Aula 3

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A estrutura da equação mestra me diz que as informações necessárias para descrever a evolução de um processo estocástico se resumem a calcular potências de matrizes.
Uma consequência é a equação de Chapmann-Kolmogorov que relaciona as matrizes que me dão n passos de tempo da minha cadeia de Markov.

Como nós estamos interessados em estudar os "vetores de distribuição", precisamos estudar o produto entre potências de matrizes e vetores coluna.
Uma solução elegante para esse problema é dada pelo problema de autovalores e autovetores de uma matriz.
O conceito mais importante que vamos precisar é entender como que cada autovalor afeta a evolução temporal, dando uma descrição qualitativa da dinâmica.

Outro conceito importante vão ser os autovetores que possuam autovalor 1. Eles são interpretados como distribuições aonde as probabilidades pararam de evoluir (e logo são chamadas de estacionárias).
É possível mostrar que elas sempre existem e além disso dadas algumas propriedades do grafo de transições, podemos usar um teorema (Perron-Frobenius) para determinar se elas são únicas.
Finalmente, podemos obter as distribuições estacionárias resolvendo p = T.p, que vira um sistema linear após expandirmos tudo.

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