El triangle de Tartaglia / Pascal

Però imaginem que en aquest univers de zeros apareix un 1...

Si cada hexàgon és la suma dels dos hexàgons que té just a sobre, què passarà amb les files d'hexàgons que hi ha sota d'aquest 1 que ha aparegut?

Pots calcular les files que aniran sortint?

Aquesta construcció numèrica és el Triangle de Tartaglia / Pascal.

Suma els nombres que apareixen a cada fila.

• Quins són aquests nombres? Quina relació hi ha entre un nombre i el següent?

• Quant sumarien els nombres de la fila 75?

• Pots donar una fórmula matemàtica que relacioni el nombre de la fila amb la suma dels seus termes? (és a dir, la suma dels nombres de la fila "n" és ...???...)

Els quadrats perfectes són els nombres que s'obtenen d'elevar un nombre natural al quadrat. És a dir, 1²=1 , 2²=4 , 3²=9 , ...

Els quadrats perfectes també apareixen al triangle de Tartaglia.

• Pren la diagonal on hi havia els nombres triangulars, i investiga com apareixen els quadrats perfectes.

Una altra curiositat del triangle la trobem quan estem en una fila de nombre primer (2a, 3a, 5a, 7a, 11a...)

• Comprova que, en aquestes files, tots els nombres (excepte els 1s dels extrems) són múltiples d'aquest nombre primer.

Les potències d'11 són:

11⁰=1 , 11¹=11 , 11²=121 , 11³=1331 , 11⁴=14641 , 11⁵=161051 , 11⁶=1771561 , ...

• Veus les potències d'11 al triangle?

• Les primeres són fàcils de veure al triangle, però... d'on surt la potència 5a? I la 6a?

Fes els càlculs següents:

• (a+b)⁰

• (a+b)¹

• (a+b)² = (a+b)·(a+b) = ...

• (a+b)³ = (a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

• (a+b)⁴ = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

• (a+b)⁵ = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b) = ...

Quins coeficients apareixen?

Com podríem utilitzar el triangle de Tartaglia per a calcular, per exemple, (2x+3)⁷ ?

Hi ha moltes més propietats amagades al triangle de Tartaglia. Investiga'n algunes...

• La successió de Fibonacci

• El nombre e = 2,718 281 828 459 045 235...

• El nombre π = 3,141 592 653 589 793 238... (enllaç)

• El triangle de Sierpinski