarte scăzute în timpul lucrului la cald din cauza scurtării la cald, care se datorează prezenței fazei lichide la limitele granulelor.
(e) Solicitarea hidrostatică: Presiunea hidrostatică ridicată suprimă creșterea golurilor din aliajele de inginerie, întârziind astfel fractura. Formabilitatea materialelor cu ductilitate limitată poate fi îmbunătățită dacă condițiile de ieșire din matriță sunt sub presiune hidrostatică. Fisurile de margine la laminare și exploziile centrale în extrudare sunt probabil din cauza prezenței solicitărilor de tracțiune la presa de laminare a secțiunii de ieșire sau, respectiv, la matrița de extrudare.
(d) Operating Temperature: When the forming temperature is greater than 0.3 Tm (where Tm is the melting point of the material in K), it is said to be hot working, and it is easier to form the material due to lower stresses. Sometimes failures occur at very low strains during hot working due to hot shortness, which is due to the presence of liquid phase at the grain boundaries.
(e) Hydrostatic Stress: High hydrostatic pressure suppresses the void growth in engineering alloys, thereby retarding the fracture. Formability of materials with limited ductility can be improved if the exit conditions from the die are under hydrostatic pressure. Edge cracks in rolling and central bursts in extrusion are likely due to the presence of tensile stresses at the exit section rolling press or extrusion die, respectively.

(f) Dimensiunea granulelor: La temperaturi scăzute, este bine cunoscut faptul că rezistența aliajelor de inginerie este invers proporțională cu dimensiunea granulelor: materialele cu granule mai mici au o arie mai mare a ffrontierei de granulație, dând naștere la o rezistență mai mare la deformarea plastică prin fluxul de dislocare. Dacă materialul cu granulație grosieră este deformat, deformarea plastică duce la suprafața de tip „coaja de portocală” datorită texturii și orientării direcționale diferite a microstructurii în diferite granule.
(g) Compoziție chimică: Incluziunile de zgură în piese turnate, urme de elemente străine și compuși nemetalici în materia primă modifică compoziția chimică și degradează formabilitatea ulterioară prin procese secundare, cum ar fi forjare, extrudare etc., devenind surse pentru iniţiere de fisuri. De asemenea, modificarea compoziției chimice modifică finisajul suprafeței.
(f) Grain Size: At low temperatures, it is well known that the strength of engineering alloys is inversely proportional to grain size: smaller-grain-size materials have larger grain-boundary area giving rise to the higher resistance to plastic deformation by dislocation flow. If coarse-grain material is deformed, the plastic deformation leads to “orange peel” type of surface due to the different texture and directional orientation of the microstructure in various grains.
(g) Chemical Composition: Slag inclusions in the castings, traces of foreign elements, and nonmetallic compounds in the raw material change the chemical composition and degrade the further formability by secondary processes such as forging, extrusion, etc. by becoming the sources for crack initiation. Also, the change in chemical composition alters the surface finish.

Defecte detectabile de suprafață sau nedetectabile ale subsuprafeței (de exemplu, fisuri centrale de spargere în componentele extrudate) apar în componenta formată ori de câte ori este depășită prelucrabilitatea sau formabilitatea unui material. Folosind fie principii de proiectare de siguranță sau diagrame de analiză a defecțiunilor (FADS = failure analysis diagrams) pentru o anumită situație portantă, o decizie cu privire la acceptarea componentei se ia în timpul verificării calității. În plus, unele dintre fisurile interne din structurile portante cresc în timpul exploatării și, prin urmare, se recomandă monitorizarea lor continuă folosind metode nedistructive, cum ar fi radiografia, testarea cu ultrasunete, testarea cu particule magnetice sau testarea cu curenți turbionari. Unele cazuri de deformare plastică în care limita capacității de formare a fost depășită până când materialul și-a pierdut integritatea sunt prezentate în Fig. 2 și 3.
Detectable surface or undetectable subsurface defects (e.g., central burst cracks in extruded components) appear in the formed component whenever the workability or formability of a material is exceeded. By using either fail-safe design principles or failure analysis diagrams (FADS) for a given load-bearing situation, a decision on the acceptance of the component is made during quality check. Further, some of the internal cracks in the load-bearing structures grow during service, and hence their continuous monitoring using nondestructive methods such as radiography, ultrasonic testing, magnetic particle testing, or eddy current testing is recommended. Some cases of plastic deformation where the limit of ability to form has been exceeded until the material has lost its integrity are shown in Figs. 2 and 3.

