Primeira Parte do Curso

Aula de 12/07 - Expansão de Taylor

Pontos conceituais importantes da aula

• As derivadas permitirem uma boa aproximação afim (local) de uma função tem como consequência que eu consigo usar derivadas de ordem superior para encontrar aproximações polinomiais para essa função

• O mesmo acontece com funções de muitas variáveis, porém o padrão das derivadas parciais a serem usadas é consideravelmente mais complicado. Vamos examinar mais de perto o caso até uma aproximação quadrática, que será relevante quando formos estudar minimização/maximização de funções (o próximo assunto do curso)

Leitura Recomendada:

• Guidorizzi 2: 15.4, 15.5

Exercícios (Guidorizzi):

• Cap 15.4 - 1 a 4

• Cap 15.5 - 1 a 3

• O projeto descoberta do cap 14.7 do Stewart também é interessante

Aula de 15/07 - Máximos e Mínimos

Pontos conceituais importantes da aula

• No caso de funções ℝ⟶ℝ, estudar as derivadas de uma função me dá informação a respeito dos pontos de máximo/mínimo/inflexão. A mesma ideia básica vale para o caso de funções de muitas variáveis, porém precisamos entender quais são as derivadas a serem estudadas e também vamos ter mais possibilidades para os comportamentos possíveis

• No caso ℝ⟶ℝ, nós íamos atrás das raízes da derivada da função em questão. A ideia básica é que se uma função está em um máximo, então nem aumentar ou diminuir o valor do argumento pode aumentar o valor. Isso necessitaria que a derivada tivesse um módulo nulo (pois senão isso me aponta para uma direção em que a função claramente aumenta) (note também que isso não é suficiente - 𝒙³ é um bom contra-exemplo)

• Essa mesma ideia de que não podemos ter uma direção em que o valor da função claramente aumenta (se nós estivermos em um máximo) se traduz em um gradiente nulo no caso de muitas variáveis (a derivada direcional precisa se anular em todas as direções e o módulo do gradiente é o máximo da derivada direcional)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.7

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis reais: (1)

• USP (Cálculo II) - Máximos e mínimos de funções de duas variáveis definidas: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.7 - 1 a 18

• Essa aula e as próximas estão cobertas na lista 5 da GRADMAT

Aula de 22/07 - Teste das Segundas Derivadas

Pontos conceituais importantes da aula

• Assim como no caso de uma variável, olhar as segundas derivadas vai me permitir distinguir as diferentes possibilidades de um ponto crítico

• Um comportamento novo que é fácil de visualizar em uma função de 2 variáveis são os chamados pontos de sela, em que parece que temos um máximo e um mínimo ao mesmo tempo (𝒙² - 𝒚² é um exemplo simples)

• Fazendo uma aproximação de Taylor até a segunda ordem e olhando curvas de nível podemos distinguir os diferentes casos

• Outro teste (mais prático) é calcular a chamada matriz hessiana do ponto crítico, que permite diferenciar as diferentes possibilidades através de seu traço e de seu determinante

Leitura Recomendada:

• Apostol II: 9.9, 9.12

Vídeos:

• USP (Cálculo II) - Condições necessárias e condições suficientes para que um ponto seja de máximo e mínimo: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.7 - 27 a 34

Aula de 26/07 - Multiplicadores de Lagrange (1 restrição)

Pontos conceituais importantes da aula

• Uma questão nova que surge quando falamos da maximização/minimização de funções de várias variáveis é como podemos fazer essa otimização com restrições extras adicionadas e essa questão na verdade surge com uma grande frequência em aplicações. Nessa aula iremos analisar o caso mais simples, quando essas restrições são dadas por equações (ou sistemas de equações) que os argumentos da função precisam obedecer

