La conjectura de Collatz

Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes

Lothar Collatz

Lothar Collatz (July 6, 1910 – September 26, 1990) was a German mathematician, born in Arnsberg, Westphalia. In 1937 he posed the Collatz conjecture, which remains unsolved.

Conjectura de Collatz

L'any 1937, el matemàtic alemany Lothar Collatz es va posar a "jugar amb nombres" amb les següents regles:

  • Tria un nombre natural qualsevol per començar.

  • Si és parell divideix-lo per dos.

  • Si és senar multiplica'l per tres i suma-li u.

  • Continua aplicant les dues regles anteriors als resultats que vas obtenint.

  • Si arribes a 1 ja has acabat.

Per exemple, amb el nombre 12 el camí seria aquest:

El que va conjecturar Collatz és que sempre, sigui el nombre que sigui, s'acabarà en 1, encara que a uns nombres els costi més d'arribar-hi que a d'altres. Aquesta qüestió encara està pendent de ser demostrada matemàticament. Per això diem que és una “conjectura”.

Investigacions

  • Quin tipus de nombres arriben sempre a 1 directament, sense “créixer” en cap moment?

  • Dels nombres fins a 20(?), quin és el que ha de fer un recorregut més llarg?

  • Féu un mapa/arbre que representi sintetitzats els camins dels nombres 1,2,3,...,9,10 cap a l'1

Variant 1

Normes:

  • Escollim un nombre natural

  • Si el nombre és parell, el dividim per 2.

  • Si el nombre és senar, el tripliquem i li restem una unitat.


Investigacions

  • Es poden trobar exemples de nombres que triguin més en arribar a l'1 amb aquesta llei que amb la convencional?

  • I que triguin el mateix?

  • I que triguin menys?

  • Es poden trobar exemples de nombres que amb aquesta llei no arribin mai a l'1?

Variant 2, amb nombres enters

Normes

  • Escollim un nombre enter

  • Si el nombre és parell, el dividim per -2.

  • Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.


Investigacions

  • Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?

Variant 3, amb nombres enters

Normes

  • Escollim un nombre enter

  • Si el nombre és parell, el dividim per 2.

  • Si el nombre és senar, el multipliquem per -3 i li sumem 1.


Investigacions

  • Quin és el nombre entre 1 i 5 que triga més en arribar a l'1?

  • Comprova que el 13 no arriba mai a 1 (solució)

Variant personalitzada

  • Fes com va fer Collatz i comença a "jugar amb nombres".

  • Posa-hi unes normes i comença a fer operacions.

  • Utilitza, si vols, un full de càlcul per agilitzar els passos.

  • Pots treure alguna conclusió? O fer alguna conjectura?