Fisurarea prin solicitări la tracțiune și compresie uniaxiale

Ductilitatea unui aliaj de inginerie este capacitatea de a se deforma plastic fără rupere și exprimată ca măsură a deformării la rupere într-un test de tracțiune uniaxială. Însă, alungirea procentuală într-o încercare de tracțiune este adesea dominată de deformarea uniformă. Sfârșitul alungirii uniforme coincide cu debutul instabilității plastice însoțită de formarea porilor, creșterea și coalescența acestora și fractura finală prin formarea buzelor de forfecare pe suprafața exterioară. Din cauza deformării neuniforme, Cockcroft și Latham (1968) au sugerat un criteriu bazat atât pe solicitări, cât și pe deformații, argumentând că lucrarea plastică trebuie să fie un factor important. Cantitatea totală de lucrare plastică efectuată pe unitate de volum la punctul de rupere poate fi formată din

Ductility of an engineering alloy is the ability to deform plastically without fracture and expressed as a measure of the strain at fracture in a uniaxial tension test. However, the percentage elongation in a tensile test is often dominated by the uniform deformation. The end of uniform elongation coincides with the onset of plastic instability accompanied by void nucleation, their growth and coalescence, and final fracture by formation of shear lips on the outer surface. Because of the nonuniform deformation, Cockcroft and Latham (1968) suggested a criterion based on both stresses and strains by arguing that the plastic work must be an important factor. The total amount of plastic work done per unit volume at the fracture point can be formed from

Se pare că valoarea alungirii este prea complexă pentru a fi privită ca o proprietate fundamentală a unui material și pare rezonabil să presupunem că orice criteriu de rupere se va baza pe o combinație de efort și deformare, mai degrabă decât pe oricare dintre aceste cantități separat. Când daunele acumulate, cum sunt date de integrala din Ec. 1, ating o valoare critică, C, se va produce defecțiune. Majoritatea programelor comerciale cu elemente finite sunt capabile să prezică parametrul de deteriorare prin calculul câmpurilor de solicitare și deformare, prin urmare parametrii de deteriorare bazați pe energie.
It appears that the elongation value is too complex to be regarded as a fundamental property of a material, and it seems reasonable to assume that any criterion of fracture will be based on some combination of stress and strain rather than on either of these quantities separately. When the accumulated damage as given by the integral in Eq. 1 reaches a critical value, C, failure will occur. Most of the commercial finite element programs are able to predict the damage parameter through the calculation of stress and strain fields, thereby the energy-based damage parameters.

Figura 2 ilustrează în principal trei tipuri diferite de defecte de suprafață generate de fisurarea la tracțiune în probele prelucrate din oțel, aluminiu și un compozit cu matrice metalică: torsadarea în timpul încărcării de compresie uniaxiale cauzează solicitări de tracțiune circumferențiale ale cercului care pot duce la fisurare. Figura 2a ilustrează un eșantion de oțel cu ductilitate scăzută, cu mai multe fisuri circumferențiale de-a lungul periferiei, datorită deformării de compresiune ridicate de 95% la compresie la cald. O probă de aliaj de aluminiu din Fig. 2b a fost comprimată la 1,5 deformare și un defect a condus la fisurarea în locația sa pe circumferință; în altă parte are un finisaj bun al suprafeței. Figura 2c prezintă fisurarea transversală severă a suprafeței în timpul extrudării unui compozit cu matrice metalică din cauza fracturii atunci când solicitarea a atins o valoare critică.
Figure 2 illustrates predominantly three different kinds of surface defects generated due to tensile stress cracking in the worked steel, aluminum, and a metal matrix composite samples: barrelling during uniaxial compression loading causes circumferential hoop tensile stresses which may lead to the cracking. Figure 2a depicts a low-ductility steel sample with several circumferential cracks across the periphery due to high compressive strain of 95 % in hot compression. An aluminum alloy sample in Fig. 2b was compressed to 1.5 strain and a defect led to the cracking at its location on the circumference; elsewhere it has good surface finish. Figure 2c shows severe transverse surface cracking during the extrusion of a metal matrix composite due to fracture when the stress reached a critical value.

