Matematica folosită în ingineria electrică pentru a aduna împreună rezistențe, curenți sau tensiuni DC utilizează ceea ce se numește "numere reale" folosite fie ca numere întregi, fie ca fracții.

Dar numerele reale nu sunt singurele feluri de numere pe care trebuie să le folosim, mai ales atunci când ne ocupăm de surse și vectori sinusoidale, dependente de frecvență. Pe lângă utilizarea numerelor normale sau reale, au fost introduse numere complexe pentru a permite rezolvarea unor ecuații complexe cu numere care sunt rădăcini pătrate ale numerelor negative, √-1.

În ingineria electrică, acest tip de număr este numit "număr imaginar" și pentru a distinge un număr imaginar de un număr real, se folosește litera "j" cunoscută în mod obișnuit în ingineria electrică ca operator j. Astfel, litera "j" este plasată în fața unui număr real pentru a indica operațiunea numărului său imaginar.

Exemple de numere imaginare sunt: j3, j12, j100 etc. Atunci, un număr complex constă din două părți distincte, dar foarte legate, un "număr real" plus un "număr imaginar".

Numerele complexe reprezintă puncte, într-un plan complex de două dimensiuni sau în planul s, care sunt raportate la două axe distincte. Axa orizontală se numește "axă reală", în timp ce axa verticală se numește "axă imaginară". Părțile reale și imaginare ale unui număr complex sunt abreviate ca Re(z) și Im(z), respectiv.

Numerele complexe care sunt alcătuite din parte reală (componenta activă) și imaginară (componenta reactivă) pot fi adunate, scăzute și utilizate exact în același mod în care se folosește algebra elementară pentru a analiza circuitele DC.

Regulile și legile folosite în matematică pentru adunarea sau scăderea numerelor imaginare sunt aceleași ca și pentru numerele reale, j2 + j4 = j6 etc. Singura diferență este la înmulțire, deoarece două numere imaginare înmulțite împreună devin un număr real negativ. Numerele reale pot fi considerate ca un număr complex, dar cu o parte imaginară zero etichetată j0.

Operatorul j are o valoare exactă egală cu √-1, deci multiplicarea succesivă a lui "j", (j x j) va avea ca rezultat un j cu următoarele valori de -1, - j și +1. Deoarece operatorul j este utilizat în mod obișnuit pentru a indica rotația în sens anti-orar ale unui vector, fiecare multiplicare sau putere succesivă a lui "j", j², j³ etc. va obliga vectorul să se rotească cu un unghi de 90° în sens anti-orar. De asemenea, în cazul în care multiplicarea vectorului are ca rezultat un operator - j, atunci schimbarea de fază va fi -90°, adică o rotație în sensul orar.

Rotația vectorială a operatorului j

Deci, înmulțirea unui număr imaginar cu j² va roti vectorul cu 180° în sens anti-orar, înmulțind cu j³ se va roti cu 270° și prin j⁴ se va roti 360° sau înapoi în poziția inițială. Înmulțirea cu j¹⁰ sau cu j³⁰ va determina vectorul să se rotească în sens anti-orar cu valoarea corespunzătoare. În fiecare rotație succesivă, magnitudinea vectorului rămâne întotdeauna aceeași.

În ingineria electrică există moduri diferite de a reprezenta un număr complex fie grafic, fie matematic. Un astfel de mod care utilizează regula cosinus și sinus este numit Forma carteziană sau dreptunghiulară.

Numere complexe utilizând forma carteziană

Am văzut că un număr complex este reprezentat de o parte reală și o parte imaginară cu forma generalizată:

unde:

Z - este numărul complex reprezentând vectorul
x - este partea reală sau componenta activă
y - este partea imaginară sau componenta reactivă
j - este definit de √ -1

În forma carteziană, un număr complex poate fi reprezentat ca un punct pe un plan cu două dimensiuni numit plan complex sau plan-s. De exemplu, Z = 6 + j4 reprezintă un singur punct ale cărui coordonate reprezintă 6 pe axa reală orizontală și 4 pe axa imaginară verticală așa cum este arătat mai jos.

