Problemes de context

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

• opció A (b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites. [1,25 punts]

(b) hi ha 85 docents universitaris, 425 de secundària i 340 d’infantil i primària

Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem A, B i C. L’Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar 135 €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l’article A un 4 %, l’article B un 6 % i l’article C un 5 % respecte al preu inicial. En veure-ho, l’Ares va decidir comprar un producte de tipus A, dos de tipus B i tres de tipus C, i va calcular que s’havia estalviat 16 € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebaixes i la botiga va rebaixar l’article A un 8 %, l’article B un 10 % i l’article C un 6 % respecte al preu inicial d’abans de Nadal. En veure-ho, l’Ares no se’n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus A, un de tipus B i cinc de tipus C, i va calcular que s’havia estalviat 29 € respecte al preu total de la mateixa compra si l’hagués feta abans de les vacances de Nadal.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts]

• b) Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts]

A 25 € , B 50 € , C 60 €

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

• opció B (a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat 1.320 €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el 30 % dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts]

(Ba) 300 litres d’oli, 450 kg de farina i 150 kg de sal

Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de 1.260 unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes.

• a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. [1,25 punts]

• b) També sabem que un 10 % dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un 30 % dels produïts per la segona i un 20 % dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar 284 sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat. [1,25 punts]

(a) 2a fàbrica, 630 sofàs

(b) 310, 630, 320

El nou model de maletes Rodamons disposa de tres mides diferents: petita, mitjana i gran. El preu de la maleta gran és el mateix que el de la maleta petita i la mitjana juntes. El lot d’una maleta de cada mida costa 240 €, però si es compra el lot de dues maletes petites, una de mitjana i una de gran, s’obté un 10 % de descompte del total i el preu final és de 256,5 €. Quin és el preu de cada tipus de maleta sense descompte? [2,5 punts] 

maleta petita 45 euros, maleta mitjana 75 euros, maleta gran 120 euros 

L’empresa d’esports aquàtics DiverAqua ofereix tres tipus d’activitats: esquí aquàtic, caiac i moto aquàtica. El preu per sessió i client de cadascuna d’aquestes activitats és de 40 € per l’esquí aquàtic, 20 € pel caiac i 60 € per la moto aquàtica. Sabem que avui DiverAqua ha venut 45 sessions en total. També sabem que el nombre de clients que han escollit esquí aquàtic és el triple dels que han escollit una sessió de caiac. La recaptació total del dia ha estat de 1.700 €.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli tota aquesta informació. [1 punt]

• b) Quantes persones han dut a terme cadascuna de les tres activitats? [1,5 punts]

(b) 30 persones esquí aquàtic, 10 caiac, 5 moto aquàtica

En Robert ha fet tres proves d’una assignatura. Fent la mitjana aritmètica de les notes obtingudes en cadascuna de les tres proves li ha quedat una nota global de 6. En Robert sap que la nota de la tercera prova ha estat igual que la mitjana aritmètica de les notes de les altres dues proves.

• a) Amb aquesta informació, pot saber alguna de les tres notes? En cas afirmatiu, de quina prova i quina seria la nota obtinguda? [1,25 punts]

• b) La professora li diu que ha estat molt irregular i que si només es tinguessin en compte les notes de les dues darreres proves hauria obtingut una mitjana de 7. Quina nota ha obtingut en cada prova? [1,25 punts]

(a) la nota de la tercera prova ha estat un 6

(b) ha obtingut un 4 a la primera prova, un 8 a la segona i un 6 a la tercera

A l’institut d’en Martí han elaborat tres tipus diferents de rams de roses per a vendre el dia de Sant Jordi. L’opció clàssica consisteix en una rosa i una espiga. L’opció de ram petit està formada per tres roses i dues espigues. I, finalment, l’opció de ram gran consisteix en mitja dotzena de roses i tres espigues. Tots els rams (siguin de l’opció que siguin) porten un bonic embolcall. Sabem que s’han utilitzat 200 roses, 135 espigues i 85 embolcalls.

