Aula 9

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Os termos da matriz de transição e as probabilidades de transição entre os estados estão conectados.
A equação mestra preserva normalizações, ou visto de outra forma, conserva probabilidades.
Em física e matemática se usam notações diferentes para a matriz de transição. Eu estou seguindo a convenção da física.

Como a equação mestra dá a evolução temporal em termos de um matriz sendo aplicada diversas vezes em um vetor, autovalores e autovetores se tornam uma ferramenta útil no estudo de cadeias de Markov.
Novamente, a distribuição em um tempo t é a distribuição dadas como informações apenas as condições iniciais (ou seja, é uma previsão do futuro). Medir o sistema me dá uma informação mais recente e logo, pela ausência de memória, tudo se passa como se eu tivesse começado a evolução temporal de uma nova condição inicial.

O teorema de Perron-Frobenius dá de forma qualitativa a estrutura de autovalores e autovetores de uma matriz estocástica (a classe de matrizes da qual a matriz de transição faz parte).
Dadas certas restrições presentes em sistemas físicos, podemos tirar do teorema um resultado muito mais forte. Em particular que os sistemas que vamos estudar tem só uma distribuição de equilíbrio (a distribuição estacionária).
Para encontrar a distribuição de equilíbrio basta resolver um sistema linear, ou então fornecer um ansatz. Mais precisamente, o equilíbrio está relacionado com o autovetor de autovalor 1 da matriz de transição.

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