Aula de 06/02 - A noção de demonstração

Pontos conceituais importantes da aula

• A principal coisa que distingue a Matemática de outras ciências é que ao invés de ser baseada em evidências, ela é baseada em argumentação lógica.

• Uma consequência é que se queremos verificar se uma afirmação matemática é verdadeira ou não, exemplos a favor da afirmação não me dizem nada. Porém um exemplo contra a afirmação é suficiente para decidir que a afirmação é falsa.

• Ao invés de usar exemplos, devemos partir das premissas da nossa afirmação matemática e construir um raciocínio lógico (chamado de demonstração) que chega na conclusão que a afirmação em questão é verdadeira.

• Para construir esse tipo de argumento precisamos entender como diferentes afirmações podem se conectar logicamente, o que vai levar as noções de condição necessária e de condição suficiente.

• Como um exemplo de como isso funciona, vou fazer a demonstração do Teorema de Pitágoras.

Leitura Recomendada:

• Para se aprofundar nessa primeira semana eu aconselho o How to think like a Mathematician (ou pelo menos fazer os exercícios complementares abaixo). A parte IV do livro fala de técnicas de prova, enquanto que a parte II da uma visão informal de lógica. Para um ponto de vista mais rigoroso vocês podem olhar o cápitulo 1 da apostila de Bases Matemáticas.

Exercícios:

• Exercícios Complementares

Aula de 09/02 - Provas por absurdo

Pontos conceituais importantes da aula

• O tipo de demonstração que vimos na aula passada cria a sua argumentação através de uma sequência de afirmações em que uma implica na outra e dessa forma conseguimos partir de certas hipóteses e chegar na afirmação desejada.

• Considere por outro lado uma situação em que X 🡢 Y, mas nós sabemos que Y é falso. Então se X fosse verdadeiro teríamos uma contradição, já que isso implicaria que Y é verdadeiro. Esse tipo de argumento leva a um tipo de demonstração chamado prova por absurdo (entre outros nomes).

• Como exemplos de provas por absurdo, vou demonstrar que √2̅ ̅ é irracional e que existem infinitos números primos.

• Vamos terminar a aula discutindo um pouco o que as coisas que nós vimos nessas duas aulas falam a respeito da estrutura da matemática.

Leitura Recomendada:

• Para se aprofundar nessa primeira semana eu aconselho o How to think like a Mathematician (ou pelo menos fazer os exercícios complementares abaixo). A parte IV do livro fala de técnicas de prova, enquanto que a parte II da uma visão informal de lógica. Para um ponto de vista mais rigoroso vocês podem olhar o cápitulo 1 da apostila de Bases Matemáticas.

Exercícios:

• Exercícios Complementares

Aula de 13/02 - Conjuntos

Pontos conceituais importantes da aula

• A matemática moderna é toda construída em cima da Teoria de Conjuntos. Assim como vocês viram no Ensino Médio, um conjunto é uma coleção de objetos em que não há repetições.

• Nessa aula vamos prioritariamente revisar as relações básicas entre conjuntos.

• Uma operação que pode ser nova para vocês é a diferença entre conjuntos, onde A\B denota os elementos de A que não estão em B.

• Uma ferramenta extremamente útil para visualizar as relações entre conjuntos são os diagramas de Venn

• Também vamos examinar uma notação bastante comum para construir conjuntos a partir de propriedades.

Leitura Recomendada:

• O cápitulo 1 do How to think like a Mathematician dá uma introdução informal ao assunto. O cápitulo 2 da apostila de Bases Matemáticas dá mais detalhes e um tratamento mais rigoroso de conjuntos.

Exercícios:

• Exs. 1 a 8 da Lista 1

• (Opcional) exs. 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13 do Livro de Exercícios

Aula de 16/02 - Funções

Pontos conceituais importantes da aula

• Funções são relações entre conjuntos que abstraem a noção de "fórmula", atribuindo a cada elemento de um conjunto, um elemento do outro.

• Três conceitos são importantes quando falamos de funções: Domínio, Co-Domínio e Imagem. Iremos ver quais são as definições e interpretações gráficas deles.

• Um outro conceito importante associado a funções é a Pré-Imagem que em um certo sentido inverte a operação definida por uma função.

