Filtrele de ordin doi, care sunt denumite și filtre VCVS (Voltage Controlled Voltage Source), deoarece op-amp este folosit ca amplificator sursă de tensiune controlată în tensiune, sunt un alt tip important de schemă de filtru activ deoarece, împreună cu filtrele active RC de prim ordin, circuitele de filtre cu ordin superior pot fi proiectate cu ajutorul acestora.

În aceste tutoriale din secțiunea Filtre am analizat atât schemele de filtre pasive, cât și cele active și am văzut că filtrele de ordinul întâi pot fi ușor convertite în filtre de ordinul doi, pur și simplu prin utilizarea unei rețele RC suplimentare în calea de intrare sau de feedback. Atunci, putem defini filtrele de ordinul doi, simplu, ca fiind: "două filtre de ordinul I, legate împreună în cascadă, cu amplificare".

Cele mai multe scheme de filtre de ordinul doi sunt, în general, numite după inventatorul lor, cele mai comune tipuri de filtre fiind: Butterworth, Chebyshev, Bessel și Sallen-Key. Toate aceste tipuri de filtre sunt disponibile fie ca filtru trece-jos, filtru trece-sus, filtru trece-bandă și oprește-bandă (notch), și sunt filtre de ordinul doi, toate având un roll-off de 40 dB/decadă.

Schema filtrului Sallen-Key este una dintre cele mai cunoscute și populare scheme de filtru de ordin 2, care necesită doar un singur amplificator operațional pentru controlul amplificării și patru componente pasive RC pentru a realiza reglajul.

Majoritatea filtrelor active sunt alcătuite numai din op-amp, rezistoare și condensatoare, cu punctul cut-off realizat prin utilizarea feedback-ului eliminând necesitatea inductoarelor utilizate în circuitele pasive de ordinul I.

Filtrele active de ordin doi (cu doi poli), fie low-pass sau high-pass, sunt importante în Electronică, deoarece le putem folosi pentru a proiecta filtre de ordin superior cu roll-off-uri foarte abrupte și prin legarea împreună în cascadă de filtre de prim și de al doilea rând, filtre analogice cu ordin n, fie impar, fie par, care pot fi construite până la orice valoare, cu rațiune.

Filtru low-pass de ordinul doi

Filtrele low-pass de ordin doi sunt ușor de proiectat și sunt utilizate pe scară largă în multe aplicații. Configurația de bază pentru un filtru low-pass Sallen-Key de ordin doi (doi-pol) este dată de:

Acest circuit filtru trece-jos de ordin doi are două rețele RC, R1 - C1 și R2 - C2, care conferă filtrului proprietățile sale de răspuns în frecvență. Schema filtrului se bazează pe o configurație de op-amp neinversor, astfel încât câștigul filtrului, A va fi întotdeauna mai mare decât 1. De asemenea, op-amp are o impedanță de intrare ridicată, ceea ce înseamnă că poate fi ușor legat în cascadă cu alte circuite active de filtrare pentru a da scheme mai complexe ale filtrelor.

Răspunsul în frecvență normalizat al filtrului low-pass de ordinul doi este fixat de rețeaua RC și este în general identic cu cel al tipului de prim ordin. Principala diferență dintre un filtru low-pass de ordin 1 și de ordin 2 este că rol-off-ul benzii de oprire va fi de două ori mai mare decât filtrele de ordinul I la 40 dB/decadă (12 dB/octavă), deoarece frecvența de operare crește peste punctul ƒc, frecvența de tăiere cut-off, așa cum se arată.

Răspunsul în frecvență low-pass normalizat

Diagrama Bode, a răspunsului în frecvență de mai sus, este în esență aceeași ca cea pentru un filtru de ordinul I. Diferența, de această dată, este panta roll-off care este de -40 dB/decadă în banda de oprire. Cu toate acestea, filtrele de ordinul doi pot prezenta o varietate de răspunsuri în funcție de factorul de calitate al tensiunii circuitelor, Q la punctul frecvenței cut-off.

În filtrele active de ordin doi, factorul de amortizare, ζ (zeta), care este inversul lui Q, este folosit în mod normal. Atât Q, cât și ζ, sunt determinate independent de câștigul amplificatorului A astfel încât, dacă Q scade, factorul de amortizare crește. În termeni simpli, un filtru trece-jos va fi întotdeauna trece-jos în natura sa, dar poate prezenta un vârf de rezonanță în vecinătatea frecvenței cut-off, adică câștigul poate crește rapid datorită efectelor de rezonanță ale câștigului amplificatoarelor.

Atunci Q, factorul de calitate, reprezintă "peakiness" acestui vârf de rezonanță, adică înălțimea și îngustarea acestuia în jurul punctului de frecvență cut-off, ƒC. Dar un câștig al filtrului determină, de asemenea, cantitatea de feedback și, prin urmare, are un efect semnificativ asupra răspunsului în frecvență al filtrului.