O altă defecțiune predominantă în comprimarea țaglelor aliajelor de inginerie este formarea de fisuri de forfecare din cauza înmuierii materialului indusă de deformare. Figura 3 prezintă astfel de defecțiuni prin forfecare în compresia țaglelor aliajelor de aluminiu AA 7108, produse prin procesul de extrudare. Prezența frecării între matriță și piesele de prelucrat produce o deformare neomogenă și o torsadare a probei conducând la o stare de deformare în care se formează o cruce de forfecare. Cele mai mari deformații vor apărea în crucea de forfecare. Când cilindrul a fost comprimat până la o anumită etapă, partea inițială de întărire prin deformare a curbei de curgere a fost depășită pentru materialul din stratul de forfecare. Cu o comprimare continuă, stratul de forfecare va experimenta apoi înmuiere indusă de deformare. Din cauza înmuirii prin deformare, acest strat va deveni cu ușurință suprasolicitat și aici se va forma o fractură de forfecare. De asemenea, trebuie remarcat faptul că torsadarea în timpul forjării de refulare provoacă solicitări de întindere a cercului care pot duce la fisurare. Kuhn (1978) a reprezentat grafic deformarea cercului (ε1) la rupere ca o funcție de deformarea de compresiune uniaxială aplicată (ε2).) așa cum se arată în Fig. 4 pentru oțel 1045. Prin încărcarea lubrifierii poansonului cu proba și variarea raportului înălțime la diametru al epruvetelor de testat, se obțin un număr de puncte. Punctele de date se potrivesc unei linii liniare ca
Another predominant failure in the billet compression of engineering alloys is the formation of shear cracks due to strain-induced material softening. Figure 3 shows such shear failures in the compression of aluminum alloys AA 7108 produced through extrusion process. The presence of friction between the die and workpieces produces nonhomogeneous deformation and barrelling of the sample leading to a deformation state in which a shear cross forms. The largest deformations will appear in the shear cross. When the cylinder has been compressed down to a certain stage, the initial strain-hardening part of the flow curve has been exceeded for the material in the shear layer. With continued compression, the shear layer will then experience strain-induced softening. Because of strain softening, this layer will then easily become overstrained, and a shear fracture will form here. It is also to be noted that barrelling during upset forging causes hoop tensile stresses that may lead to cracking. Kuhn (1978) plotted the hoop strain (ε1) at fracture as a function of the applied uniaxial compressive strain (ε2) as shown in Fig. 4 for 1045 steel. By means of loading punch lubrication with the sample and varying the height to diameter ratio of the test specimens, a number of points are obtained. The data points fit to a linear line as

unde C este valoarea lui ε pentru deformarea plană. Această dreaptă este paralelă cu ε1 = - 0,5 ε2 pentru compresie omogenă.
where C is the value of e1f for plane strain. This line parallels ε1 = - 0.5ε2 for homogeneous compression.

La compresia cilindrică, crucea de forfecare apare tridimensională, cu o formă complexă. Chiar dacă fractura de forfecare este inițiată undeva de-a lungul planului crucii de forfecare, propagarea fracturii în timpul creșterii ulterioare urmează cel mai frecvent o cale plană, astfel încât se obține o suprafață de fractură plană. La crăpare, o parte din material se poate desprinde de restul cilindrului.
In cylinder compression, the shear cross appears three-dimensional, with a complex shape. Even though the shear fracture is initiated somewhere along the plane of the shear cross, propagation of the fracture during further growth most commonly follows a plane path, so that a plane fracture surface is obtained. Upon cracking, a bit of the material may be detached from the rest of the cylinder.

Formabilitatea în formarea tablei

Formarea tablei este un proces de fabricație important în industria auto, transport maritim și aerospațial. Cunoașterea formabilității tablei este esențială pentru succesul procesului de ștanțare a tablei. Capacitatea de a forma foi de metal în formele dorite este adesea limitată de apariția instabilității materialului care duce la gâtuire localizată. Pentru o tablă întinsă, gâtuirea poate fi fie difuză, fie localizată. Gâtuirea difuză a tablei implică contracția atât în ​​direcția laterală, cât și în direcția lățimii. La specimenele de foi, gâtuirea localizată apare după gâtuirea difuză. În timpul gâtuirii locale, specimenul se subțiază fără contracție suplimentară a lățimii.
Sheet metal forming is an important manufacturing process in automotive, shipping, and aerospace industries. Knowledge of the formability of sheet metal is critical to the success of sheet metal stamping process. The ability to form sheet metals into desired shapes is often limited by the occurrence of material instability leading to localized necking. For a stretched sheet metal, the necking could be either diffused or localized. Diffuse necking of sheet metal involves contraction in both the lateral and width directions. In sheet specimens, localized necking occurs after diffuse necking. During local necking, the specimen thins without further width contraction.