• a) Quants rams s’han elaborat de cada tipus? [1,75 punts]

• b) Si el preu de venda d’un ram de l’opció clàssica és de 3 euros, el d’un ram petit és de 5 euros i el d’un ram gran és de 10 euros, quants diners s’ingressaran si es venen tots? [0,75 punts]

(a) 50 unitats de l’opció clàssica, 20 rams petits i 15 rams grans

(b) 400 €

En Martí explica a en Marcel que l’altre dia, quan va agafar l’autocar per anar de Barcelona a Tarragona, l’autocar es va espatllar just a la meitat del trajecte. Des d’aquest punt va anar caminant fins a la població més propera, de manera que va fer a peu una vintena part del total del trajecte. Allà va agafar un taxi fins a Tarragona, i diu que va fer 5 quilòmetres més en autocar que en taxi.

• a) Plantegeu i resoleu un sistema d’equacions per a calcular quants quilòmetres va fer en Martí en autocar, a peu i en taxi. [1,75 punts] 

• b) Si l’autocar anava a 100 km/h, en Martí va caminar a 5 km/h i el taxi anava a 90 km/h, quant temps va tardar a fer tot el trajecte? [0,75 punts] 

(a) 50 km en autocar, 5 km a peu i 45 km en taxi.

(b) 2 hores

La Filomena fa una festa i convida els amics a menjar un pastís. Ha anat a la botiga i ha comprat una dotzena d’ous, una bossa de farina d’ametlla i un paquet de sucre morè. La festa ha estat un èxit i decideix repetir la trobada i tornar a fer el pastís. Torna a la botiga i compra una altra dotzena d’ous i dues bosses de farina d’ametlla. Però un cop a casa s’adona que no té gens de sucre. Torna a la botiga i compra un paquet de sucre morè i també una altra dotzena d’ous. La primera compra li va costar 6 €, la segona 6,5 € i la darrera 3,5 €.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions amb les dades del problema. [0,75 punts]

• b) Calculeu el preu d’una dotzena d’ous, el d’una bossa de farina d’ametlla i el d’un paquet de sucre morè. [1,75 punts]

dotzena d’ous 1,50 €, bossa de farina d’ametlla 2,50 € i paquet de sucre morè 2 €

Una empresa de productes lactis va ingressar l’any passat un total d’1.800.000 € per les vendes de formatges. Les exportacions a la Unió Europea van aportar tants ingressos com les vendes en l’àmbit estatal i les exportacions a països extracomunitaris juntes. Aquest any l’empresa ha ingressat 1.950.000 € i sabem que les vendes estatals han disminuït un 5 %, les exportacions a la Unió Europea han augmentat un 15 % i les exportacions a països extracomunitaris han augmentat un 10 %. Determineu les quantitats que va ingressar per cada concepte (vendes en l’àmbit estatal, exportacions a la Unió Europea i exportacions a països extracomunitaris) l’any passat, i també les quantitats que ha ingressat aquest any. [2,5 punts]

L'any passat x = 500.000 ; y = 900.000 ; z = 400.000

Aquest any 475.000 , 1.035.000 ,440.000

Un venedor d’una llibreria de vell cobra, a més a més d’un sou fix, diferents comissions depenent del tipus de llibre que ven. Cobra 1 € per cada còmic, 1,5 € per cada revista i 2 € per cada noveŀla.

Ahir, va vendre el doble de revistes que de noveŀles i 5 còmics menys que revistes, i va aconseguir en total una comissió de 30 €.

