Aula de 07/06 - Curvas Parametrizadas

Pontos conceituais importantes da aula

• A ideia que eu posso atribuir coordenadas para pontos de um espaço implica que eu posso definir objetos geométricos através de equações ou sistemas de equações. Isso é feito identificando o objeto com o conjunto de pontos cujas coordenadas obedecem às equações, que chamamos do "lugar geométrico" das equações

• No curso de Geometria Analítica isso já foi visto no caso de retas e planos. Vamos estender essa ideia para curvas mais gerais

• Em particular, vamos partir da representação paramétrica de uma reta para chegar na ideia da representação paramétrica de uma curva qualquer

Leitura Recomendada:

• Stewart: 10.1, 10.2, 12.5

• Apostol I: 13.2, 13.3, 13.4, 13.5

Exercícios (Stewart):

• Cap 10.1 - 5 a 10 (a parte de eliminar o parâmetro para chegar em uma expressão algébrica)

• Cap 10.1 - 23, 24 e 33

• Cap 10.2 - 3 a 6 e 17 a 20

Aula de 10/06 - Superfícies Parametrizadas

Pontos conceituais importantes da aula

• A ideia da aula anterior é estendida agora para objetos com 2 parâmetros. Ao invés de curvas, isso vai me dar superfícies (a exemplo da representação paramétrica de planos)

• Serão vistos também exemplos de lugares geométricos definidos por equações em 2 e 3 dimensões. Alguns exemplos importantes são as cônicas (elipses, parábolas e hipérboles) e os seus análogos tridimensionais (ATENÇÃO - esses são exemplos que voltarão mais tarde quando falarmos de máximos e mínimos)

• Reparametrizar um plano/espaço vai nos levar à ideia de sistemas de coordenadas generalizados. Iremos ver os 3 mais importantes (que vão acompanhar vocês por boa parte do BCT): O sistema polar, o sistema cilíndrico e o sistema esférico

Leitura Recomendada:

• Stewart: 10.7, 12.6, 12.7

• Apostol I: 13.6, 13.7, 13.8

• Apostol II: 12.1

Exercícios (Stewart):

• Cap 10.3 - 7 a 12 e 15 a 20

• Cap 12.7 - 57 a 62

• Cap 12.6 - 11 a 20 e 21 a 28

Aula de 14/06 - Gráficos e Curvas de Nível

Pontos conceituais importantes da aula

• Veremos como funcionam gráficos para funções de 2 variáveis. Uma coisa interessante é que o gráfico de uma função (não importa o número de variáveis) pode ser pensado como um objeto parametrizado

• Essa ideia de parametrização vai ser usada na próxima parte, quando falarmos sobre limites e será revisitada no fim do curso quando estudarmos mudanças de variável para integrais de funções de muitas variáveis

• Outra forma importante de se visualizar uma função são as curvas de nível (no caso de funções de 2 variáveis) e superfícies de nível (para 3 variáveis), que conectam com os assuntos discutidos na semana passada

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.1

Vídeos:

• USP (Cálculo II) - Funções de duas variáveis a valores reais: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo II) - Funções de três variáveis: superfícies de nível: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.1 - 15, 16, 19, 20, 27, 28, 29, 43, 44, 59

• A Lista 1 da GRADMAT cobre essa aula

Aula de 21/06 - Limites em ℝᴺ

Pontos conceituais importantes da aula

• Assim como no caso de uma variável, o limite é uma formalização da ideia de "aproxima um determinado valor quando eu me aproximo de um determinado argumento"

• Quando estudamos limites com uma variável, um ponto importante é a distinção entre limites direcionais e os limites usuais (ou não-direcionais). A conexão entre os dois conceitos é que o limite usual existe sss ambos os limites direcionais (à esquerda e à direita) existem e são iguais (e nesse caso o limite usual também tem o mesmo valor)

