Ajuntant quadrats

De vegades es poden fer investigacions matemàtiques d'una certa riquesa amb materials molt senzills. Aquest tema us proposem una per la qual només et caldrà paper quadriculat, tot i que si us feu uns quants quadrats de cartró podreu treballar una mica més còmodament.

Els pentòminos són els polígons formats ajuntant 5 quadrats per un o més costats. Hi ha 12 possibles pentòminos. El matemàtic Solomon W. Golomb els va patentar l'any 1975 i és d'un dels trencaclosques més coneguts a l'actualitat. Aquí en teniu una reproducció amb el nom amb què es coneixen (segons la lletra que recorden).

Si bé els 12 pentòminos tenen la mateixa àrea, no tots tenen el mateix perímetre. Si anomenem "c" al costat del quadrat i el prenem com a unitat de perímetre, en podem determinar el de cadascun dels pentòminos.

• A continuació, completa la taula i buscar els pentòminos de més i menys perímetre.

Ara treballarem amb qualsevol quantitat de quadrats. No ens interessaran les possibles combinacions que es poden fer sinó com varien les àrees i els perímetres . Treballarem amb les unitats següents:

Començarem fixant una àrea. Per exemple: amb una àrea de 9 quadrets podem obtenir perímetres diferents com aquests exemples de 16 c i 14 c.

• Determinant un àrea (és a dir, treballant amb un nombre fix de quadrets), troba les agrupacions que donen els perímetres màxim i mínim. Esbrineu la manera de calcular els màxims i els mínims sense necessitat de dibuixar les figures.

Ara ho investigarem al revés. El que fixarem serà el perímetre i estudiarem com varien les àrees. Observa els exemples següents, que tenen tots un perímetre de 12 c

Hem aconseguit àrees de 5, 6, 7 i 8 quadrets. Però hi ha més possibilitats.

• Determinant un perímetre, trobeu les agrupacions que donen l'àrea màxima i la mínima.

• Esbrineu la manera de calcular els màxims i els mínims sense necessitat de dibuixar les figures.

Dividir un terreny o una figura plana en dues parts d’àrea equivalent pot semblar un problema senzill; però quan aquesta divisió s’ha de fer de manera que les dues parts obtingudes tinguin, a més, la mateixa forma, el problema es transforma en un bon trencaclosques.

Comencem repartint quadrats

• Es tracta de dividir un quadrat de 4x4 en dues parts de la mateixa forma i de la mateixa àrea seguint les línies del quadriculat. Observeu els exemples i busca les quatre solucions que falten.

Una finca que té forma de "T" està composta per cinc camps quadrats de les mateixes dimensions. L’amo decideix dividir-la en 4 parts iguals en comptes de 5. Com ho farà perquè les 4 parts tinguin la mateixa forma i la mateixa àrea? (Pensa quants quadrets haurà de tenir cada camp).

Descomponeu aquestes figures en dues que siguin iguals en forma i en àrea.

Divideix cadascuna d’aquestes figures en dues parts iguals amb un sol tall recte o en ziga-zaga. Les dues parts han de ser iguals en forma i en superfície.

Encara podem fer més filigranes. Ara dividirem en més parts que, a més, hauran de tenir la mateixa forma que la figura original. Observeu l’exemple del trapezi: està dividit en quatre trapezis semblants al gran però més petits.

Dividiu aquestes figures en quatre parts iguals que tinguin la mateixa forma que la figura originals (et pots ajudar amb les xarxes quadrada i triangular inscrita a cada polígon).