Quantes publicacions va vendre de cada tipus? [2,5 punts]

En un estudi de mercat, 500 participants han tastat tres cafès diferents, presentats com a producte A, producte B i producte C, i han escollit quin dels tres els ha agradat més. Sabem que el producte B ha estat escollit pel doble de persones que el producte A i que el producte B l’han escollit 32 persones més que els productes A i C junts. Calculeu quantes persones han escollit cada producte. [2 punts]

Per la Festa Major, la pastisseria del poble elabora unes capses de bombons especials. La capsa petita conté 10 bombons, la mitjana té 15 bombons i la gran en té 25. Cada capsa va decorada amb un llaç commemoratiu. En total han utilitzat 210 llaços i 2.650 bombons. Tenint en compte que han elaborat el doble de capses petites que de mitjanes i grans juntes, quantes capses de cada tipus han elaborat? [2 punts]

En tres sortejos consecutius de la Lotto 6/49 hi ha hagut 51 persones que han encertat els 6 números de la combinació guanyadora en algun dels tres sortejos. El nombre de persones que van encertar la combinació guanyadora en el tercer sorteig és la meitat del total de persones que la van encertar en els dos primers sortejos junts. També sabem que el nombre de persones que van encertar la combinació guanyadora en el primer sorteig supera en 11 el total de persones que van encertar-la en el segon i en el tercer sortejos junts. Amb aquestes dades, calculeu quantes persones van encertar la combinació guanyadora de la Lotto 6/49 en cada un dels tres sortejos. [2 punts]

En Pol va quedar ahir amb uns amics en un bar i van prendre 4 refrescos, 3 entrepans i 5 boles de gelat. Tot plegat els va costar 19,50 €. Dies enrere, havia anat al mateix bar amb el seu cosí Martí, i per 2 refrescos, 1 entrepà i 2 boles de gelat havien pagat 8,10 €. En aquest bar tots els refrescos valen el mateix, tots els entrepans tenen el mateix preu i les boles de gelat es venen també a preu únic.

• a) Avui en Pol hi ha tornat amb uns altres amics i han pres 6 refrescos, 5 entrepans i 8 boles de gelat. Expliqueu raonadament quant han pagat en total. [1 punt]

• b) Si 1 refresc, 1 entrepà i 1 bola de gelat costen 5,10 €, quant val el refresc, l’entrepà i la bola de gelat separadament? [1 punt]

Un inversor ha obtingut un benefici de 1.500 € després d’invertir un total de 40.000 € en tres empreses diferents. Aquests beneficis es desglossen de la manera següent: la quantitat invertida en l’empresa A li ha reportat un 2 % de beneficis, la quantitat invertida en l’empresa B, un 5 %, i la quantitat invertida en l’empresa C, un 7 %. Els diners invertits en l’empresa B han estat els mateixos que en les altres dues empreses juntes. Quina va ser la quantitat invertida en cada una de les tres empreses? [2 punts]

Tenim unes quantes monedes d’un euro distribuïdes en tres piles. Passem dotze monedes de la tercera pila a la segona i, a continuació, en passem deu de la segona pila a la primera. Un cop fet això, les tres piles tenen la mateixa quantitat de monedes.

• a) Amb aquestes dades, podem determinar la quantitat de monedes que hi havia inicialment en cada pila? Raoneu la resposta. [1 punt]

• b) Esbrineu la quantitat de monedes que hi havia inicialment a cada pila si sabem que en total hi ha 51 monedes. [1 punt]

Un grup inversor vol invertir 6.000 euros en lletres, bons i accions que tenen una rendibilitat del 10 %, del 8 % i del 4 %, respectivament. Tenint en compte que vol obtenir una rendibilitat global del 7 %:

• a) Trobeu la quantitat que ha d’invertir en lletres i en bons en funció de la quantitat invertida en accions. Quins valors pot prendre la quantitat invertida en accions sabent que les quantitats invertides en cadascun dels productes han de ser sempre més grans o iguals que zero? [1 punt]

• b) Quant ha d’invertir en cadascuna de les tres opcions si vol invertir en lletres tant com en els altres dos productes junts? [1 punt]

Una empresa ofereix 225 euros per repartir tot un paquet de fulls de propaganda. En Roc, en Martí i en Guiu decideixen fer la feina entre tots tres: en Martí reparteix un 20 % del total; en Guiu reparteix 100 fulls més que en Roc, i entre en Roc i en Martí en reparteixen 850.

