Aula 14

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A análise da evolução no tempo dos valores esperados e variâncias que fizemos na aula passada depende crucialmente da derivada de um determinado valor esperado só depender do valor esperado em questão e potencialmente de valores esperados que já calculamos. Ou seja se dE(X)/dt só depende de E(x) e dE(X²)/dt só depende de E(x) e E(X²), então eu tenho como encontrar E(X) e E(X²) resolvendo equações diferenciais.
Isso infelizmente não é tipicamente o caso. Um exemplo importante é quando eu tenho um processo de morte e nascimento em que as taxas de morte e nascimento para o estado com n indivíduos não são funções afins de n (ou seja, da forma an+b).
Esse problema (que não tem um nome, mas eu estou chamando de "problema de hierarquia") normalmente se manifesta com as derivadas tendo uma estrutura em que dE(X)/dt depende de E(X²), dE(x²)/dt depende de E(X³) e assim por diante (ou seja, surge uma hierarquia nas equações que não fecham mais).

Como vimos no vídeo anterior o modelo da fila M/M/1 não pode ser tratado com as técnicas da aula passada. Ainda assim, remetendo aos resultados que já conhecemos sobre caminhadas aleatórias discretas no tempo, podemos obter uma ideia qualitativa de como devem ser os resultados de simulação.
Entre outras coisas, podemos determinar a distribuição estacionária na situação em que a taxa de entrada de pessoas na fila é menor do que a taxa de saída (as outras situações não possuem uma distribuição estacionária).

Nesse vídeo eu retorno para um processo discreto no tempo que eu deixei pra agora por causa das similaridades dele com o Yule (tanto do ponto de vista do que está sendo modelado quanto do ponto de vista dos resultados).
Nesse processo, cada passo de tempo representa uma geração e cada indivíduo dessa geração deixa um número de descendentes dado por uma distribuição fixa, antes de ser removido na geração seguinte.
Assim como no processo de Yule, o comportamento tanto do valor esperado quanto da variância do número de indivíduos em uma dada geração se comporta de maneira exponencial.
Uma coisa interessante é a diferença de técnicas que são utilizadas. Aqui a análise é feita inteiramente utilizando as leis da esperança e variância totais, ao invés de utilizar equações diferenciais (que exigiriam um tempo contínuo).

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