Aula 8

Leitura Recomendada:

Caps 4.8 (balanço detalhado), 4.9 (o começo, vamos continuar nele na aula 9). O teorema ergódico é mencionado en passant e sem prova na pág. 215.

Cadeias reversíveis no tempo (time reversible) são a mesma coisa que cadeias com balanço detalhado (detailed balance)

Em muitas vezes quando usamos um processo estocástico, nosso objetivo é calcular um determinado valor esperado para a distribuição limite. em um primeiro momento isso parece indicar que precisariamos para cada ponto de estatística que obtivermos, fazer a simulação um tempo longo o suficiente para atravessar o transiente e depois começar tudo de novo para o ponto seguinte.
O teorema ergódico que vamos provar nesse vídeo, nos mostra que na verdade basta tomar uma média na série temporal para um tempo longo o suficiente.
Em preparação para a prova do teorema, eu calculo qual é o tempo médio de retorno de um estado (tempo entre partir de um estado e voltar nele pela primeira vez) em uma cadeia ergódica (i.e., com uma única classe, que é recorrente e com período 1).

Métodos de Monte Carlo são uma forma de obter valores esperados (amparado pelo teorema ergódico) que interessantemente podem ser usados para obter estimativas para problemas determinísticos também (em situações em que algoritmos deterministas não seriam viáveis).
O tipo de método em que vamos nos focar são os Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)

Vimos no vídeo anterior que para nosso método de Monte Carlo é crucial ser capaz de encontrar uma cadeia de Markov que tenha uma determinada distribuição como sendo a sua distribuição estacionária (ou seja, o problema inverso do que consideramos até agora).
Um ansatz muito útil é considerar uma cadeia que possua balanço detalhado (ou ainda, seja reversível no tempo), pois essa propriedade deixa bem claro como deve ser a estrutura da cadeia.
Como veremos na aula 9 e na aula prática 3, essa estrutura permite formas esquemáticas para se encontrar as probabilidades de transição.

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