Aula 4

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Alguns estados em um processo estocástico só acontecem durante uma situação transiente. Ou seja, depois de um tempo, paramos de observar esses estados.
A forma rigorosa de caracterizá-los é pela chamada probabilidade de retorno. A probabilidade de retorno de um estado i é a probabilidade de eventualmente voltar a i, partindo de i. Se a probabilidade de retorno de um estado for 1, ele é dito recorrente, senão ele é dito transiente.
Uma consequência interessante é que se N_i for o número de passos que o processo passa em i, após começar em i, então E(N_i) é finito sss i for transiente.

Para fazer a conexão com o que está acontecendo no grafo de transições precisamos primeiro do conceito de acessibilidade. Um estado i acessa j, se a probabilidade de partir de i e eventualmente chegar em j for não-nula. Isso acontece sss existe um caminho indo de i a j no grafo de transições.
Quando i acessa j e j acessa i, dizemos que i e j se comunicam. Essa propriedade me dá uma relação de equivalência e consequentemente podemos estudar as classes de equivalência associadas. Essas classes são basicamente conjuntos em que todos os estados se comunicam.
Uma propriedade muito importante dessas classes é que todos os estados em um classe são de um mesmo tipo (transientes ou recorrentes)

A relação entre as diferentes classes vai me permitir só olhando no grafo de transições identificar quais classes são constituidas por estados transientes e quais são por estados recorrentes.
A propriedade crucial para isso é que se uma classe consegue acessar outras classes ela deve ser transiente e se uma classe finita não acessa outras classes, então ela deve ser recorrente.

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