Limita de formare a unei foi de metal este definită ca fiind starea la care se inițiază o subțiere localizată a foii atunci când aceasta este formată într-o formă de produs într-un proces de ștanțare. Formabilitatea tablelor este caracterizată în prezent de diagrama limitei de formare (FLD = forming limit diagram) introdusă în anii 1960 de Keeler și Backofen (1964). Limita de formare este descrisă în mod convențional ca o curbă într-un grafic al deformării principale majore față de deformarea principală minoră. Acesta trebuie să acopere cât mai mult posibil domeniul de deformare care apare în procesele industriale de formare a tablei. Curbele sunt stabilite prin experimente care furnizează perechi de valori ale deformațiilor principale limită, majore și minore, obținute pentru diferite modele de încărcare (echi-biaxiale, biaxiale, deformarea plană și uniaxiale). Hecker (1975) a dezvoltat o metodă experimentală pentru a determina curbele limită de formare. O tehnică utilizată pe scară largă este imprimarea sau gravarea unei grile de cercuri mici de diametre pe foaie înainte de deformare. Principalele deformații pot fi găsite prin măsurarea diametrelor majore și minore după tensionare. Aceste valori la nivelul gâtului sau fracturii dau condiția de defecțiune, în timp ce deformațiile îndepărtate de defecțiune indică starea de siguranță. Deoarece măsurarea experimentală a acestor deformații este consumatoare de timp și este un proces costisitor, ar fi util dacă deformațiile limită de formare pot fi prezise folosind modele teoretice.
The forming limit of a sheet metal is defined to be the state at which a localized thinning of sheet initiates when it is formed into a product shape in a stamping process. Formability of sheet metals is at present characterized by the forming limit diagram (FLD) introduced in the 1960s by Keeler and Backofen (1964). The forming limit is conventionally described as a curve in a plot of major principal strain vs. minor principal strain. It must cover as much as possible the strain domain which occurs in industrial sheet metal-forming processes. The curves are established by experiments that provide pair of the values of the limiting major and minor principal strains obtained for various loading patterns (equi-biaxial, biaxial, plane strain, and uniaxial). Hecker (1975) developed an experimental method to determine the forming limit curves. A widely used technique is to print or etch a grid of small circles of diameters on the sheet before deformation. The principal strains can be found by measuring the major and minor diameters after straining. These values at the neck or fracture give the failure condition, while the strains away from the failure indicate safe condition. As the experimental measurement of these strains is time consuming and an expensive process, it would be useful if the forming limit strains can be predicted using theoretical models.

Cercetătorii au folosit două strategii principale pentru a prezice limitele de formare: în primul rând, un grup de modele care reprezintă instabilitatea deformării ca o stare bifurcată într-un material inițial omogen și, în al doilea rând, modelele în care instabilitatea deformării apare în procesul de deformare datorită unei imperfecțiuni deja prezente în material.
Researchers employed two main strategies to predict forming limits: firstly, a group of models that represent strain instabilities as a bifurcated state in an initial homogeneous material and, secondly, models where the strain instability appears in the deformation process due to an imperfection already present in the material.

Diagrama limitei de formare

Hill (1952) a dezvoltat teoria pentru gâtuirea localizată în foi de metal presupunând că banda de localizare se dezvoltă de-a lungul direcției de extensie zero într-o tablă. Această analiză a prezis că gâtuirea localizată nu ar avea loc într-o foaie supusă întinderii biaxiale pozitive, pentru care nu există nicio direcție de extensie zero. Prin urmare, criteriul Hills este aplicabil numai regiunii din stânga a FLD.
Hill (1952) developed the theory for localized necking in sheet metals assuming that localization band develops along the zero extension direction in a sheet metal. This analysis predicted that localized necking would not occur in a sheet subjected to positive biaxial stretching, for which no zero extension direction exists. Therefore, Hills criterion is only applicable to left-hand region of FLD.