• Em princípio isso poderia ser feito resolvendo o sistema e substituindo na função, para obtermos uma função com menos variáveis e nenhuma restrição sobre sua otimização, porém muitas vezes esse método não é prático. Curiosamente, existe uma outra forma de remover as restrições em que nós aumentamos o número de variáveis ao invés de diminuir e que tem a vantagem de não exigir a solução do sistema de equações (a parte realmente difícil do método mais ingênuo). Essas variáveis extras que são adicionadas são comumente chamadas de "Multiplicadores de Lagrange" e a nova função com mais variáveis é chamada de Lagrangiana

• O ponto todo é que a Lagrangiana é construída de forma que se as restrições são todas obedecidas a Lagrangiana coincide com a função original e se o gradiente da Lagrangiana for nulo, as restrições são automaticamente obedecidas. Dessa forma, buscar os pontos onde o gradiente da Lagrangiana se anula me dá os pontos críticos da função restrita à região onde as restrições são obedecidas

• Vamos primeiro analisar o caso de uma restrição (e o caso com mais restrições na aula que vem). Em particular, esse caso é fácil de interpretar geometricamente usando a ideia de curvas e superfícies de nível e a interpretação do gradiente como a direção de maior crescimento (ou ainda a noção de derivada direcional)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.8

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Multiplicadores de Lagrange: (1)

• USP (Cálculo II) - Máximos e mínimos. Multiplicadores de Lagrange: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.8 - 1, 3 a 14, 18, 19, 25 a 37

Aula de 29/07 - Multiplicadores de Lagrange (2+ restrições)

Pontos conceituais importantes da aula

• Vamos começar analisando algumas aplicações do método dos multiplicadores de Lagrange

• Em seguida, vamos ver como fica o caso com mais do que uma restrição. A ideia é na verdade bem simples, pois podemos simplesmente adicionar as restrições uma a uma e é bem simples o padrão que surge (podemos provar o caso geral via indução, por exemplo)

• Terminamos com exemplos envolvendo várias restrições

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.8

Vídeos:

• USP (Cálculo II) - Método dos multiplicadores de Lagrange para 2 e 3 variáveis: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo II) - Método dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.8 - 15 a 17, 38 a 44

Aula de 02/08 - Integrais Duplas

Pontos conceituais importantes da aula

• Uma vez que vimos como fica o cálculo diferencial para funções ℝᴺ⟶ℝ, vamos ver como fica a ideia de integração para funções de várias variáveis.

• Assim como no caso da derivada parcial, nós também precisamos especificar com respeito a qual variável estamos fazendo a integração. Feito isso, a integral funciona exatamente como se todas as variáveis, exceto a variável de integração fossem constantes.

• Uma coisa interessante é que como as variáveis que não estão sendo integradas se comportam como constantes, então elas podem aparecer nos limites de integração. A interpretação geométrica do que isso significa vai ficar para a próxima aula, porém de um ponto de vista operacional, tudo ainda se comporta como integrais simples.

• Vamos ir um passo além e olhar a ideia de uma integral dupla, ou seja a integral de uma integral. Um caso interessante é quando podemos separar essa integral de integrais como um produto de integrais simples. Essa situação é descrita pelo teorema de Fubini, que pode ser aplicado na integração de uma função 𝒇(𝒙,𝒚) quando os limites de integração são constantes e 𝒇 pode ser separada em um produto: 𝒇(𝒙,𝒚) = 𝒈(𝒙).𝒉(𝒚)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.1, 15.2

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Integrais duplas sobre retângulos: (1)

• Univesp (Cálculo II) - Integrais iteradas e o teorema de Fubini: (1)

• USP (Cálculo III) - Integrais duplas. Introdução: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo III) - Teorema de Fubini: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo III) - Integrais iteradas: (1) (2) (3) (4)

Exercícios:

• Cap 15.2 - 3 a 12, 21 e 22

• A parte de integrais duplas está coberta na lista 6 da GRADMAT

Aula de 05/08 - Generalização para regiões não retangulares

Pontos conceituais importantes da aula

• Assim como uma integral (definida) simples de uma função de uma variável pode ser pensada como a área em baixo do gráfico da função em questão dentro de uma determinada região, a integral dupla de uma função de 2 variáveis pode ser pensada como o volume abaixo do gráfico da função (que é uma superfície nesse caso) em uma determinada região (note que isso significa que integrando a função 𝒇(𝒙,𝒚) = 1, obtemos a área da região de integração).