Leitura Recomendada:

• Para a parte de domínio, co-domínio, imagem e pré-imagem de funções olhem a seção 6.1 da apostila.

• Complemento sobre imagens e pré-imagens

Exercícios:

• Exs. 9 a 12 da Lista 1

• (Opcional) ex. 26 do Livro de Exercícios

Aula de 23/02 - Injeção, Sobrejeção e Bijeção

Pontos conceituais importantes da aula

• Se aprofundando em funções, vamos ver três propriedades importantes que um função pode ter. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

• Uma função ser bijetora é uma propriedade particularmente importante, pois significa que a pré-imagem dela também define uma função (chamada de função inversa).

• Essas propriedades impõe restrições sobre como o gráfico da função pode ser. Também é bastante simples identificar essas propriedades olhando apenas os gráficos.

• Finalmente, vamos ver que eu sempre posso escolher o domínio e co-domínio de uma função de forma que ela seja bijetora.

Leitura Recomendada:

• A seção 6.2 da apostila de bases matemáticas cobre o assunto dessa semana. O capítulo 30 do How to think like a Mathematician também fala de maneira mais informal sobre o assunto e dá algumas dicas úteis, além de incluir uma parte falando da conexão entre bijeções e contagem que eu resolvi cortar, mas que é interessante mesmo assim.

Exercícios:

• Ex. 15 da Lista 1

• Exs. 32 e 33 do Livro de Exercícios

Aula de 27/02 - Composições

Pontos conceituais importantes da aula

• A ideia de uma função pode ser pensada como uma operação realizada em um valor. Composições são então fazer diversas dessas operações em sequência, obtendo assim uma nova função.

• Vamos ver como essa noção de composição interage com os conceitos de injetividade, sobrejetividade e inversão.

• Finalmente, algumas composições simples tem efeitos bem característicos no gráfico da função, que permite ter uma ideia de como o gráfico da composição vai se comportar.

Leitura Recomendada:

• O capítulo 30 do How to think like a Mathematician fala também sobre composições

Exercícios:

• Resto da Lista 1 (exs 13, 14, 16 e tentem o 17)

Aula de 02/03 - Indução Finita

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula nós vamos ver a nossa última técnica de demonstração que são as provas por indução.

• Uma prova por indução é normalmente usada para mostrar que uma afirmação vale para todos os números naturais. A ideia é mostrar explicitamente que a afirmação vale para n=0 e depois mostrar (usando alguma das outras técnicas) que se ela vale para algum valor n ela também vale para o valor seguinte n+1.

• A ideia é análoga a uma fileira de dominós. A ideia que se vale para n vale para n+1 seria análoga a dizer que se eu derrubar um dominó o seguinte também cai. Já a ideia que vale para n=0 é como derrubar o primeiro dominó. O ponto todo é que se eu tenho todos esses ingredientes, então todos os dominós vão cair.

Leitura Recomendada:

• A seção 3.2 da apostila de bases matemáticas trata do assunto e tem vários exercícios sobre indução também. O capítulo 24 do How to think like a Mathematician também fala disso e dá dicas úteis sobre como aplicar indução em geral (em particular a pág. 170).

Exercícios:

• Exs. 1 a 6 da Lista 2

Aula de 06/03 - Gráficos de Funções

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula vou falar dos gráficos de algumas funções básicas (afins, monômios e senóides)

• Alguns outros conceitos que eu vou introduzir são funções definidas por partes, o conceito de paridade e ideia de periodicidade

• No final da aula, vou falar um pouco sobre como o gráfico da função inversa se relaciona com o da função original

Leitura Recomendada:

• A parte dessa aula é coberta nos caps 2.1 e 2.2 do Guidorizzi (apesar que esses capítulos tem partes que só vamos ver de fato na aula de 20/03)

Exercícios:

• Resto da Lista 2 (exs. 7 a 9)

Aula de 09/03 - Estudo de Sinal e Polinômios

Pontos conceituais importantes da aula

• Um ponto importante para entendermos o gráfico de polinômios mais complicados do que um monômio é quando essas funções trocam de sinal.

