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Pontos conceituais importantes do vídeo 30.1
Pontos conceituais importantes do vídeo 30.1
Os sistemas magnéticos que estudamos até agora eram todos não-interagentes (paramagnetos). Esses sistemas não tem como explicar o fenômeno de magnetização permanente, exatamente pela independência observada entre os diferentes spins. Para explicar sistemas com magnetização permanente (ferromagnetos) é necessário então considerar as interações entre os spins do meu material.
Vamos considerar nesse vídeo um modelo extremamente simples de ferromagneto, o modelo de Ising, no caso unidimensional.
Ao contrário dos sistemas não interagentes, cada sistema interagente tem o seu "truque" para ser resolvido, ao invés do método mais geral que existe no caso não interagente (separar as partes e tratá-las de forma independente). No caso do Ising 1D com campo externo nulo, podemos fazer a chamada transformação dual para obter tanto a função de partição quanto o comportamento das correlações entre os diferentes spins.
Olhar as correlações vai me dar uma noção razoavelmente boa se o meu sistema tem ou não magnetização permanente e em que situações isso ocorre.
Timestamps:
Timestamps:
7:44 - Os spins do modelo não são independentes!
8:50 - A transformação dual (σ-τ)
11:22 - A hamiltoniana em termos das variáveis duais
12:07 - Z separa em termos das variáveis duais
13:23 - Como eu posso falar de correlações entre partes do meu sistema?
14:25 - Argumento de simetria para a média da magnetização
15:54 - Produtos de variáveis σ dão produtos de variáveis τ
19:20 - A correlação entre spins e o comprimento de correlação
21:32 - Interpretando o comprimento de correlação
22:25 - Quando o sistema tem magnetização permanente?
OBS: Faltou um fator -kT quando eu falei da energia livre (na resolução)
Pontos conceituais importantes do vídeo 30.2
Pontos conceituais importantes do vídeo 30.2
Vimos no vídeo anterior que o Ising 1D não consegue ter magnetização permanente, exceto no caso em que T=0.
Para ver então como o sistema reage a um campo externo (que me dá uma outra forma de verificar se há ferromagnetismo), vamos considerar o caso B ≠ 0.
O truque da transformação dual não funciona aqui, porém uma técnica mais geral, conhecida como matrizes de transição, funciona.
O método de matrizes de transição é em geral bastante eficiente para resolver sistemas 1D em que eu tenho algum tipo de homogeneidade no meu sistema (no caso do Ising, essa homogeneidade é que todos os spins se comportam da mesma forma, no sentido de terem as mesmas interações com os seus vizinhos).
Timestamps:
Timestamps:
0:00 - Introduzindo o campo magnético no modelo
0:46 - Escrevendo Z explicitamente
2:10 - Introduzindo T (os coeficientes da matriz de transferência)
4:06 - Somando sobre um dos spins
4:55 - Somas sobre spins se comportam como produtos de matrizes
5:45 - Forma explícita da matriz de transferência
6:48 - Redução passo a passo via produtos
8:17 - Um pouco de álgebra linear
10:24 - O polinômio característico
11:35 - Eu só preciso do maior autovalor
14:25 - Interpretando o resultado em termos da magnetização
OBS: Faltou um fator -kT quando eu falei da energia livre (na resolução)
Pontos conceituais importantes do vídeo 30.3
Pontos conceituais importantes do vídeo 30.3
A conclusão que o Ising 1D não tem magnetização permanente parece apontar para ele ser um modelo ruim para um ferromagneto, porém o problema real aqui é a dimensionalidade, já que o Ising 2D exibe magnetização permanente.
Uma forma de entender porque isso deveria acontecer, sem precisar de fato calcular tudo, é o chamado argumento de Peierls, que faz uma argumentação qualitativa envolvendo energias livres (não termodinâmicas).
Timestamps:
Timestamps:
0:00 - A razão pela qual o Ising em 1 dimensão não tem magnetização permanente?
2:46 - O que acontece quando eu crio um novo domínio de magnetização em 1 dimensão?
4:38 - Forma "geométrica" da energia do Ising em geral
5:48 - O argumento de Peierls em 1 dimensão
9:40 - O argumento de Peierls em 2 dimensões
11:54 - A ideia de temperatura crítica
13:26 - O modelo de Ising em 2 dimensões tem magnetização permanente!
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