Aula 31

Leitura Recomendada:

Salinas caps 12.2, 12.3, 13.3 (o método de Laplace é só mencionado en passant na página 164)

Para entender porque o argumento de Peierls funciona, precisamos de uma nova ferramenta matemática, conhecida como teorema (ou também, como método assintótico) de Laplace, que me diz o resultado de certos limites envolvendo integrais.
Essas integrais aparecem direto em Mecânica Estatística, quando eu obtenho potenciais termodinâmicos por partícula, no limite termodinâmico (sistemas grandes) a partir de funções de partição.

A ideia por trás do argumento de Peierls pode ser generalizada para obter energias livres (e outros potenciais também, na verdade) a partir de contagens Ω. Ou seja, é uma forma de transformar soluções do tipo microcanônico em soluções que estejam em outros ensembles.
Outra coisa importante é que eu tenho uma energia livre (ou outro potencial) fenomenológico, F(x) que é minimizado para um conjunto de valores x = x₁, x₂, ... então uma medição direta de x no meu sistema me daria um resultado por volta de um dentre x₁, x₂, etc (eu não demonstrei isso e na verdade, esse seria um efeito de não-equilíbrio, logo fora do escopo do curso).
Isso permite um estudo qualitativo do que pode acontecer a medida que parâmetros do meu sistema sejam variados e quando que eu posso observar mudanças bruscas (conhecidas como transições de fase).

Uma forma completamente diferente de explicar os ferromagnetos é o chamado modelo de Curie-Weiss.
Esse é um modelo de campo médio (que é um nome dado em geral para sistemas em que todas as partes interagem entre si com a mesma intensidade), logo ele é menos realista, porém muito mais simples de um ponto de vista analítico.
Como todas as partículas interagem com todas as outras com a mesma intensidade, então é necessário tomar um pouco de cuidado para que a energia continue extensiva (uma energia não extensiva é a principal razão pela qual o princípio canônico falha em sistemas com interações de longo alcance).
Esse modelo pode ser resolvido em termos de equações autoconsistentes (que é a abordagem que o Salinas usa), ou com uma energia livre fenomenológica, que é o que eu vou fazer no vídeo, pra dar um exemplo do teorema de Laplace e também para explicar a histerese que seria observada nesse modelo (além de ser uma abordagem que exige menos conhecimento prévio sobre como o resultado da conta é).

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