Aula 6

Leitura Recomendada:

• A caminhada aleatória infelizmente está espalhada por várias seções do Ross. Essas são as mais relevantes:

  • Na seção 3.6.6 ele faz uma análise de um caso um pouco mais geral tanto da caminhada quando da primeira passagem.

  • O exemplo 4.18 que começa na pág. 208.

Exercícios:

• Considere uma caminhada em Z² em que eu tenho probabilidades distintas de ir um passo acima, abaixo, à esquerda e à direita. O estado desse processo será (X(t), Y(t)). Estude os valores esperados e variâncias de X e Y a medida que o tempo cresce. Como você espera que a distribuição conjunta de X e Y evolua no tempo se eu começar na origem (0,0)?

Glossário:

• First hitting = primeira passagem

Pontos conceituais importantes do vídeo 6.1

• A caminhada aleatória em Z é um processo estocástico extremamente importante por ser um ingrediente/inspiração para processos mais complicados. Basicamente temos um espaço 1D, discretizado em que uma partícula dá pulos ou à esquerda ou à direita, podendo haver ou não um viés para uma das direções.

• Nós estudamos a evolução da distribuição, dos valores esperados e das variâncias

Timestamps:

0:00 - Definição do processo estocástico

2:09 - Algumas observações sobre como deve ser o tratamento

3:26 - Uma forma útil de escrever a caminhada

6:34 - Valor esperado em função do tempo

7:49 - Variância em função do tempo

9:44 - Distribuição em funçãao do tempo

15:35 - Comportamento qualitativo para tempos longos

19:30 - A equação mestra em termos de coordenadas

Lousa do vídeo

Pontos conceituais importantes do vídeo 6.2

• O problema da primeira passagem é derivado da caminhada em Z. A modificação é que um dos estados (a origem 0) agora aprisiona a partícula. A pergunta mais relevante agora é o tempo que a partícula leva até ficar aprisionada.

• Nós usamos a lei da esperança total para obter o valor esperado para esse tempo e obtemos a distribuição do tempo para o caso sem viés.

Timestamps:

0:05 - Analogia com moedas

1:10 - Definição do processo estocástico

3:20 - A noção de estado absorvente

4:02 - O tempo de primeira passagem e uma forma útil de escrevê-lo

7:38 - Valor esperado do tempo de primeira passagem via lei da esperança total

13:04 - Qual a distribuição? (caso sem viés)

14:50 - Argumento combinatório para a distribuição em função do tempo no caso sem viés

19:44 - A distribuição do tempo de primeira passagem (partindo de 1)

22:37 - Valor esperado via a distribuição de fato é infinito

25:40 - Algumas simulações

Lousa do vídeo