Problem Solving

C — Capire

• Dati: 4 sacchetti; ogni lingotto “vero” pesa 10 g, nel sacchetto falso i lingotti pesano 9 g.

• Vincolo: una sola pesata (bilancia digitale in grammi, oppure a due piatti con pesi campione).

• Obiettivo: individuare quale sacchetto contiene i falsi.

A — Architettare (il piano)

Dai a ogni sacchetto una firma di prelievo univoca:

• dal sacchetto 1 prendi 1 lingotto,

• dal sacchetto 2 prendi 2 lingotti,

• dal sacchetto 3 prendi 3 lingotti,

• dal sacchetto 4 prendi 4 lingotti.
  Se fossero tutti veri, il peso atteso sarebbe:
  (1+2+3+4)×10=10×10=100 g(1+2+3+4)\times 10 = 10\times 10 = \mathbf{100\ g}(1+2+3+4)×10=10×10=100 g.

Chiamiamo D il “deficit” rispetto a 100 g:
  D=100 g−peso misurato\;D = 100\text{ g} - \text{peso misurato}D=100 g−peso misurato.

Poiché ogni falso pesa 1 g in meno, D sarà esattamente uguale al numero del sacchetto da cui hai prelevato i falsi.

P — Procedere (passi operativi)

1. Etichetta i sacchetti 1–4.

2. Preleva 1–2–3–4 lingotti come sopra.

3. Unica pesata di tutti i lingotti prelevati insieme.

4. Calcola D=100−D = 100 -D=100− (lettura in grammi).

5. Risposta: il sacchetto con i falsi è il numero D.

Esempio: lettura = 97 g → D=100−97=3D=100-97=3D=100−97=3 → sacchetto 3.

E — Esaminare (perché funziona / varianti)

• Funziona perché l’insieme dei prelievi (1,2,3,4) produce deficit distinti (1,2,3,4 g).

• Condizioni: differenza per lingotto nota e costante (=1 g) e bilancia con risoluzione ≥ 1 g.

• Generalizzazione a nnn sacchetti: preleva 1,2,…,n; peso atteso =10⋅n(n+1)2=10\cdot\frac{n(n+1)}{2}=10⋅2n(n+1)​ g; DDD indica l’indice del sacchetto falso.

• Se la differenza non fosse 1 g ma Δ g (nota), allora sacchetto=D/Δ\text{sacchetto} = D / \Deltasacchetto=D/Δ.

• Bilancia a due piatti: metti i lingotti prelevati su un piatto e 100 g di pesi campione sull’altro; lo sbilanciamento in grammi è DDD → indica il sacchetto.