• Isso pode ser feito de uma maneira sistemática se nós temos como fatorar esses polinômios como um produto de funções afins, o que em geral envolve conhecer as raízes do polinômio.

• No fundo o que vamos estar fazendo é resolver inequações envolvendo polinômios (as duas ideias são equivalentes)

Leitura Recomendada:

• Essa parte está coberta no cap 1.2 do Guidorizzi (esse capítulo estuda também o caso mais geral de razões entre polinômios, que vamos considerar na aula de 20/03)

Exercícios:

• Deem uma olhada no reforço de álgebra

Aula de 13/03 - Revisão

16/03 - P1

Aula de 20/03 - Comportamentos Assintóticos

Pontos conceituais importantes da aula

• Vamos voltar a olhar funções racionais e seus gráficos. Por outro lado, vamos estar também preocupados com como podemos aproximar o comportamento da função em diferentes situações:

  • A primeira dessas situações é quando x→∞ e quando x→-∞. Ou seja, quando vamos para as diferentes extremidades do eixo x.

  • A segunda dessas situações é quando estamos na vizinhança de um valor de x para o qual a função explode.

• A ideia principal dessa análise é que nessas situações extremas eu posso aproximar minha função por um monômio pois apenas algumas das potências dos polinômios envolvidos vão ser relevantes.

Leitura Recomendada:

• Caps 1.2 e 2.1 do Guidorizzi

Exercícios:

• Os exercícios da lista 3 cobrem esse assunto

Aula de 23/03 - Continuidade e Limites

Pontos conceituais importantes da aula

• Vou começar discutindo funções racionais que podem ser simplificadas. A ideia é que nesse caso uma raiz no denominador não é uma garantia que a função vá explodir naquele ponto e em princípio seriamos capazes de consertar a função nesse ponto.

• Isso vai nos levar naturalmente a noção de funções contínuas, que grosso modo são funções que não exibem "saltos" e "explosões" no seu gráfico (que pode ser considerada tanto em um nível global quanto em um nível local para apenas um pedaço do domínio da função).

• Vou então usar a noção de continuidade para definir a noção de limite (que vai ser central para todo o Cálculo/FUV)

• Vou terminar examinando a interpretação geométrica do que significa a função ter um salto, o que vai nos levar a uma definição rigorosa de continuidade (e por tabela dos limites), conhecida como a definição ε-δ.

Leitura Recomendada:

• Seções 3.1 e 3.2 do Guidorizzi

Exercícios:

• Continuem fazendo a lista 3

• Exs. 1 a 3 do cap 3.1 do Guidorizzi (o ex. 4 é um pouco longo mas também é útil)

Aula de 27/03 - O teorema das pré-imagens

Pontos conceituais importantes da aula

• Vou ilustrar a definição ε-δ dada na aula passada para demonstrar que a soma de 2 funções contínuas é contínua (que é uma das propriedades centrais da continuidade).

• Uma coisa que vocês vão perceber dos argumentos que aparecem quando eu uso essa definição é que tudo parece "sair da cartola" sem um padrão muito óbvio. Por causa disso, eu prefiro olhar a continuidade por um outro ângulo, usando a noção de pré-imagem.

• O teorema em questão me diz que uma função é contínua se e somente se a pré-imagem de todos os intervalos abertos forem uniões de intervalos abertos

• A ideia desse teorema é provar que algumas funções simples são contínuas e depois usar propriedades da continuidade para determinar a continuidade de funções mais complicadas.

• Nessa veia, vou provar explicitamente que funções constantes, a função identidade e a função f(x)=x² são todas contínuas.

Leitura Recomendada:

• Seções 3.2 e 3.3 do Guidorizzi 

Exercícios:

• Exs. 1 a 3 do cap 3.2 do Guidorizzi.

OBS: Para o ex. 1, ao invés de usar a definição ε-δ podemos usar o teorema das pré-imagens. Para tanto, basta provar que f é contínua no domínio inteiro. Apenas as letras (f) e (g) necessitam de ε-δ (pq?)

Aula de 30/03 - Propriedades da Continuidade

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula vou começar definindo algumas propriedades de continuidade para tornar mais prático manipular essa noção, sem precisar ter acesso a gráficos.