• Quando falamos de funções de muitas variáveis, como "há mais espaço do que em 1 dimensão" no domínio da função, segue que a noção de limite direcional fica mais complexa e falamos do limite ao longo de uma curva (parametrizando a curva e definindo um limite usual em ℝ, como os que estamos acostumados). Porém continua valendo a ideia que o limite usual existe sss os limites ao longo de todas as curvas possíveis existem e são idênticos

• Essa ideia pode ser usada para identificar situações onde um dado limite não existe, por exemplo identificando uma curva ao longo do qual o limite não existe ou 2 curvas ao longo do qual os limites existem mas são distintos

• Por outro lado, de fato considerar todas as curvas ao mesmo tempo pode ser feito usando uma combinação de representações específicas dessas curvas e o teorema do confronto

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.2

• Apostol II: 8.2, 8.3

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.2 - 5 a 20

• A Lista 2 da GRADMAT tem exercícios relevantes

Aula de 24/06 - Continuidade e suas Propriedades

Pontos conceituais importantes da aula

• A definição de limites através de 𝜺 e 𝜹 tem o seu valor teórico (para provar teoremas) mas ela não é em geral um método muito prático para calcular os limites de fato.

• Uma rota mais prática para casos onde não ocorrem indeterminações é usar a noção de continuidade, que também pode ser generalizada do caso de uma variável para várias variáveis

• Grosso modo, as propriedades de continuidade são as mesmas quando estamos lidando com várias variáveis (coisas como somas de funções contínuas são contínuas, idem para produtos, composições, etc.)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.2

• Apostol II: 8.4, 8.5

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Limites e continuidade de funções de várias variáveis com valores reais: (1) (2)

• USP (Cálculo II) - Continuidade e cálculo de limites de funções de duas variáveis: (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.2 - 23, 24 e 27 a 36

• Essa aula cobre o resto da lista 2 da GRADMAT

Aula de 28/06 - Derivadas Parciais e Diferenciabilidade

Pontos conceituais importantes da aula

• A noção de derivada se torna muito mais rica, com uma variedade de generalizações diferentes uma vez que passamos para várias variáveis. Mesmo assim, todas elas podem ser condensadas (de uma forma ou outra) na noção de derivada parcial

• A interpretação do que é a derivada parcial de uma função 𝒇 com respeito a uma variável 𝒙 é que tudo se passa como eu transformasse todas as variáveis de 𝒇, exceto o 𝒙, em constantes. Isso me permite pensar em 𝒇 como sendo uma função de uma variável (o 𝒙) e prosseguir com uma derivação com respeito a 𝒙 da maneira usual. Por exemplo, se 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙² + 2𝒙𝒚 + 3𝒚 então quando eu penso na derivada parcial com respeito a 𝒙, o 𝒚 se comporta como uma constante e eu obtenho 2𝒙 + 2𝒚 como sendo a derivada. Já para a derivada parcial com respeito ao 𝒚 é o 𝒙 que se comporta como uma constante, de forma que essa derivada seria 2𝒙 + 3

• As derivadas parciais permitem identificar o plano tangente ao gráfico de uma curva (se ele existir) ou as generalizações adequadas para mais dimensões (quando tivermos uma função com pelo menos 3 variáveis). A noção de diferenciabilidade está conectada à existência desses planos (espaços) tangentes, porém uma condição suficiente para isso vai ser a continuidade das derivadas parciais

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.3 e 14.4

• Apostol II: 8.6, 8.7

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Plano tangente e aproximação linear: (1)

• USP (Cálculo II) - Diferenciabilidade de funções de duas variáveis: (1) (2) (3)

• Univesp (Cálculo II) - Derivadas parciais de funções de várias variáveis com valores reais: (1)

• USP (Cálculo II) - Derivadas parciais: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.3 - 13 a 34

• Cap 14.4 - 1 a 6 e 11 a 16

• A primeira parte da lista 3 da GRADMAT cobre essa aula

Aula de 01/07 - Derivadas Direcionais e o Gradiente

Pontos conceituais importantes da aula

• A derivada direcional é um outro conceito que permite dar uma interpretação geométrica para a derivada parcial. Nessa derivada eu estou interessado na minha função como se ela estivesse definida em uma reta (por onde passa o ponto onde estou tomando a derivada), ou seja ela me dá a taxa de variação da minha função se eu "me movo em uma dada direção". As derivadas parciais seriam apenas as derivadas direcionais quando eu me movo paralelo a um dos eixos do sistema de coordenadas

