La conjectura de Collatz

L'any 1937, el matemàtic alemany Lothar Collatz es va posar a "jugar amb nombres" amb les següents regles:

• Tria un nombre natural qualsevol per començar.

• Si és parell divideix-lo per dos.

• Si és senar multiplica'l per tres i suma-li u.

• Continua aplicant les dues regles anteriors als resultats que vas obtenint.

• Si arribes a 1 ja has acabat.

• Quin tipus de nombres arriben sempre a 1 directament, sense “créixer” en cap moment?

• Dels nombres fins a 20(?), quin és el que ha de fer un recorregut més llarg?

• Féu un mapa/arbre que representi sintetitzats els camins dels nombres 1,2,3,...,9,10 cap a l'1

Normes:

• Escollim un nombre natural

• Si el nombre és parell, el dividim per 2.

• Si el nombre és senar, el tripliquem i li restem una unitat.

Investigacions

• Es poden trobar exemples de nombres que triguin més en arribar a l'1 amb aquesta llei que amb la convencional?

• I que triguin el mateix?

• I que triguin menys?

• Es poden trobar exemples de nombres que amb aquesta llei no arribin mai a l'1?

Normes

• Escollim un nombre enter

• Si el nombre és parell, el dividim per -2.

• Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.

Investigacions

• Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?

Normes

• Escollim un nombre enter

• Si el nombre és parell, el dividim per 2.

• Si el nombre és senar, el multipliquem per -3 i li sumem 1.

Investigacions

• Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?

• Comprova que el 13 no arriba mai a 1 (solució)

• Fes com va fer Collatz i comença a "jugar amb nombres".

• Posa-hi unes normes i comença a fer operacions.

• Utilitza, si vols, un full de càlcul per agilitzar els passos.

• Pots treure alguna conclusió? O fer alguna conjectura?