Numere complexe folosind planul complex sau planul-s

Dar atât părțile reale, cât și cele imaginare, ale unui număr complex în forma carteziană, pot fi un număr pozitiv, sau un număr negativ, astfel că ambele axe reale și imaginare trebuie să se extindă atât în ​​direcția pozitivă, cât și în cea negativă. Aceasta produce apoi un plan complex cu patru cadrane numite Diagrama Argand după cum se arată mai jos.

Diagrama Argand în patru cadrane

Pe diagrama Argand, axa orizontală reprezintă toate numerele reale pozitive la dreapta axei imaginare verticale și toate numerele reale negative la stânga axei imaginare verticale. Toate numerele imaginare pozitive sunt re-prezentate deasupra axei orizontale, în timp ce toate numerele imaginare negative sunt sub axa reală orizontală. Aceasta produce un plan complex, bidimensional, cu patru cadrane distincte etichetate, QI, QII, QIII și QIV.

Diagrama Argand de mai sus poate fi folosită pentru a reprezenta un fazor rotativ ca un punct în planul complex, a cărui rază, dată de magnitudinea fazorului, va trage un cerc complet în jurul acestuia pentru fiecare 2π/ω secunde.

Atunci putem extinde această idee, în continuare, pentru a arăta definiția unui număr complex în formă polară și carteziană pentru rotații de 90°.

Numerele complexe pot avea părți "reale" sau imaginare "zero" cum ar fi: Z = 6 + j0 sau Z = 0 + j4. În acest caz, punctele sunt reprezentate direct pe axa reală sau imaginară. De asemenea, unghiul unui număr complex poate fi calculat folosind trigonometrie simplă pentru a calcula unghiurile unui triunghiuri dreptunghic sau măsurate în sens antiorar în jurul diagramei Argand pornind de la axa reală pozitivă.

Atunci unghiurile între 0° și 90° vor fi în primul cadran (I), unghiuri (θ) între 90 și 180° în al doilea cadran (II). Al treilea cadran (III) include unghiuri între 180 și 270°, în timp ce al patrulea și ultimul cadran (IV) care completează cercul complet, include unghiurile între 270 și 360° și așa mai departe. În toate cele patru cadrane, unghiurile relevante pot fi găsite din:

tan-1 (componenta imaginară ÷ componenta reală)

Adunarea și scăderea numerelor complexe

Adunarea sau scăderea numerelor complexe se poate face fie matematic fie grafic în formă carteziană. Pentru adunare, părțile reale sunt mai întâi adunate împreună pentru a forma partea reală a sumei și apoi părțile imaginare pentru a forma partea imaginară a sumei și acest proces este următorul, folosind, ca exemple, două numere complexe A și B.

Adunarea și scăderea complexă

Numere complexe. Exemplul nr. 1

Doi vectori sunt definiți ca: A = 4 + j1 și respectiv B = 2 + j3 . Determinați suma și diferența celor doi vectori atât în ​​forma carteziană (a + jb ) cât și grafic ca o diagramă Argand.

Adunare matematică

Scădere

Adunarea și scăderea grafică

Înmulțirea și împărțrea numerelor complexe

Înmulțirea numerelor complexe în formă carteziană urmează mai mult sau mai puțin aceleași reguli ca și pentru algebra normală, împreună cu câteva reguli suplimentare pentru înmulțirea succesivă a operatorului j unde: j2=-1. De exemplu, înmulțirea celor doi vectori de mai sus A = 4 + j1 si B = 2 + j3 ne va da următorul rezultat.

Din punct de vedere matematic, împărțirea numerelor complexe în formă carteziană este puțin mai dificil de realizat deoarece necesită utilizarea funcției conjugate a numitorilor pentru a transforma numitorul ecuației într-un număr real. Aceasta se numește "raționalizare". Atunci, împărțirea numerelor complexe este cel mai bine realizată folosind "Forma Polară", la care ne vom referi mai târziu. Cu toate acestea, ca exemplu într-o formă carteziană să găsim valoarea vectorului A împărțit la vectorul B.

Conjugata complexă

Conjugata complexă, sau pur și simplu Conjugata unui număr complex este găsită prin inversarea semnului algebric al părții imaginare a numerului complex, păstrând semnul algebric al părții reale, și pentru a identifica conjugata complexă a lui z este utilizat simbolul ż. De exemplu, conjugata lui z = 6 + j4 este ż = 6 - j4, la fel conjugata lui z = 6 - j4 este ż = 6 + j4.

