Aula 5

Leitura Recomendada:

Ross cap 4.4 (não tem a parte de valores esperados e autocovariância infelizmente. Também é bem mais focado no caso ergódico)

irreducible = Irredutível, ou seja a cadeia tem só uma classe
aperiodic = período é 1
limiting probabilities = distribuição estacionária
doubly stochastic = duplamente estocástica = somas de cada linha e de cada coluna da matriz de transição é 1.

Quando vimos a forma restrita do teorema de Perron-Frobenius na aula 3, tinhamos duas hipóteses importantes para os resultados: Que todos os estados poderiam se acessar (ou seja, no linguajar da aula 4, a cadeia tem só uma classe), que o número de estados era finito e que pelo menos um estado tem uma probabilidade não nula de permanecer o estado da cadeia após um passo de tempo (T_i,i > 0 para algum i)
Podemos usar os conceitos de classes e recorrência vistos na aula 4 para falar do que acontece quando essas hipóteses não são satisfeitas
Basicamente passamos a ter a possibilidade de diferentes distribuições estacionárias e também da existência de oscilações que sobrevivem ao transiente. Assim como no Perron-Frobenius restrito, esses comportamentos são consequência da estrutura de autovalores da minha matriz de transição.

Os comportamentos novos que surgem para essas cadeias mais gerais dependem de algumas probabilidades de transição serem 0. Dependendo do modelo que tratamos, essa pode ser ou não uma boa aproximação.
Vamos nesse vídeo investigar via simulações o que acontece quando eu "perturbo" a minha matriz de transição de maneira que voltamos a ter uma cadeia ergódica.
Basicamente, se a perturbação for pequena, os comportamentos estacionários observados na cadeia não perturbada normalmente acabam sendo dominantes (como uma espécie de eco) no transiente da cadeia perturbada.
Isso as vezes tem efeitos drásticos para simulações (dou o exemplo do modelo Sznajd em que a simulação da cadeia perturbada ainda parece estar seguindo como se não houvesse perturbação, a menos que olhemos períodos muito grandes de tempo) ou então destroem completamente o comportamento da cadeia original (dou o exemplo do modelo do votante, em que uma pequena perturbação muda completamente a cara das simulações).

Focando em cadeias ergódicas, podemos estudar como ocorre a convergência de valores esperados de funções obtidas a partir de estados da cadeia. O resultado que obtemos é que a convergência é regida pelo autovalor com o maior módulo depois do 1 (conhecido como autovalor subdominante)
Uma análise parecida pode ser feita para a função de autocovariância de uma função f dos estados da cadeia (a covariância entre f nos tempos t e t+s).
A primeira conclusão que podemos tirar é que a medida que o tempo passa e convergimos para a distribuição estacionária (s indo ao infinito) a covariância vai a zero (ou seja, vamos perdendo informação a respeito da condição inicial)
A segunda é que mantendo o intervalo de tempo s fixo e começando na distribuição estacionária no tempo t (o que também equivale a considerar t indo ao infinito), a autocovariância decai exponencialmente de forma regida pelo autovalor subdominante.

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