• a) Calculeu el nombre de fulls que ha repartit cadascun d’ells. [1 punt]

• b) Un cop acabada la feina, decideixen dividir els guanys entre tots tres, proporcionalment als fulls repartits. Segons aquest criteri, quants diners cobrarà en Guiu, quants en cobrarà en Roc i quants en Martí? [1 punt]

La Maria té el doble de diners que en Pol i la Júlia junts. En Pol té la sisena part de diners que la Maria. La Júlia té el doble de diners que en Pol. La Maria té el triple de diners que la Júlia.

• a) Amb aquestes dades, podem saber quants diners tenen cadascun d’ells? Trobeu el conjunt de solucions possibles. [1,5 punts]

• b) Si en Pol té 35 €, quants diners tenen la Maria i la Júlia? [0,5 punts]

La butlleta guanyadora d’una loteria està formada per tres nombres. Sabem que la suma del primer i el segon excedeix en dues unitats el tercer; que el primer nombre menys el doble del segon és deu unitats menor que el tercer, i que la suma dels tres nombres és 24. Quina és la butlleta guanyadora? [2 punts]

Dues famílies van a una cafeteria. La primera família pren 1 refresc, 3 cafès i 7 magdalenes, i paga un total d’11,75 €. La segona família demana 1 refresc, 4 cafès i 10 magdalenes i paga per tot plegat 15,5 €.

• a) Digueu, raonadament, si és possible saber el preu d’un cafè, el d’un refresc i el d’una magdalena. [1 punt]

• b) Calculeu quant ha de pagar una família que prengui un refresc, un cafè i una magdalena. [1 punt]

El mes de gener passat, en Joan, la Carla i la Laura van invertir en borsa. La Carla va invertir el doble que la Laura. Aquell mes, en Joan i la Carla van tenir uns guanys del 30 %, mentre que la Laura va tenir unes pèrdues del 10 %. De resultes d’això, van obtenir conjuntament uns guanys del 20 %. Van acordar tornar a invertir el febrer, incrementant cadascú un 10 % les seves inversions inicials. Si el mes de febrer van invertir entre tots tres 770 €, quina quantitat havia invertit cadascú el mes de gener? [2 punts]

Una persona decideix invertir un total de 60.000 €, repartits entre tres entitats d’estalvi diferents: A, B i C. Aquesta persona decideix que la quantitat invertida a l’entitat A sigui la meitat de la quantitat total invertida a les entitats B i C. A més, sabem que l’entitat A li ha assegurat una rendibilitat del 5 %; l’entitat B, una rendibilitat del 10 %, i l’entitat C, una rendibilitat del 2 %. Calculeu les quantitats invertides a cada entitat d’estalvi si sabem que aquest inversor obtindrà uns beneficis totals de 4.200 €. [2 punts]

El propietari d’un bar ha comprat refrescos, cervesa i vi per un total de 5.000 €, sense impostos. El vi val 600 € menys que els refrescos i la cervesa plegats. Si tenim en compte que pels refrescos ha de pagar un IVA del 6 %, per la cervesa un del 12 % i pel vi un del 30 %, aleshores la factura total, amb els impostos inclosos, puja a 5.924 €. Calculeu quant ha pagat, sense IVA, per cada classe de beguda.

Un trajecte de 200 km s’ha de fer combinant taxi, ferrocarril i autobús. El cost del taxi és de 5 €/km; el del ferrocarril, de 2 €/km, i el de l’autobús, de 3 €/km. El recorregut ens ha costat 500 €, per haver fet el doble de kilòmetres amb ferrocarril que amb taxi i autobús junts. Determineu les distàncies que hem recorregut amb cada mitjà de transport.

(4 punts) Solució: ferrocarril = 133,33 km ; taxi = 16,67 km ; autobús = 50 km

Una companyia aèria de baix cost fa vols des de Girona fins a tres ciutats, A, B i C. Calculeu el preu dels bitllets a cada ciutat amb la informació següent: si ven 10 bitllets per anar a la ciutat A, 15 per a la B i cap per a la C, ingressa 925 €; si ven 12 bitllets per a A, 8 per a B i cap per a C, ingressa 760 €; si ven 6 bitllets per a A, 5 per a B i 8 per a C, ingressa 855 €.