Swift (1952) a dezvoltat o teorie a gâtuirii difuze pentru foile întinse biaxial, introducând conceptul de condiție de forță maximă în plan în predicția de gâtuire și localizare. Potrivit acestuia, gâtuirea se inițiază atunci când diferențele totale de forță devin zero sau negative în același moment de deformare. Însă, criteriul de gâtuire difuzivă Swift este adesea prea conservator și subestimează deformațiile limită de formare observate experimental. Pentru a îmbunătăți modelul de mai sus, Hora și colab. (1996) au considerat faptul observat experimental că apariția gâtuirii depinde în mod semnificativ de raportul de deformare și au propus un model numit Criteriul de forță maximă modificat (MMFC = Modified Maximum Force Criterion). Aretz (2004) a abordat o singularitate importantă în modelul MMFC al lui Hora. S-a observat că MMFC eșuează dacă yield locus prezintă segmente de linie dreaptă adesea observate în aliajele comerciale, cum ar fi Al, care sunt descrise în mod corespunzător de funcțiile de randament ne-pătratice. Brunet și Morestin (2001) au cuplat modelul lui Hora cu modelul de plasticitate poroasă al lui Gurson (1977) și au obținut predicții bune pentru limitele de formare.
Swift (1952) developed a diffuse necking theory for biaxially stretched sheets introducing the concept of the maximum in-plane force condition in the necking and localization prediction. According to him, neck initiates when the total differentials of force become zero or negative at the same instant of deformation. However, the Swift diffusive necking criterion is often too conservative and it underestimates the experimentally observed forming limit strains. In order to improve the above model, Hora et al. (1996) considered the experimentally observed fact that the onset of necking depends significantly on the strain ratio and proposed a model called Modified Maximum Force Criterion (MMFC). Aretz (2004) addressed an important singularity in Hora’s MMFC model. It was observed that MMFC fails if the yield locus exhibits straight line segments often observed in commercial alloys like Al which are properly described by non-quadratic yield functions. Brunet and Morestin (2001) coupled Hora’s model with Gurson’s (1977) porous plasticity model and obtained good predictions for forming limits.

Marciniak și Kuczynski (1967) au considerat tablele supuse încărcării biaxiale în plan și au propus un model ținând cont de faptul că tablele sunt neomogene atât din punct de vedere geometric, cât și din punct de vedere structural. RHS al FLD pentru un material a fost determinat prin introducerea unei imperfecțiuni preexistente a materialului care se află perpendicular pe axa majoră a solicitării pentru a explica dezvoltarea gâtuirii localizate în timpul încărcării biaxiale. Imperfecțiunea presupusă în modelul M-K nu trebuie să fie perpendiculară pe axa majoră; aici modelul de mai sus a fost extins la regiunea LHS a FLD-urilor de către Hutchinson și Neale (1978) luând în considerare imperfecțiunea la un unghi față de axa majoră a solicitării. Unghiul selectat este cel care minimizează deformarea limită.
Marciniak and Kuczynski (1967) considered sheet metals subjected to in-plane biaxial loading and proposed a model taking into account that sheet metals are nonhomogeneous from both geometric and structural points of view. The RHS of the FLD for a material was determined by introducing a preexisting material imperfection that lies perpendicular to the major stress axis to explain the development of localized necking during biaxial loading. The imperfection assumed in M-K model need not be perpendicular to the major axis; here the above model was extended to the LHS region of FLDs by Hutchinson and Neale (1978) by considering imperfection at an angle to the major stress axis. The angle selected is the one that minimizes the limit strain.

