Teorema de Rouché-Frobenius

Considereu el sistema d'equacions lineals següent:

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,25 punts]

• b) Resoleu el sistema per al cas p = –1. [0,5 punts]

• c) Per al cas p = –1, hi ha alguna solució que compleixi, a més, xy = 10? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes. [0,75 punts]

(a) p ≠ 1 , – 1 SCD ; p=1 SI ; p=–1 SCI 1gr

(b) ( x , y , z ) = ( λ+3 , λ , λ–2 )

(c) λ=–5 i λ=2 --> (–2,–5,–7) i (5,2,0)

Considereu el sistema d'equacions següent, on k és un paràmetre real.

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k, i resoleu-lo per a k=0. [1 punt]

• b) Resoleu el sistema per a k = −1. [0,75 punts]

• c) Per a k = −1, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta. [0,75 punts]

(a) k ≠ -1, SCD // k = -1, SCI

(a) k=0 --> x = 5/3 , y = -4/3 , z = 0

(b) alliberant x=m --> x = m , y = 1/3 - m , z = 2m - 10/3

(c) ...

Considereu el sistema d’equacions següent, on m és un paràmetre real:

• a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre m. [1,25 punts]

• b) Trobeu la solució del sistema per a m = 0. [0,5 punts]

• c) Per a m = 2, doneu una solució (x, y, z) del sistema que, a més a més, compleixi x = 5y. [0,75 punts]

(a) m ≠ 1 i m ≠ 2, SCD ; m = 1, SI ; m = 2, SCI 1gr

(b) x = −11, y = −3, z = 7

(c) (x,y,z) = (5,1,−2)

Sigui el sistema d’equacions lineals, en què m és un nombre real.

• a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre m. [1,25 punts]

• b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas m = 1. [1,25 punts]

(a) m≠0 i m≠2, SCD ; m=0, SCI 1gr ; m=2, SI

(b) x = 2 , y = -3/2 , z = 3/2

Considereu el sistema d’equacions lineals, en què k és un paràmetre real.

• a) Discutiu el sistema en funció del valor de k. [1,5 punts]

• b) Resoleu el sistema per a k = 0 i per a k = 1. [1 punt]

(a) k≠1 i k≠−1, SCD ; k=1, SCI 1gr ; k=−1, SI

(b) k=0 --> x=3 , y=4, z=0 ; k=1 --> x=1−z , y=2 , z=z

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a:

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,5 punts]

• b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

(a) a≠2 i a≠−1, SCD ; a=2, SCI 1gr ; a=−1, SCI 1gr

(b) (x,y,z) = ( 1−𝜆 , 𝜆 , 0 )

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real p:

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p. [1,5 punts]

• b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas p = 2. [1 punt]

(a) p≠0 i p≠1 i p≠2, SCD ; p=0, SI ; p=1, SI ; p=2, SCI 1gr

(b) x = 3/2+t , y = −3t−1, z = t

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k:

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1,25 punts]

• b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas k = 0. [1,25 punts]

(a) k≠10 i k≠−4, SCD ; k=10, SI ; k=−4, SCI 1gr

(b) x=1 , y=18 , z=−1

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: 

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas k = –1. [1 punt]

(a) k≠1 i k≠−1, SCD ; k=1, SI ; k=−1 , SCI 1gr

(b) x = 1−7t , y = t , z = 2t−1

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: 

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

(a) 𝑎 ≠ −1 i 𝑎 ≠ 2, SCD ; 𝑎 = −1 , SI ;  𝑎 = 2 , SCI 1gr

(b) x = 7+t , y = −2−t , z = t 

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: 

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas a = 1. [1 punt]

(a) 𝑎 ≠ 2 , SCD ;  𝑎 = 2 , SCI 1gr

(b) x=0 , y=2 , z=1

Considereu el sistema d’equacions lineals , per a m ∈ ℝ. 

• a) Expliqueu raonadament que per a qualsevol valor del paràmetre m el sistema té una única solució. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema i trobeu l’expressió general del punt solució. [1 punt]

(b) x = (5−m)/5 , y = (3m−3)/5 , z = (4−3m)/10

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre λ: 

• a) Estudieu per a quins valors del paràmetre λ el sistema és incompatible. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas λ = 1. [1 punt]

(a) λ ≠ 0 i λ ≠ −1 , SCD ; λ = 0 , SI ; λ = −1 , SI

(b) x = 2 , y = 4 , z = 6

Considereu el sistema d’equacions lineals següent: 

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real a. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

(a) 𝑎 ≠ 2 , SCD ;  𝑎 = 2 , SCI 1gr

(b) x = 2−t , y = t , z = 1

Considereu el sistema d’equacions lineals següent: en què k és un paràmetre real. 

• a) Discutiu el sistema per als diferents valors de k. [1 punt] 

• b) Resoleu el sistema per al cas k = –2. [1 punt]

(a) k ≠ 2 i k ≠ −2 , SCD ; k = 2 , SI ; k = −2 , SCI 1gr

(b) x = t + 1/2 , y = 2t + 1/2 , z = t

Considereu el sistema d’equacions lineals, per a m ∈ R.

