El triangle de Tartaglia / Pascal

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic

Pascal

El triangle que veurem avui rep el nom del matemàtic francès Blaise Pascal i el matemàtic italià Niccolo Fontana, anomenat Tartaglia per la seva condició de tartamut.

Hi ha constància que al 1303, matemàtics xinesos ja coneixien aquest objecte matemàtic.

Tartaglia

Construcció del triangle

Imaginem una graella d'hexàgons, amb un 0 dins cadascun d'ells.

Cada hexàgon és la suma dels dos hexàgons que té just a sobre. Si tot són zeros és molt fàcil...

Però imaginem que en aquest univers de zeros apareix un 1...

Si cada hexàgon és la suma dels dos hexàgons que té just a sobre, què passarà amb les files d'hexàgons que hi ha sota d'aquest 1 que ha aparegut?

Pots calcular les files que aniran sortint?

Aquesta construcció numèrica és el Triangle de Tartaglia / Pascal.

La fila que té el primer 1 s'anomena fila 0.

A la imatge veus com es construeixen les 4 primeres files.

  • Construeix el triangle de Tartaglia fins la 10a fila.

Primera observació

Suma els nombres que apareixen a cada fila.

  • Quins són aquests nombres? Quina relació hi ha entre un nombre i el següent?

  • Quant sumarien els nombres de la fila 75?

  • Pots donar una fórmula matemàtica que relacioni el nombre de la fila amb la suma dels seus termes? (és a dir, la suma dels nombres de la fila "n" és ...???...)

Segona observació - els nombres triangulars

  • Podem trobar fàcilment la successió dels nombres naturals alineats al triangle. Els veus, oi?

Els nombres triangulars són aquells que es necessiten per formar un triangle. Per exemple, si tenim moltes monedes iguals, podríem formar un triangle amb 1 moneda, o amb 3 monedes, o amb 6 monedes...

  • Busca els nombres triangulars dins el triangle de Tartaglia.

  • Quantes monedes necessitaríem per construir un triangle de 8 pisos?

  • T'atreveixes a donar una fórmula per als nombres triangulars? (El nombre triangular de "n" pisos té ...???... monedes)

Tercera observació - els quadrats perfectes

Els quadrats perfectes són els nombres que s'obtenen d'elevar un nombre natural al quadrat. És a dir, 12=1 , 22=4 , 32=9 , ...

Els quadrats perfectes també apareixen al triangle de Tartaglia.

  • Pren la diagonal on hi havia els nombres triangulars, i investiga com apareixen els quadrats perfectes.

Quarta observació - els nombres primers

Una altra curiositat del triangle la trobem quan estem en una fila de nombre primer (2a, 3a, 5a, 7a, 11a...)

  • Comprova que, en aquestes files, tots els nombres (excepte els 1s dels extrems) són múltiples d'aquest nombre primer.

Cinquena observació - les potències d'11

Les potències d'11 són:

110=1 , 111=11 , 112=121 , 113=1331 , 114=14641 , 115=161051 , 116=1771561 , ...

  • Veus les potències d'11 al triangle?

  • Les primeres són fàcils de veure al triangle, però... d'on surt la potència 5a? I la 6a?

Sisena observació - stick de hockey

Segueix una diagonal, començant per l'1 del seu extrem, i vés sumant uns quants nombres.

  • Observa que la suma d'aquests nombres la trobes sempre just a continuació de la diagonal que estàs seguint, però girant cap a l'altre sentit.

Utilitat algebraca - binomi de Newton

Fes els càlculs següents:

  • (a+b)0

  • (a+b)1

  • (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = ...

  • (a+b)3 = (a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

  • (a+b)4 = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

  • (a+b)5 = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

Quins coeficients apareixen?

Com podríem utilitzar el triangle de Tartaglia per a calcular, per exemple, (2x+3)7 ?

Més investigacions...

Hi ha moltes més propietats amagades al triangle de Tartaglia. Investiga'n algunes...