Storen și Rice (1975) au propus un concept alternativ pentru gâtuirea localizată, cauzată de vârful dezvoltat pe suprafața de producție ulterioară. Recunoscând că forma suprafeței de producție ar putea determina localizarea în apropierea vârfului, acest model a prezis o bifurcație corespunzătoare gâtuirii localizate sub tensiune biaxială. Această metodă poate prezice gâtuirea localizată pe întregul interval al curbei limitei de formare (FLC). Însă, subestimează limita pentru gâtuirea localizată la LHS al FLC. Zhu şi colab. (2001) au considerat echilibrul momentului în plus față de echilibrul forțelor adoptat de Storen și Rice (1975) pentru predicția FLC pe întreaga regiune (LHS & RHS). Ei au descoperit, de asemenea, că discontinuitatea efortului de forfecare în interiorul și în exteriorul benzii localizate este zero. Metoda modificată realizează o predicție bună asupra LHS al FLC-urilor. Deoarece această metodă depinde de teoria deformării plasticității, este valabilă în condițiile de încărcare proporțională.
Storen and Rice (1975) proposed an alternative concept for localized necking, caused by the vertex developed on the subsequent yield surface. Recognizing that the shape of the yield surface could cause localization near the vertex, this model predicted a bifurcation corresponding to localized necking under biaxial tension. This method can predict the localized necking over the entire range of forming limit curve (FLC). However, it underestimates the limit for localized necking at the LHS of the FLC. Zhu et al. (2001) considered the moment equilibrium in addition to the force equilibrium adopted by Storen and Rice (1975) for the prediction of FLC over the entire region (LHS& RHS). They also found that the discontinuity of shear stress inside and outside of the localized band is zero. The modified method achieves a good prediction on the LHS of FLCs. Since this method depends on deformation theory of plasticity, it is valid under the proportional loading condition.

Friedman și Pan (2000) au investigat influența diferitelor funcții de randament asupra predicțiilor FLD folosind modelul M-K. Rezultatele lor indică semnificația funcției de randament utilizată în analiza FLD. În plus, au introdus un parametru (unghi) pentru a caracteriza influența formei yield locus’ asupra FLD. Yao și Cao (2002) au prezis FLC utilizând modelul M-K ținând cont de efectele pre-deformării și întărirea cinematică. S-a presupus că exponentul funcției de randament utilizat în această lucrare scade odată cu creșterea pre-deformării.
Friedman and Pan (2000) investigated the influence of different yield functions on FLD predictions using the M-K model. Their results indicate the significance of the yield function used in the FLD analysis. Further, they introduced a parameter (angle) to characterize the influence of the yield locus’ shape on FLD. Yao and Cao (2002) predicted FLCs using M-K model taking into account the effects of pre-strains and kinematic hardening. The exponent of the yield function used in this work was assumed to decrease with increasing pre-strain.

Un dezavantaj major al modelelor FLC, prezentate mai sus până acum, este dependența sa de calea deformării, deoarece calea de tensionare a FLC în ștanțarea tablei nu este cunoscută cu certitudine. Dar, atât rezultatele experimentale, cât și cele numerice au indicat că FLD-urile sunt foarte sensibile la modificările căii de deformare (Ghosh și Laukonis 1976; Graf și Hosford 1993). Nu există o singură curbă în spațiul de deformare care să reprezinte limita de formare. Prin urmare, găsirea unei singure curbe independente de cale pentru a caracteriza limitele de formare este de un interes considerabil. Cunoscând dezavantajele FLD-urilor convenționale, Arrieux și colab. (1982) au reprezentat formabilitatea bazată mai degrabă pe starea de solicitare decât pe starea de deformare. Ei au construit o diagramă a tensiunilor limită de formare (FLSD) prin reprezentarea grafică a solicitărilor principale calculate la gâtuire.
One major drawback of FLC models presented above till now is its dependence on strain path, as the straining path of the FLC in sheet metal stamping is not known with any certainty. However, both experimental and numerical results have indicated that FLDs are very sensitive to strain path changes (Ghosh and Laukonis 1976; Graf and Hosford 1993). There is no single curve in strain space that represents the forming limit. Therefore, finding a single path-independent curve to characterize forming limits is of considerable interest. Knowing the drawback of the conventional FLDs, Arrieux et al. (1982) represented formability based on the state of stress rather than the state of strain. They constructed a Forming Limit Stress Diagram (FLSD) by plotting the calculated principal stresses at necking.