• Assim como no caso da integral simples, essa região é determinada pelos limites de integração. Isso é feito também através de desigualdades e a variedade maior de regiões que são possíveis em um plano (comparada com as que são possíveis em uma reta) saem exatamente da possibilidade de escrever limites de integração que envolvam variáveis.

• Essa ideia de que os limites de integração definem a região vai nas 2 direções. Ou seja, dada uma especificação de qual é a região do espaço em que eu estou integrando, eu devo ser capaz de obter quais são os limites de integração corretos - inclusive esses limites devem ter caras diferentes se eu escolher integrar primeiro em 𝒙 ou primeiro em 𝒚 (essa escolha pode facilitar ou dificultar a sua vida na hora de fazer os cálculos de fato, então é sempre bom ter em mente as 2 possibilidades)

• Vamos terminar a aula calculando alguns volumes clássicos através de integrais e outros que são menos triviais, além de algumas áreas, para efeito de ilustração

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.3, 15.5

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Integrais duplas sobre regiões genéricas: (1)

• Univesp (Cálculo II) - Aplicações de integrais duplas: (1)

Exercícios:

• Cap 15.3 - 1 a 12, 31 e 32

• Cap 15.5 - 1 e 2

Aula de 09/08 - Integrais Triplas

Pontos conceituais importantes da aula

• As ideias básicas da integração dupla se estendem com poucas modificações (na verdade como veremos na próxima aula, ela já dá a ideia central da integração em um número arbitrário de variáveis/dimensões). A interpretação geométrica é um pouco mais chata já que o gráfico da função é um objeto tridimensional que existe em 4 dimensões e o "hipervolume" abaixo desse objeto não é tão simples de interpretar.

• Apesar disso, é útil usar o caso em que 𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) = 1 para se calcular o volume da região de integração e essa integração tem aplicações em mecânica, por exemplo a integral tripla da densidade de um objeto que não seja homogêneo vai me dar a massa dele (ideias similares surgem em outras aplicações em que noções generalizadas de densidade surgem, como a densidade de carga, cuja integral tripla dá a carga total)

• Vamos ver como essa integral se comporta na prática calculando alguns volumes, assim como algumas quantidades que aparecem em aplicações de mecânica de corpos rígidos, como o momento de inércia

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.7

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Integrais triplas: (1)

• USP (Cálculo III) - Integrais triplas: (1) (2) (3)

Exercícios:

• Cap 15.7 - 3 a 16, 47 e 48

• Alguns assuntos a respeito de integrais triplas são cobertos na lista 7 da GRADMAT

Aula de 12/08 - Mudança de Variáveis em Integrais

Pontos conceituais importantes da aula

• Quando lidamos com integrais de uma variável, fazer mudanças de variável é um dos passos mais importantes para tornar os cálculos mais palatáveis - reduzindo integrais novas a casos já conhecidos. Nós poderíamos fazer as mudanças uma a uma a medida que elas fossem sendo necessárias, como temos feito. Porém como vamos ver é muito mais eficiente ser capaz de mudar várias variáveis ao mesmo tempo

• Para entender como essas mudanças vão funcionar, precisamos primeiro olhar para essas integrais múltiplas do ponto de vista de uma soma de Riemann, em que a integral é uma soma de valores atribuídos a quadrados/cubos/hipercubos/etc arbitrariamente pequenos que recobrem a região de integração

• O que a mudança de variáveis vai fazer é deformar as áreas/volumes/etc desses quadrados/cubos. A maneira como essa deformação acontece pode ser determinada, pois nós sabemos o que acontece com os vetores que definem os paralelepípedos/paralelogramos resultantes e logo podemos usar a fórmula do volume desses objetos (que vocês viram em GA) através do determinante de uma matriz

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.9

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Mudança de variáveis em integrais múltiplas: (1)

