Algebra booleană este un mod simplu și eficient de a reprezenta acțiunea de comutare a porților logice standard și au fost inventate un set de reguli sau legi pentru a ajuta la reducerea numărului de porți logice necesare pentru a efectua o anumită operație logică. Algebra booleană este matematica logică digitală pe care o folosim pentru a analiza porțile și circuitele de comutare, cum ar fi cele pentru funcțiile poartă AND, OR și NOT, cunoscute și ca „Set complet” în teoria comutării.

În matematică, numărul sau cantitatea obținută prin înmulțirea a două (sau mai multe) numere împreună se numește produs. De exemplu, dacă înmulțim numărul 2 cu 3, răspunsul rezultat este 6, deoarece 2*3 = 6, deci „6” va fi numărul produs.

În algebra booleană, înmulțirea a două numere întregi este echivalentă cu operațiunea logică AND (ȘI) producând astfel un termen „Produs” atunci când două sau mai multe variabile de intrare sunt „AND’ed” împreună. Cu alte cuvinte, în algebra booleană funcția AND este echivalentul multiplicării și deci starea sa de ieșire reprezintă produsul intrărilor sale.

Poarta AND (Produs)

Termenul (AND) produs

Deci, știm acum că în Algebra booleană, „produs” înseamnă înmulțirea termenilor cu variabile dintr-un termen produs având un exemplu în forma sa adevărată sau în forma sa complementară, astfel încât produsul rezultat să nu poată fi simplificat în continuare. Acestea sunt cunoscute sub numele de minterms. Deci, cum putem arăta operarea acestei funcții de „produs” în Albegra Booleană.

Un termen produs poate avea una sau două variabile independente, cum ar fi A și B, sau poate avea una sau două constante fixe, din nou 0 și 1. Putem folosi aceste variabile și constante într-o varietate de combinații diferite și să producem un rezultat produs așa cum se arată în listele următoare.

Termenii produs din Algebra Booleană

Rețineți că o „variabilă” booleană poate avea una din cele două valori, fie „1”, fie „0” și își poate modifica valoarea. De exemplu, A = 0 sau A = 1, în timp ce o „constantă” booleană care poate fi, de asemenea, sub forma unui „1” sau „0”, este o valoare fixă ​​și, prin urmare, nu se poate modifica.

Atunci putem vedea că orice produs boolean dat poate fi simplificat la o singură constantă sau variabilă, cu o scurtă descriere a diferitelor legi booleene date mai jos, unde „A” reprezintă o intrare variabilă.

• Legea anulării - Un termen înmulțit cu 0 este întotdeauna egal cu 0 (A.0 = 0)

• Legea identității - Un termen înmulțit cu 1 este întotdeauna egal cu termenul (A.1 = A)

• Lege idempotenței - Un termen înmulțit cu el însuși este întotdeauna egal cu termenul (A.A = A)

• Legea Complementării - Un termen înmulțit cu complementul său este întotdeauna egal cu 0 (A.Ā = 0)

• Legea comutativității - Ordinea în care doi termeni sunt înmulțiți este aceeași (A.1 = 1.A)

Termenul (OR) Sumă

În timp ce funcția AND este denumită în mod obișnuit ca termen produs, funcția OR este denumită ca termen sumă. Funcția OR este echivalentul matematic al adunării care este notată cu un semn plus, (+). Astfel, o poartă OR cu 2-intrări are un termen de ieșire reprezentat prin expresia booleană A + B, deoarece este suma logică a lui A și B.

Poartă OR (Sumă)

Această sumă logică este cunoscută în mod obișnuit ca adunare booleană, deoarece o funcție OR produce termenul însumat a două sau mai multe variabile de intrare sau constante. Vom analiza mai detaliat funcția OR și adunarea booleană în următorul tutorial, dar deocamdată ne vom aminti că o funcție OR reprezintă Termenul Sumă.

Suma de produse (SOP)

Deci am văzut că funcția AND produce produsul logic al înmulțirii booleene și că funcția OR produce suma logică a adunării booleene. Dar când avem de-a face cu circuite logice combinaționale în care porțile AND, porțile OR și porțile NOT sunt conectate între ele, expresiile Suma Produselor și Produsul Sumelor sunt utilizate pe scară largă.

Expresia Sumă de produse (SOP) vine din faptul că două sau mai multe produse (AND) sunt însumate (OR) împreună. Adică ieșirile de la două sau mai multe porți AND sunt conectate la intrarea unei porți OR astfel încât să fie efectiv adunate împreună pentru a crea ieșirea logică AND-OR finală. De exemplu, următoarea funcție booleană este o expresie tipică sumă de produs:

Dar, funcțiile booleene pot fi exprimate și în sume nestandard de forme de produse cum ar fi cele prezentate mai jos, dar pot fi convertite într-o formă SOP standard prin extinderea expresiei. Astfel:

De fapt, această expresie mare SOP poate fi redusă în continuare folosind legile algebrei booleene pentru a da o expresie SOP redusă:

Conversia unei expresii SOP într-un tabel de adevăr

Putem afișa orice termen sumă de produse sub forma unui tabel de adevăr, deoarece fiecare combinație de intrare care produce o ieșire logică „1” este un termen AND sau produs, după cum se arată mai jos.

Considerați următoarea expresie a sumei de produse:

Acum putem întocmi tabelul de adevăr pentru expresia de mai sus pentru a afișa o listă a tuturor combinațiilor posibile de intrare pentru A, B și C care vor avea ca rezultat o ieșire „1”.

Forma tabelului de adevăr pentru Suma de produse

Atunci, putem vedea clar din tabel de adevăr că fiecare rând de produs care produce un „1” pentru ieșirea sa corespunde expresiei sale de multiplicare booleană, cu toate celelalte rânduri având o ieșire „0”, deoarece un „1” este întotdeauna ieșit dintr-o poartă OR.

În mod clar, avantajul este că tabelul de adevăr ne oferă o indicație vizuală a expresiei booleene, permițându-ne să simplificăm expresia. De exemplu, termenul sumă de produse de mai sus poate fi simplificat la:

dacă este necesar.

Exemplu de sumă de produse

Următoarea expresie de algebră booleană este dată ca:

1. Convertiți această ecuație logică într-un termen SOP echivalent.

2. Utilizați un tabel de adevăr pentru a arăta toate combinațiile posibile de condiții de intrare care vor produce o ieșire.

3. Desenați o diagramă de poartă logică pentru expresie.

1. Convertiți în termen SOP

2. Tabelul de adevăr

Am văzut în acest tutorial că expresia Sum-of-Products (SOP) este o expresie booleană standard care „însumează” două sau mai multe „produse” și că pentru un circuit logic digital o expresie SOP ia ieșirea a două sau mai multe porți logice AND porți și le adună (OR) împreună pentru a crea ieșirea finală (AND-OR).