Stoughton (2000) a extins ideea originală a lui Arrieux et al. (1982) și au arătat că limita de formare atât pentru încărcarea proporțională, cât și pentru încărcarea neproporțională poate fi explicată printr-un singur criteriu care se bazează mai degrabă pe starea de efort decât pe starea deformării, prin maparea valorilor deformării de la diferite căi de deformare într-un spațiu de solicitări presupunând starea de solicitare plană. Dar este destul de dificil de măsurat experimental starea de solicitare în comparație cu starea de deformare. Folosind FEM este posibil să se estimeze starea de solicitare cu o bună acuratețe, dar trebuie utilizat un criteriu pentru a construi curba de tensiune limită de formare (FLSC) în spațiul de solicitări. Pentru a valida acest lucru, FLSC experimental este posibil numai cu maparea FLC experimentală în spațiul de deformare la spațiul de solicitare (Fig. 5).
Stoughton (2000) extended the original idea of Arrieux et al. (1982) and showed that the forming limit for both proportional and nonproportional loading can be explained from a single criterion which is based on the state of stress rather than the state of strain by mapping the strain values from different strain paths into a stress space assuming plane stress condition. But it is quite difficult to measure the state of stress experimentally as compared to the state of strain. Using FEM it is possible to estimate the state of stress with good accuracy, but a criterion has to be used to construct the Forming Limit Stress Curve (FLSC) in stress space. To validate this, experimental FLSC is possible only with mapping of experimental FLC in strain space to stress space (Fig. 5).

Stoughton (2001) a studiat influența modelului material asupra criteriului limitei de formare bazat pe solicitare. Stoughton și Zhu (2004) au revizuit modelele teoretice bazate pe deformare ale lui Swift, Hill și Storen și Rice și relevanța lor pentru FLD bazată pe solicitare folosind condiții de solicitare plană. Smith şi colab. (2003) au studiat influența solicitării normal transversale asupra limitei de formare a spațiului de deformare presupunând că limita de formare a spațiului de soicitare este relativ insensibilă la solicitarea normal transversală. Acest model prezice o creștere a formabilității în spațiul de deformare care variază neliniar cu o mărime în creștere a raportului de efort normal transversal la compresiune. Stoughton (2001) studied the influence of material model on the stress-based forming limit criterion. Stoughton and Zhu (2004) reviewed the theoretical strain based models of Swift, Hill, and Storen and Rice and their relevance to the stress based FLD using plane stress conditions. Smith et al. (2003) studied the influence of transverse normal stress on strain space forming limit by assuming that the stress space forming limit is relatively insensitive to transverse normal stress. This model predicts an increase in formability in strain space that varies nonlinearly with an increasing magnitude of compressive transverse normal stress ratio. Smith și Matin (2004) și-au extins modelul anterior presupunând că raportul de deformare este definit a fi constant chiar și cu influența solicitării normal transversale, în schimb presupunând că limita de formare a spațiului de solicitare este relativ insensibilă la solicitarea normal transversală. Acest model propus este independent de tipul funcției de randament și este fundamental diferit de modelul lor original. În plus, modelul propus este mult mai simplu decât modelul original. Stoughton și Yoon (2004) au extins ideea originală a lui Arrieux (1995) și au propus conceptul de curbă limită de formare anizotropă. Ei au propus că limita de formare nu mai este definită de o curbă, ci necesită definirea unei suprafețe în spațiul de deformare sau solicitări și, prin urmare, nu mai este adecvat să se vizualizeze aceste limite cu ajutorul diagramelor bidimensionale. O soluție la provocarea de a evalua formabilitatea pentru un material anizotrop plan este propusă prin redimensionarea solicitărilor cu un factor; aici solicitările scalate au aceeași relație cu o singură curbă limită de formare într-o diagramă 2D în spațiul de solicitări, așa cum solicitările reale au cu adevărata limită de formare anizotropă în spațiul 3D.
Smith and Matin (2004) extended their previous model by assuming that the strain ratio is defined to be constant even with the influence of transverse normal stress, instead assuming that the stress space forming limit is relatively insensitive to transverse normal stress. This proposed model is independent of the type of yield function and it is fundamentally different than their original model. Further, the proposed model is much simpler than the original model. Stoughton and Yoon (2004) extended the original idea of Arrieux (1995) and proposed the concept of anisotropic forming limit curve. They proposed that the forming limit is no longer defined by a curve but requires the definition of a surface in strain or stress space, and therefore, it is no longer appropriate to view these limits with a convenience of two-dimensional diagrams. A solution to the challenge of assessing formability for a planar anisotropic material is proposed by rescaling the stresses by a factor; here the scaled stresses have the same relationship to a single forming limit curve in a 2D plot in stress space, as the actual stresses have to the true anisotropic forming limit in 3D space.