• Usando o teorema das pré-imagens vou mostrar que multiplicar uma função contínua por uma constante me dá uma nova função contínua e que a composição de funções contínuas é contínua.

• Juntando com as propriedades anteriores isso me diz que o produto de funções contínuas é contínuo.

• Juntando com uma prova de que 1/x é contínua (excluído o caso x = 0) isso me fala sobre quando a razão entre funções contínuas é contínua.

• Vamos usar essas propriedades para calcular alguns limites.

Leitura Recomendada:

• Seções 3.2, 3.3 e 3.5 do Guidorizzi

Exercícios:

• Ex 1 do cap 3.3 do Guidorizzi

 Aula de 03/04 - Propriedades dos Limites

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula vamos ver um teorema que vai ser bastante útil para determinar a continuidade de algumas funções, em particular funções inversas.

• O teorema diz que se f: I→J (onde I e J são intervalos abertos) é uma função bijetora e estritamente crescente (ou decrescente) então f é contínua.

• Também vou mostrar por que as propriedades da continuidade devem se refletir nas propriedades dos limites.

• Finalmente vou falar da ideia de limites laterais e como eles se conectam com os limites usuais que temos visto.

Leitura Recomendada:

• Caps 3.4, 3.5 e 3.9 do Guidorizzi

Exercícios:

• Exs 2 a 4 do cap 3.3. Ex. 1 do cap 3.5

• Façam a parte correspondente na lista 4

Aula de 06/04 - Funções Trigonométricas

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula vamos ver com um pouco mais de detalhe as funções trigonométricas e algumas de suas propriedades.

• Vamos também examinar (com uma combinação de argumentos geométricos e propriedades que já demonstramos) a continuidade dessas funções trigonométricas.

• Finalmente, vamos examinar (de maneira não rigorosa por enquanto) o chamado limite fundamental trigonométrico. Vou também olhar qual é a interpretação geométrica desse limite e como ela conecta com a ideia de usar radianos para medir ângulos.

Leitura Recomendada:

• Caps 2.2, 2.3 e 3.7 do Guidorizzi

Exercícios:

• Façam a parte correspondente na lista 4

Aula de 10/04 - O Teorema do Confronto

Pontos conceituais importantes da aula

• Vamos nessa aula tornar rigoroso o argumento que eu dei para o limite fundamental trigonométrico. Isso é feito através do teorema do confronto.

• Esse teorema me diz que se temos 3 funções f(x), g(x) e h(x) tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e quando x → a temos f(x) → L e h(x) → L então devemos ter também g(x) → L.

• Esse teorema permite entender diversos limites que seriam bem problemáticos de serem calculados por outros métodos. A maior parte da aula será devotada a exemplos envolvendo esse teorema.

Leitura Recomendada:

• Caps 3.6, 3.7 e 3.9 do Guidorizzi

Exercícios:

• Façam a parte correspondente na lista 4

Aula de 13/04 - Limites no ∞ e limites infinitos

Pontos conceituais importantes da aula

• A ideia de limites laterais pode ser usada para determinar o comportamento assintótico de uma função qualquer quando x → ∞ ou x → -∞ (não apenas no caso de funções racionais como vimos na aula do dia 20).

• Vamos também formalizar a ideia de uma função explodir (que nós vimos já ao longo de diversos exemplos) dizendo que o valor de um limite é ∞ ou -∞.

• Essa ideia pode ser combinada com as propriedades algébricas dos limites para decidir se uma função explode ou não olhando diferentes limites separadamente

Leitura Recomendada:

• Caps 4.1 e 4.2 do Guidorizzi

Exercícios:

• Façam a parte correspondente na lista 4

Aula de 17/04 - Limites de sequências e processos limite

Pontos conceituais importantes da aula

Leitura Recomendada:

• Caps 4.3, 4.5 e 6.3 do Guidorizzi

Exercícios:

• Façam a parte correspondente na lista 4

Aula de 20/04 - Mais sobre o Limite Exponencial

Pontos conceituais importantes da aula

Leitura Recomendada:

• Cap 6 inteiro do Guidorizzi

Exercícios:

• Façam a parte correspondente na lista 4

24/04 - Revisão

27/04 - P2

03/05 - SUB