Punctele de pe diagrama Argand pentru o conjugată complexă au aceeași poziție orizontală pe axa reală cu numărul complex original, dar pozițiile verticale opuse. Astfel, conjugatele complexe pot fi considerate ca o reflectare a unui număr complex. Următorul exemplu arată un număr complex, 6 + j4 și conjugata sa în planul complex.

Numere complexe conjugate

Suma unui număr complex și a conjugatei sale complexe va fi întotdeauna un număr real, așa cum am văzut mai sus. Deci, adunarea unui număr complex și a conjugatei sale dă rezultatul ca număr real sau numai componenta activă, în timp ce scăderea lor dă un număr imaginar sau doar componenta reactivă. Conjugata unui număr complex este un element important folosit în ingineria electrică pentru a determina puterea aparentă a unui circuit AC folosind forma carteziană.

Numere complexe folosind forma polară

Spre deosebire de forma carteziană care trasează punctele în planul complex, forma polară a unui număr complex este scrisă ca magnitudine și unghiu. Astfel, un vector de formă polară este prezentat ca: Z = A∠ ± θ, unde: Z este numărul complex în formă polară, A este magnitudinea sau modulul vectorului și θ este unghiul său sau argumentul lui A care poate fi pozitiv sau negativ. Magnitudinea și unghiul punctului rămân aceleași ca și pentru forma carteziană de mai sus, dar de această dată, în forma polară, locația punctului este reprezentată într-o "formă triunghiulară" așa cum se arată mai jos.

Reprezentarea formei polare a unui număr complex

Deoarece reprezentarea polară a unui punct se bazează pe o formă triunghiulară, putem folosi geometria simplă a triunghiului și în special trigonometria și teorema lui Pitagora pentru a găsi atât amplitudinea, cât și unghiul numărului complex. Așa cum ne amintim de la școală, trigonometria se ocupă de relația dintre laturi și unghiurile triunghiului, astfel încât să putem descrie relațiile:

Folosind din nou trigonometria, unghiul θ al lui A este dat după cum urmează.

Atunci, în forma polară, lungimea lui A și unghiul său reprezintă numărul complex în locul unui punct. În formă polară, conjugatul numărului complex are aceeași magnitudine sau modul și numai semnul unghiului se schimbă, de exemplu, conjugatul lui 6 ∠30° va fi 6 ∠-30°.

Conversia între forma carteziană și forma polară

În forma carteziană putem exprima un vector în coordonatele carteziene, axa orizontală fiind axa sa reală, iar axa verticală fiind axa imaginară sau componenta lui j. În forma polară, aceste axe reale și imaginare sunt pur și simplu reprezentate de "A ∠θ". Astfel, folosind exemplul de mai sus, relația dintre forma carteziană și forma polară poate fi definită ca:

Conversia formei polare în forma carteziană, (P → R)

Putem converti din formă carteziană în formă polară după cum urmează (R → P):

Înmulțirea și împărțirea formei polare

Forma carteziană este cea mai bună pentru adunarea și scăderea numerelor complexe așa cum am văzut mai sus, dar forma polare este adesea mai bună pentru înmulțire și împărțire. Pentru a înmulți împreună doi vectori în formă polară, trebuie mai întâi să înmulțim împreună cele două module sau magnitudini și apoi să adunăm împreună unghiurile lor.

Înmulțirea în formă polară

Înmulțind împreună 6 ∠30° și 8 ∠-45° în formă polară ne dă:

Z1 x Z2 = 6 x 8 ∠30° + (-45°) = 48 ∠-15°

Împărțire în formă polară

Pentru a împărți împreună doi vectori în formă polară, trebuie să împărțim cele două module și apoi să scădem unghiurile lor ca mai jos.

Din fericire, calculatoarele științifice moderne de astăzi au încorporate funcții matematice care permit conversia ușoară a formei carteziene în formă polară (R → P) și înapoi la forma carteziană (P →R).