Simha și colab. (2007) au propus o curbă limită extinsă bazată pe solicitare (XSFLC). Curba limită bazată pe solicitare este apoi transformată în solicitare echivalentă și spațiu de solicitare medie pentru a obține XSFLC. Însă, atât FLD, cât și diagrama limită de formare bazată pe solicitare (SFLD) sunt măsurate și, respectiv, derivate pentru condițiile de încărcare a solicitării plane. În unele procese de formare a metalelor, cum ar fi hidroformarea și formarea flanșelor întinse, debutul gâtuliriii are loc în condiții de încărcare care nu sunt solicitări plane (Fig. 6).
Simha et al. (2007) proposed an Extended Stress-Based Limit Curve (XSFLC). The stress-based limit curve is then transformed into equivalent stress and mean stress space to obtain XSFLC. However, both FLD and stress-based forming limit diagram (SFLD) are measured and derived, respectively, for plane stress loading conditions. In some metal-forming processes, such as hydroforming and stretch flange forming, the onset of necking occurs under loading conditions that are not plane stress (Fig. 6).

Hagbart et al. (Alsos et al. 2008) au propus un nou criteriu analitic pentru prezicerea FLD și SFLD cunoscut sub numele de criteriu BWH prin combinarea teoriei Hills de gâtuire localizată pentru LHS a FLD și criteriul de instabilitate la forfecare Bressan Williams (1983) pentru RHS a FLD.
Hagbart et al. (Alsos et al. 2008) proposed a new analytical criterion for predicting FLD and SFLD known as BWH criterion by combining Hills localized necking theory for LHS of FLD and Bressan Williams (1983) shear instability criterion for RHS of FLD.

Bai și Wierzbicki (2008) au propus un nou concept de „severitate cumulativă a formării” pentru prezicerea formării gâtuirii în foi sub încărcare neproporțională. Fahrettin și Lee 2004; (Ozturk și Lee 2004) au investigat limitele de formare ale tablei utilizând criteriile de rupere ductilă prin efectuarea simulării cu elemente finite a unui test de formabilitate în afara planului. Predicțiile pentru LHS a FLD sunt bune, în acord cu rezultatele experimentale. Însă, predicțiile nu au avut succes pentru RHS a FLD. Ei au ajuns la concluzia că criteriile de fractură ductilă nu ar trebui utilizate direct pentru a calcula limitele de formare.
Bai and Wierzbicki (2008) proposed a new concept of “cumulative forming severity” for predicting neck formation in sheets under nonproportional loading. Fahrettin and Lee 2004; (Ozturk and Lee 2004) investigated the forming limits of sheet metal using ductile fracture criteria by performing the finite element simulation of an out-of-plane formability test. The predictions for LHS of the FLD are good in agreement with experimental results. However, the predictions were not successful for RHS of FLD. They have concluded that ductile fracture criteria should not be used directly to calculate forming limits.

Datorită progreselor în Mecanica daunei continue (CDM), Chow și colegii săi (Chow și Yu 1997; Chow și colab. 2002, 2003; Chow și Jie 2004) au dezvoltat o abordare unificată a daunelor pentru prezicerea diagramelor limitei de formare. Această teorie este extinsă pentru a prezice FLD pe modelul de întărire cinemato-izotropă cuplat cu daune sub încărcare neproporțională. Mai târziu, teoria daunei este cuplată cu teoria vârfurilor modificată pentru a deduce un criteriu de necking localizat generalizat. Pe baza acestui criteriu de gâtuire, se calculează deformarea limită de formare a tablelor de metal cu luarea în considerare a daunelor materiale.

Due to advancements in Continuum Damage Mechanics (CDM), Chow and his co-workers (Chow and Yu 1997; Chow et al. 2002, 2003; Chow and Jie 2004) developed a unified damage approach for predicting forming limit diagrams. This theory is extended to predict FLD on damage coupled kinematic–isotropic hardening model under nonproportional loading. Later, the damage theory is coupled with the modified vertex theory to deduce a generalized localized necking criterion. Based on this necking criterion, the forming limit strains of sheet metals with material damage consideration are computed. v