La conjectura de Collatz
Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes
Lothar Collatz
Lothar Collatz (July 6, 1910 – September 26, 1990) was a German mathematician, born in Arnsberg, Westphalia. In 1937 he posed the Collatz conjecture, which remains unsolved.
Conjectura de Collatz
L'any 1937, el matemàtic alemany Lothar Collatz es va posar a "jugar amb nombres" amb les següents regles:
Tria un nombre natural qualsevol per començar.
Si és parell divideix-lo per dos.
Si és senar multiplica'l per tres i suma-li u.
Continua aplicant les dues regles anteriors als resultats que vas obtenint.
Si arribes a 1 ja has acabat.
Per exemple, amb el nombre 12 el camí seria aquest:
El que va conjecturar Collatz és que sempre, sigui el nombre que sigui, s'acabarà en 1, encara que a uns nombres els costi més d'arribar-hi que a d'altres. Aquesta qüestió encara està pendent de ser demostrada matemàticament. Per això diem que és una “conjectura”.
Investigacions
Quin tipus de nombres arriben sempre a 1 directament, sense “créixer” en cap moment?
Dels nombres fins a 20(?), quin és el que ha de fer un recorregut més llarg?
Féu un mapa/arbre que representi sintetitzats els camins dels nombres 1,2,3,...,9,10 cap a l'1
Variant 1
Normes:
Escollim un nombre natural
Si el nombre és parell, el dividim per 2.
Si el nombre és senar, el tripliquem i li restem una unitat.
Investigacions
Es poden trobar exemples de nombres que triguin més en arribar a l'1 amb aquesta llei que amb la convencional?
I que triguin el mateix?
I que triguin menys?
Es poden trobar exemples de nombres que amb aquesta llei no arribin mai a l'1?
Variant 2, amb nombres enters
Normes
Escollim un nombre enter
Si el nombre és parell, el dividim per -2.
Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.
Investigacions
Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?
Variant 3, amb nombres enters
Normes
Escollim un nombre enter
Si el nombre és parell, el dividim per 2.
Si el nombre és senar, el multipliquem per -3 i li sumem 1.
Investigacions
Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?
Comprova que el 13 no arriba mai a 1 (solució)
Variant personalitzada
Fes com va fer Collatz i comença a "jugar amb nombres".
Posa-hi unes normes i comença a fer operacions.
Utilitza, si vols, un full de càlcul per agilitzar els passos.
Pots treure alguna conclusió? O fer alguna conjectura?