• USP (Cálculo III) - Mudança de variáveis na integral dupla: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

• USP (Cálculo III) - Mudança de variáveis na integral tripla: (1) (2) (3) (4) (5)

Exercícios:

• Cap 15.9 - 7 a 10

Aula de 16/08 - A Matriz Jacobiana

Pontos conceituais importantes da aula

• A matriz com que nos deparamos no final da aula passada é a chamada matriz jacobiana da transformação entre os 2 conjuntos de variáveis. Essa matriz é o análogo do gradiente para funções ℝᴺ⟶ℝᴹ e ela é estudada em mais detalhes no curso de Cálculo Vetorial e Tensorial (por exemplo, a forma da regra da cadeia pode ser feita bem mais geral e elegante usando a ideia de jacobianos)

• Para essa aula vamos revisitar algumas das integrais que já fizemos e umas novas, aproveitando a noção de Jacobiano para fazer as mudanças de variável de uma maneira mais inteligente

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.9

Vídeos (mesmos vídeos da aula passada):

• Univesp (Cálculo II) - Mudança de variáveis em integrais múltiplas: (1)

• USP (Cálculo III) - Mudança de variáveis na integral dupla: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

• USP (Cálculo III) - Mudança de variáveis na integral tripla: (1) (2) (3) (4) (5)

Exercícios:

• Cap 15.9 - 11 a 16

Aula de 19/08 - Integrais com Coordenadas Polares

Pontos conceituais importantes da aula

• Alguns sistemas de coordenadas (além do cartesiano que temos usado majoritariamente) são bastante úteis em algumas aplicações. Isso tipicamente acontece quando usamos um sistema de coordenadas que reflete as simetrias do problema

• O primeiro desses sistemas é o sistema de coordenadas polares, que emerge quando temos simetrias de rotação em um problema bidimensional

• Note que o novo sistema de coordenadas é apenas uma parametrização diferente do plano em que estamos considerando nossas funções e que a forma dele reflete a maneira como parametrizamos curvas que obedecem a simetria de rotação em questão (ou seja, círculos)

• Vamos terminar com algumas integrais clássicas envolvendo esse sistema de coordenadas (área do círculo, volume do cone e da esfera, integral gaussiana)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.4

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Integrais duplas no sistema de coordenadas polares: (1)

Exercícios:

• Cap 15.4 - 7 a 16

Aula de 23/08 - Integrais com Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Pontos conceituais importantes da aula

• Quando temos uma simetria de rotação com respeito a apenas um dos eixos em um sistema tridimensional, as regiões de simetria são cilindros. Parametrizar os cilindros me dá o sistema de coordenadas cilíndrico. Grosso modo esse sistema é muito parecido com o sistema de coordenadas polar (é como se eu fizesse a mudança para coordenadas polares com 𝒙 e 𝒚, enquanto o 𝒛 é deixado intacto)

• Uma questão interessante que surge é o volume dos chamados sólidos de revolução. Imagine que eu tenha uma figura no plano 𝒙𝒛 e eu rodo essa figura 360°, pegando todos os pontos por onde ela passa, para formar um sólido em três dimensões. O sistema de coordenadas cilíndrico me permite calcular o volume em questão de maneira mais fácil

• O ultimo sistema de coordenadas que vamos examinar é o sistema de coordenadas esférico, que surge quando temos uma simetria de rotação com respeito a todos os eixos em um sistema tridimensional. As regiões de simetria são então esferas e a parametrização de uma esfera com um dado raio me dá a forma do sistema.

• Vamos terminar com alguns exemplos envolvendo coordenadas esféricas, como o cálculo do momento de inércia de uma esfera homogênea

Leitura Recomendada:

• Stewart: 15.8

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas: (1)

Exercícios:

• Cap 15.8 - 1 a 10, 17 a 20, 27

26/08 - Prova 2

Matéria até a aula anterior

30/08 - SUB

Prova focando a parte do curso correspondente a prova perdida (P1 ou P2)