Numere complexe folosind forma exponențială

Până în prezent am considerat numere complexe în forma carteziană (a + jb) și forma polară (A∠± θ). Dar există și o a treia metodă pentru a reprezenta un număr complex care este similară cu forma polară privind lungimea (magnitudinea) și unghiul de fază al sinusoidei, dar folosește baza logaritmului natural e = 2,718 281... pentru a găsi valoarea numărului complex. Această a treia metodă este numită Forma Exponențială.

Forma exponențială folosește funcțiile trigonometrice ale valorilor sinus (sin) și cosinus (cos) ale unui triunghi dreptunghic pentru a defini exponențiala complexă ca punct de rotație în planul complex. Forma exponențială pentru găsirea poziției punctului se bazează pe identitatea lui Euler, numită după matematicianul elvețian, Leonhard Euler și este dată ca:

Identitatea lui Euler poate fi reprezentată de următoarea diagrama fazorială rotativă în planul complex.

Putem vedea că identitatea lui Euler este foarte asemănătoare formei polare, de mai sus, și ne arată că un număr precum Ae^jϴ care are o magnitudine de 1 este, de asemenea, un număr complex. Nu numai că putem converti numere complexe care se află într-o formă exponențială cu ușurință în formă polară, cum ar fi: 2e^j30 = 2∠30, 10e^j120 = 10∠120 sau - 6e^j90 = - 6∠90, dar identitatea lui Euler oferă o modalitate de a converti un număr complex din forma sa exponențială în forma sa carteziană. Atunci relația dintre forma Exponențială, polară și carteziană în definirea unui număr complex este dată de:

Formele numerelor complexe

Notare fazorială

Până acum, ne uităm la moduri diferite de a reprezenta fie un vector rotativ, fie un vector staționar, folosind numere complexe pentru a defini un punct pe planul complex. Notația fazorială este procesul de construire a unui singur număr complex care are amplitudinea și unghiul de fază al formei de undă sinusoidale date.

Atunci, notația fazorială sau transformata fazorială, așa cum este numită uneori, transferă partea reală a funcției sinusoidale: A(t) = Am cos(ωt ± Φ) din domeniul timp în domeniul numărului complex, care este numit și domeniul frecvență. De exemplu:

Rețineți că √2 convertește amplitudinea maximă într-o valoare efectivă sau RMS cu unghiul de fază dat în radiani, (ω).

Rezumatul la Numere complexe

• Numere complexe constau din două numere distincte, un număr real plus un număr imaginar.

• Numerele imaginare se deosebesc de un număr real prin utilizarea operatorului j.

• Un număr cu litera "j" în fața acestuia îl identifică ca un număr imaginar în planul complex.

• Prin definiție, operatorul j ≡ √-1.

• Numerele imaginare pot fi adunate, scăzute, multiplicate și împărțite la fel ca numerele reale.

• Multiplicarea lui "j" cu "j" dă j² = -1

• În forma carteziană un număr complex este reprezentat de un punct în spațiu pe planul complex.

• În forma polară, un număr complex este reprezentat de o linie, a cărei lungime este amplitudinea, și de unghiul de fază.

• În forma exponențială, un număr complex este reprezentat de o linie și un unghi corespunzător care folosește baza logaritmului natural.

• Un număr complex poate fi reprezentat în unul din trei moduri:

• Z = x + jy » Formă carteziană

• Z = A∠Φ » Formă polară

• Z = Ae^jϴ » Forma exponențială

• Identitatea lui Euler poate fi folosită pentru a converti numere complexe din formă exponențială în formă carteziană.

În tutorialele anterioare, incluzând aceasta, am văzut că putem utiliza fazori pentru a reprezenta forme de undă sinusoidale și că amplitudinea și unghiul de fază al lor pot fi scrise sub forma unui număr complex. Am văzut că numerele complexe pot fi prezentate sub formă carteziană, polară sau exponențială, cu conversia între fiecare, inclusiv adunarea, scăderea, multiplicarea și divizarea.

În următoarele câteva tutoriale referitoare la relația fazorială în circuitele AC serie, vom examina impedanța unor componente obișnuite de circuit pasiv și vom desena diagramele fazoriale atât pentru curentul care trece prin componentă cât și pentru tensiunea aplicată pe aceasta pornind de la Rezistenţa AC.