(2 punts = 1 punt plantejament + 1 punt solució) Solució: A = 40 € , B = 35 € , C = 55 €

La despesa mensual en salaris d’una empresa de 36 treballadors és de 54.900 €. Hi ha tres categories de treballadors que indicarem A, B i C. El salari mensual d’un treballador de la categoria A és de 900 €, el d’un de la B és de 1.500 € i el d’un de la C és de 3.000 €. Sense acomiadar ningú, l’empresa vol reduir la despesa salarial en un 5 %. Per fer-ho ha rebaixat un 5 % el salari de la categoria A, un 4 % el de la B i un 7 % el de la C. Esbrineu quants treballadors hi ha de cada categoria.

(4 punts = 2 punts plantejament + 2 punts resolució) Solució: A = 11 treballadors, B = 20 treballadors, C = 5 treballadors

De tres nombres, x, y, z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres és 0 i, per acabar, que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna 1.

• a) Què podeu dir del valor de k?

• b) Quant valen els tres nombres?

(a) k = 3

(b) x = 1 , y = –1 , z = 0

Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B i C en l’elaboració de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 s’elabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 s’elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C, i la P3 s’elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al públic és de 4,80 € per a P1, 4,10 € per a P2 i 4,90 € per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) és d’1,60 € en cadascuna, trobeu quant costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada.

(plantejament 2 punts; resolució 2 punts) Solució: 0,60 € , 0,50 € i 0,80 €

La Joana i la Mercè tenien 20.000 € cadascuna per invertir. Cadascuna d’elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R i els porta a una entitat financera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè n’ha rebut 950 €. De quants € constava cadascuna de les parts P,Q i R ?

(2 punts plantejament + 2 punts resolució) Solució: P=Q=5.000 € , R=10.000 €

Tres germans tenen edats diferents, però sabem que la suma de les edats dels 3 germans és de 37 anys, i la suma de l’edat del gran més el doble de l’edat del mitjà més el triple de l’edat del petit és de 69 anys.

• a) Expresseu les edats dels tres germans en funció de l’edat del germà petit.

• b) És possible que el germà petit tingui 5 anys ? I 12 anys ? Raoneu la resposta.

• c) Calculeu les edats dels tres germans.

(a) (1,50 punts) Solució: y = 32 – 2x ; z = x + 5

(b) (1 punt) Solució: El germà petit no pot tenir ni 5 anys ni 12 anys

(c) (1,50 punts) Solució: 10 anys, 12 anys i 15 anys

En un determinat poble es representen tres espectacles que anomenarem E1 , E2 i E3 respectivament, cada un amb un preu diferent. Calcula el preu de cada espectacle si sabem el següent: Si assistíssim dues vegades a E1 , una vegada a E2 i també una vegada a E3 ens costaria 34 €. Si anéssim tres vegades a l’espectacle E1 i una a E2 ens costaria 46,50 €. En el cas d’assistir només una vegada a cada un dels tres espectacles ens costaria 21,50 €.

Solució: E1 = 12,50 € , E2 = 9 € , E3 gratuït

El dilluns d’una certa setmana els articles A, B, i C d’uns grans magatzems es rebaixen un 5%, un 6% i un 8% respectivament. El dimarts, en canvi, es rebaixen un 2%, un 8% i un 6% sobre el preu inicial (no sobre el preu rebaixat del dilluns). Finalment, el divendres es rebaixen un 4%, un 7% i un 6% sobre el preu inicial. Si se sap que un client que compra una unitat de cada un d’aquests articles cada un d’aquests dies s’estalvia 2,10 € el dilluns, 2,10 € el dimarts i 2,10 € el divendres, ¿ quin és el preu per unitat d’aquests articles ?

Solució: A = 10 € , B = 20 € , C = 5 €