Aula 29

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Em um sistema de várias partículas, em que elas estão interagindo através de interações elásticas com outras partículas da vizinhança delas (uma forma de modelar um sólido), surgem padrões sincronizados de movimento entre elas, que são os chamados normais.
Os movimentos das partículas podem ser pensados em termos de superposições (no sentido clássico de álgebra linear / propagação de ondas) de modos normais, em que cada modo oscila com a sua própria frequência.
De fato esses modos normais são a forma como som se propaga em um sólido (e dadas as limitações da modelagem em líquidos e gases também), logo não é surpreendente que eles tenham aspectos ondulatórios.
Usando uma formulação Lagrangiana do problema, podemos resolver tudo analiticamente no caso unidimensional, reduzindo o problema a um problema de álgebra linear.

A separação em modos normais me dá uma hamiltoniana em termos de amplitudes não interagentes para as partículas do meu sólido.
Esses modos são matematicamente equivalentes a osciladores harmõnicos. Quantizando a hamiltoniana, eu também posso pensar neles como sendo excitações bosônicas (que recebem o nome de fônons, devido ao papel deles na propagação de som).
Fazendo a aproximação que apenas os modos de frequência mais baixa do meu sólido serão relevantes (o que é válido no regime de baixas temperaturas, pois kT seria consideravelmente menor que o gap necessário para excitar os modos de frequência mais alta), chegamos no modelo de Debye, que me permite estudar o comportamento da capacidade térmica de um sólido no regime de baixas temperaturas (obtendo uma correção para o modelo de Einstein que estudamos anteriormente).

A solução do caso unidimensional ainda não bate com os resultados experimentais. Para chegar neles (uma dependência cúbica com a temperatura) é necessário resolver o modelo em 3 dimensões.
Para encontrar as frequências dos modos de um sólido tridimensional, podemos usar a conexão entre as equações que são obtidas para a evolução temporal das partículas e uma equação de onda discretizada para a rede cristalina do sólido (de novo, não é surpreendente pela conexão com propagação sonora).
Usando a simetria esférica do Laplaciano podemos pegar o resultado unidimensional e chegar no resultado tridimensional (já na aproximação do contínuo), o que permite fazer a mecânica estatística do modelo tridimensional e chegar no comportamento observado experimentalmente a baixas temperaturas.

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