Aula 15

Leitura Recomendada:

Cap 10.1 para o processo de Wiener, 10.3 para variantes interessantes do movimento Browniano. O Ornstein-Uhlenbeck é só mencionado por cima no exemplo 10.6. O artigo da Wikipedia em inglês por outro lado tem mais informações úteis.

Para essa última aula, vamos dar uma passada rápida por cadeias de Markov que sejam contínuas tanto no tempo quanto no espaço (CTCE). Essas cadeias são mais complicadas no sentido que não temos como especificá-las usando algo parecido com as matrizes de transição / taxa de transição (T e W).
Ao invés disso, podemos especificá-las, ou fornecendo a distribuição de estados em função do tempo, dada uma condição inicial, ou então (o que dá um insight melhopr sobre o significado do modelo) por uma equação diferencial estocástica (que pode ser do tipo Langevin ou do tipo Itoh).
Nesse primeiro vídeo, eu mostro como especificar o processo de Wiener (também conhecido por movimento Browniano no contexto da Física), que é o análogo CTCE da caminhada aleatória em Z.

Nesse vídeo eu parto da caminhada aleatória em Z e tomo um limite que obtém o processo de Wiener. Com isso eu obtenho o análogo da equação mestra, que é a equação de Fokker-Planck.
Resolvendo essa equação eu mostro que recuperamos a especificação do processo de Wiener em termos da distribuição dada a condição0 inicial (como feito no vídeo anterior).

Outro processo CTCE que é bastante importante é o processo de Ornstein-Uhlenbeck, que de um ponto de vista físico pode ser pensado como um movimento browniano em um potencial harmônico.
Nesse vídeo eu deduzo a equação de Fokker-Planck dele, a partir de um limite da urna de Ehrenfest e encontro qual é a distribuição estacionária dele, que me dá o comportamento para tempos longos.

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