• Como o dominio de uma função de várias variáveis é um espaço em que podemos nos mover em diferentes direções (ao contrário da reta real, em que só há uma direção) uma pergunta interessante é ao longo de qual direção o valor da função muda de maneira mais abrupta. Em outras palavras, dado um ponto 𝑷, qual direção maximiza/minimiza a derivada direcional?

• O gradiente (denotado pelo símbolo 𝛁) é um vetor obtido combinando as derivadas parciais da função com respeito aos seus diferentes argumentos e que tem a propriedade de apontar na direção que maximiza a derivada direcional e de ter um módulo igual ao máximo da derivada direcional.

• Uma aplicação interessante do gradiente é em métodos numéricos para maximizar uma função, em que o algoritmo vai se movendo nas direções apontadas pelo gradiente até atingir um máximo local (chamado de método do gradiente ou do máximo declive).

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.6

• Apostol II: 8.8, 8.9, 8.10, 8.12

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Derivada direcionada e vetor gradiente: (1)

• USP (Cálculo II) - Vetor gradiente e derivada direcional de uma função de duas variáveis: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo II) - Funções de três variáveis: superfícies de nível e vetor gradiente: (1) (2) (3)

• USP (Cálculo II) - Derivadas parciais de ordem superior: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.6 - 7 a 17, 21 a 26, 37

• A primeira parte da lista 4 da GRADMAT cobre essa aula

Aula de 05/07 - Regra da Cadeia

Pontos conceituais importantes da aula

• Nessa aula vamos considerar como fica a regra da cadeia para derivadas parciais em alguns casos particulares

• Um caso importante é quando temos uma função 𝑭 de várias variáveis, que está sendo composta com diferentes funções de uma variável (algo como 𝑭(𝒂(𝒙), 𝒃(𝒙), 𝒄(𝒙)), onde queremos encontrar 𝒅𝑭/𝒅𝒙). A derivada 𝒅𝑭/𝒅𝒙 nesse contexto é chamada de derivada total de 𝑭 com respeito a 𝒙.

• Alguns exemplos de aplicações serão dados envolvendo mecânica

• Outra aplicação da derivada total é encontrar a derivada de uma função (ℝ⟶ℝ) definida por uma equação 𝑹(𝒙,𝒚) = 0

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.5

• Apostol II: 8.15, 9.6

Vídeos:

• Univesp (Cálculo II) - Regra da cadeia: (1)

• USP (Cálculo II) - Regra da cadeia: (1) (2) (3)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.5 - 35 a 42, 53

• A parte da derivação implícita é coberta no resto da lista 3 da GRADMAT

Aula de 08/07 - Derivadas de Ordem Superior e o Teorema de Schwarz

Pontos conceituais importantes da aula

• Assim como no caso de derivadas de funções ℝ⟶ℝ, podemos iterar a operação de derivação para obter derivadas de ordem superior. Uma coisa nova e que vamos ter também "derivadas cruzadas" em que eu tomo derivadas parciais com respeito a diferentes variáveis

• Olhando derivadas cruzadas, uma simetria interessante aparece: A ordem em que as derivadas são tomadas não afeta o resultado. Isso na verdade acontece apenas para "funções bem comportadas". Condições necessárias para que isso aconteça são dadas pelo Teorema de Schwarz (basta que as derivadas em questão sejam contínuas)

Leitura Recomendada:

• Stewart: 14.3

• Apostol II: 8.13

Vídeos:

• USP (Cálculo II) - Condições suficientes para que uma função de duas variáveis seja diferenciável: (1) (2)

Exercícios (Stewart):

• Cap 14.3 - 57 a 64

• A segunda parte da lista 4 da GRADMAT cobre essa aula