Notas de Aula e Material Suplementar

Semana 1

Aula 1 - Espaços e Subespaços Vetoriais

Aula 2 - Bases e Dimensão

Suplementar da aula 2: Extensão de bases no caso de dimensão infinita

Exs sugeridos:

Hofman-Kunze cap 2.1 - exs 2,3,5

Hofman-Kunze cap 2.2 - exs 1,3,5

Hofman-Kunze cap 2.3 - exs 1,2,5,6

Kostrikin-Manin cap 1 - exs 1,2

Semana 2

Aula 3 - Transformações Lineares (definição, núcleo e imagem)

Semana 3

Aula 4 - Transformações Lineares (isomorfismos)

Aula 5 - Transformações Lineares (representação matricial e mudança de base)

Semana 4

Aula 6 - Espaço dual

Aula 7 - Aniquiladores, Somas Diretas e Projeções

Semana 5

Aula 8 - Espaços Quocientes

Aula 9 - Formas Bilineares e Complementos Ortogonais

Prova que bilinear reflexivo implica simétrico ou antissimétrico

Semana 6

Gabarito P1

Aula 10 - Isomorfismos musicais, o tensor métrico e aplicações adjuntas

Semana 7

Aula 11 - Conexões entre adjuntas e complementos ortogonais. Isometrias e os grupos associados.

Aula 12 - Bases ortogonais e simpléticas. Projeções ortogonais.

Semana 8

Aula 13 - Bases simpléticas. O problema de autovalores e autovetores

Semana 9

Notas sobre polinômios

Aula 14 - Exemplos do problema de autovalores e autovetores. Polinômios mínimos e o teorema de Cayley-Hamilton

Prova detalhada do teorema da decomposição principal

Aula 15 - O teorema da decomposição principal e o teorema da decomposição canônica de Jordan

Semana 10

Aula 16 - Consequência da decomposição de Jordan (exponenciação e sistemas de EDOs). Teorema Espectral.

Prova do teorema espectral

Aula 17 - Decomposição em projetores. Consequências. Formas multilineares e produtos tensoriais.

Semana 11

Aula 18 - Covariância e Contravariância. Representação em componentes de um tensor. Contrações e a notação de Einstein.

Aula 19 - Levantamento e abaixamento de índices. Simetrização e antissimetrização de tensores. Produto tensorial de transformações.

Semana 12

Aula 20 - Produto exterior e a álgebra de Grassmann. Papel do determinante e interpretação geométrica

Aula 21- Campos Tensoriais. Operador estrela. Formas diferenciais.