• a) Discutiu el sistema d’equacions per als diferents valors del paràmetre m. [1 punt]

• b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible. [1 punt]

La matriu de coeficients d’un sistema d’equacions lineals homogeni és la següent.

• a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una sola solució? Quina és aquesta solució única?

• b) Resoleu el sistema si a = 2.

Discutiu el sistema d’equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m.

det (A) = –(m–2)^2 · (m+1)

Si m ≠ –1 i m ≠ 2 , SCD

Si m = 2 , SI

Si m = –1 , SCI - 1 gr.llib.

Considereu el sistema d’equacions següent:

• a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a.

• b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat.

• c) En el cas de l’apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z tinguin valors enters.

a^2 – 6a + 8 = 0 

Si a ≠ 2 i a ≠ 4 , SCD

Si a = 2 , SCI - 1 gr.llib.

Si a = 4 , SI

(b) x = (4+z)/5 , y = (12+3z)/5

(c) solució genèrica x = 1+n , y = 3+3n , z = 1+5n

Considereu el sistema d’equacions següent:

• a) Trobeu els valors de a per als quals el sistema no és compatible determinat. [1 punt]

• b) Trobeu el valor de a per al qual el valor de x és 2. Determineu també els valors de y i de z en aquest cas. [1 punt]

Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

• a) Discutiu el sistema en funció del paràmetre k. [2 punts]

• b) Determineu la solució del sistema per al valor de k que fa que el sistema sigui indeterminat. [1 punt]

• c) Trobeu la solució per a k = 1. [1 punt]

• a) Discutiu el sistema següent segons els valors del paràmetre a.

• b) Resoleu-lo per al valor de a que el fa indeterminat.

si a ≠ 1 i a ≠ –2, SCD , x = –2/(a–1) , y = 1/(a–1)

si a = 1, SI

si a = –2, SCI - 1 gr. llib. , x = 1 + t , y = t

• Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m.

• És incompatible per a algun valor de m?

m = 1 , SCI

no pot ser SI

Discutiu en funció del paràmetre p el sistema d’equacions lineals que té aquesta matriu ampliada.

p ≠ 1 i p ≠ –5 , SCD

p = 1 , SCI - 1 gr. llib.

p = –5 , SI

• Discutiu en funció del paràmetre m el sistema d’equacions següent.

• En el cas que sigui possible doneu també la solució.

si m = –1,  SI

si m ≠ –1 , SCI - 1 gr. llib.  x = (1+2m)/(1+m) – t , y = t , z = –1/(1+m)

Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a:

• a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a.

• b) Resoleu els casos compatibles.

(a) Sistema compatible determinat per a qualsevol valor d’a

(b) x = (1+3a)/(1+a^2) , y = (3–a)/(1+a^2)

En estudiar un sistema lineal dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss, hem arribat a la matriu ampliada següent. Discutiu el sistema en funció del paràmetre k.

k ≠ 1 i k ≠ 2 , SCD  x=(8k–52)/(k–2) , y=12/(k–2) , z=0

k = 1 , SCI – 1 gr. llib. , x=–13t+44 , y=5t–12 , z=t

k = 2 , SI

Discutiu i, en el seu cas, resoleu el sistema següent segons els valors del paràmetre a.

si a ≠ 1, SI ; si a = 1, SCD amb x = 2 , y = –1

Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d’equacions és compatible i indeterminat?

Determinant = –4λ^2 – 10λ + 14

λ ≠ 1 , λ ≠ –7/2 , SCD  x=(2λ–3)/(λ–1) , y=7/(2λ–2) , z=–2/(λ–1)

λ = 1 , SI - rangs (2,3)

λ = –7/2 , SCI – 1 gr. llib.  x=(1/2)t+2 , y=(1/2)t–1 , z=t

Determina per a quin valor del paràmetre λ el sistema següent és compatible i, en aquest cas, resoleu-lo.

Solució: λ = 4 , x = –5/2 + 7t , y = –3/2 + 4t , z = t

Calcula el valor de a sabent que el sistema d’equacions següent té més d’una solució.

a = 6

a = –4

Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible.

k = 7 --> x = 1 , y = 1

Considereu el sistema d’equacions lineals, on a és un paràmetre.

• Per a quins valors de a el sistema és compatible i determinat ?

• Per a quins valors és compatible i indeterminat ?

• Per a quins valors és incompatible ?

–a^2–a+2 = 0

a ≠ 1 i a ≠ –2 , SCD

a = 1 , SCI

a = –2 , SI

• Expliqueu què vol dir que un sistema d'equacions lineals sigui compatible i què vol dir que sigui indeterminat.

• Poden haver-hi sistemes que siguin a la vegada incompatibles i indeterminats?

• Digueu finalment per a quins valors del paràmetre a el sistema d'equacions següent és indeterminat, i per a quins valors de a és incompatible: