Embedded Files
PAU CTEC 2023.1.5 - Jardí amb un tancat per al gos
PAU CTEC 2023.1.5 - Jardí amb un tancat per al gos
La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 m2 per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.
a) Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim? [1,75 punts]
b) Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta. [0,75 punts]
(a) 4 m de base i 2 m d’altura , cost de 20 €
(b) base i altura 2√2 m ≈ 2,83 m , estalvi de 5,86 €
PAU CTEC 2023.2.6 - Peça metàl·lica
PAU CTEC 2023.2.6 - Peça metàl·lica
Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan 10 mm, tal com podeu observar en la figura següent:
a) Expresseu l’altura del trapezi en funció de la longitud x de la base inferior. [0,5 punts]
b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima. [2 punts]
(a) h = √ (100−x^2)
(b) x = √50 = 7,07 mm ; àrea 100 mm^2
PAU CTEC 2023.5.4 - Torre de telecomunicacions entre pobles
PAU CTEC 2023.5.4 - Torre de telecomunicacions entre pobles
En una carretera principal hi trobem el poble A. A 12 km del poble A, hi ha un encreuament O amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l’encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble B. Es vol construir una torre de comunicacions T en un punt de la carretera principal situat entre el poble A i l’encreuament O. Aquesta torre ha d’estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instaŀlar el cable entre la torre T i el poble B té un preu de 250 €/km i, en canvi, instaŀlar el cable entre la torre T i el poble A té un preu de 125 €/km. Determineu a quina distància de l’encreuament O a la carretera principal cal situar la torre T perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d’aquest preu mínim. [2,5 punts]
Cal situar la torre a 3√3 km = 5,2 km de l'encreuament
Cost de 3448,56 €
PAU CSOC 2023.1.1 - Ingressos pel vol entre Barcelona i Islàndia
PAU CSOC 2023.1.1 - Ingressos pel vol entre Barcelona i Islàndia
El preu d’un vol entre Barcelona i Islàndia és de 500 €. Una companyia aèria té capacitat per a 300 passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l’any en què només ven 180 bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s’adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal, de manera que per cada 5 € de descompte en el preu del bitllet aconsegueix dos passatgers més.
a) Si anomenem x el nombre de vegades que s’aplica el descompte, escriviu la funció que dona els ingressos diaris de la companyia per la venda de bitllets en funció de x. [1 punt]
b) A quin preu cal vendre cada bitllet per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins ingressos s’obtindran amb aquest preu? [1,5 punts]
(a) −10x^2 + 100x + 90000
(b) preu 475 € ; ingressos 90250 €
PAU CSOC 2023.1.5 - Quantitat de menjar en un alberg d'animals
PAU CSOC 2023.1.5 - Quantitat de menjar en un alberg d'animals
(a) 68,75 kg ; 60 kg ; dissabte es van gastar 100 kg
(b) les despeses més petites són el dia 2 (dimarts) i el dia 8 (dilluns de l’altra setmana), amb 60 kg, i el dia que es va gastar més menjar va ser el dia 6 (dissabte), amb 100 kg
PAU CSOC 2023.2.2 - Benefici d'un fabricant de cotxes elèctrics
PAU CSOC 2023.2.2 - Benefici d'un fabricant de cotxes elèctrics
Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d’èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de
C(x) = x2 + 34.880x + 1.100 euros,
en què x representa el nombre de vehicles fabricats.
a) Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues? [1,25 punts]
b) Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim? [1,25 punts]
(a) entre 10 i 110 vehicles
(b) 60 vehicles, benefici 2500 euros
PAU CSOC 2023.2.4 - Persones infectades per una malaltia
PAU CSOC 2023.2.4 - Persones infectades per una malaltia
(a) 10 milers , 15 milers
(b) 2a setmana, 15 milers
PAU CSOC 2023.5.4 - Cost de la neteja d'unes instal·lacions
PAU CSOC 2023.5.4 - Cost de la neteja d'unes instal·lacions
(a) en el moment d'obrir, 1000 € ; als 10 anys, 2000 € ; als 20 anys, 1000 €
(b) màxim en el catorzè any i aquest cost màxim va ser de 2800 €
PAU CSOC 2023.5.6 - Baldufes amb impressora 3D
PAU CSOC 2023.5.6 - Baldufes amb impressora 3D
Una jove emprenedora vol crear una empresa de baldufes, que té pensat d’imprimir amb una impressora 3D a partir d’un disseny matemàtic fet amb el programa GeoGebra. Per a fer-ho, fa girar el perfil de la funció
f(x) = – x3 + 2x2
al voltant de l’eix de les abscisses entre els dos punts de tall amb aquest eix, i així obté una baldufa tombada. Les unitats estan expressades en centímetres.
a) Quina serà l’alçària de la baldufa? Observeu que per a obtenir-la heu de calcular la distància entre els dos punts de tall amb l’eix de les abscisses. [1 punt]
b) Quina serà l’amplària de la baldufa? Observeu que l’amplària correspon al doble del valor que pren la funció en el màxim que hi ha entre els dos punts de tall amb l’eix de les abscisses. [1,5 punts]
(a) 2 cm
(b) 2 · 32/27 = 2,37 cm
Page updated
Google Sites
Report abuse