În general, pentru a menține stabilitatea, câștigul unui filtru activ nu trebuie să fie mai mare de 3 și este cel mai bine exprimat prin Factorul de calitate, "Q":

A = 3 – (2 x ζ)

Atunci putem vedea că câștigul filtrelor, A pentru o configurație de amplificator neinversor trebuie să se situeze undeva între 1 și 3 (factorul de amortizare, ζ între zero și 2). De aceea, valori mai ridicate ale lui Q sau valori mai mici ale lui ζ dau un vârf mai mare răspunsului și o rată inițială de roll-off imai rapidă, așa cum este arătat.

Răspunsul în amplitudine al filtrului de ordin doi

Răspunsul în amplitudine pentru filtrul trece-jos de ordinul doi variază în funcție de valorile diferite ale factorului de amortizare, ζ. Atunci când ζ = 1,0 sau mai mult (2 este maxim), filtrul devine ceea ce se numește "overdamped", cu răspunsul în frecvență indicând o curbă lungă plată. Când ζ = 0, filtrele produc peak-uri ascuțite la punctul de cut-off asemănător cu un punct ascuțit la care se spune că filtrul este "underdamped".

Apoi undeva între, ζ = 0 si ζ = 2.0, trebuie să existe un punct în care răspunsul în frecvență este de valoare corectă și există. Aceasta este atunci când filtrul este "amortizat critic" și apare când ζ = 0,7071.

O notă finală, când cantitatea de feedback ajunge la 4 sau mai mult, filtrul începe să oscileze singur la punctul de frecvență cut-off datorită efectelor de rezonanță, schimbând filtrul într-un oscilator. Acest efect se numește auto-oscilație. Deci, pentru un filtru low-pass de ordinul doi, ambele Q și ζ joacă un rol critic.

Putem vedea din curbele normalizate de răspuns în frecvență de mai sus pentru un filtru de ordinul 1 (linia roșie) că câștigul de trece bandă rămâne plat și orizontal (numit plat maxim) până când răspunsul în frecvență atinge punctul de frecvență cut-off atunci când: ƒ = ƒr și câștigul filtrului reduce trecerea frecvenței sale cut-off la 1/√2, sau 0,7071 din valoarea sa maximă. Acest punct este denumit, în general, punctul de -3 dB al filtrului și pentru un filtru trece-jos de ordinul întâi factorul de amortizare va fi egal cu unu (ζ = 1).

Cu toate acestea, acest punct de cut-off de -3 dB va fi la o poziție de frecvență diferită pentru filtrele de ordinul doi din cauza ratei roll-off mai abrupte, de -40 dB/decadă (linia albastră). Cu alte cuvinte, frecvența de colț, ƒr modifică poziția pe măsură ce ordinul filtrului crește. Atunci, pentru a aduce punctul de -3 dB al filtrului de ordin doi înapoi în aceeași poziție ca și filtrul de ordin 1, trebuie să adăugăm o mică cantitate de câștig filtrului.

Astfel, pentru un filtru low-pass de ordin doi Butterworth, nivelul câștigului ar fi: 1.586, pentru un filtru Bessel de ordinul doi: 1.268, iar pentru un filtru low-pass Chebyshev: 1.234.

Filtru de ordin doi. Exemplul 1

Un filtru low-pass de ordin doi trebuie proiectat în jurul unui op-amp neinversor cu valori egale ale rezistoarelor și condensatoarelor în circuitul de determinare a frecvenței sale cut-off. Dacă caracteristicile filtrelor sunt date ca: Q = 5 și ƒc = 159 Hz, proiectați un filtru low-pass corespunzător și trasați răspunsul său în frecvență.

Caracteristici date: R1 = R2, C1 = C2, Q = 5 și ƒc = 159 Hz

Din circuitul de mai sus, știm că pentru rezistențe egale și capacități egale, punctul de frecvență cut-off, ƒc este dat de:

Alegerea unei valori adecvate, a spune 10 kΩ pentru rezistențe, valoarea condensatorului rezultat este calculată ca:

Atunci pentru o frecvență cut-off de 159 Hz, R = 10 kΩ și C = 0,1 μF.

Cu o valoare a Q = 5, câștigul filtrelor A se calculează cu:

Știm de mai sus că un câștig de op-amp neinversor este dat de:

Prin urmare, circuitul final pentru filtrul trece-jos de ordin doi este dat ca:

Putem vedea că vârful curbei de răspuns în frecvență este destul de ascuțit la frecvența cut-off datorită valorii înalte a factorului de calitate Q = 5. La acest punct, câștigul filtrului este dat de : Q × A = 14, sau aproximativ + 23 dB, o mare diferență față de valoarea calculată de 2,8 (+ 8,9 dB).

Dar, multe cărți ne spun că câștigul filtrului la punctul de frecvență cut-off normalizată, etc. ar trebui să fie la punctul de -3 dB. Prin scăderea semnificativă a valorii lui Q până la o valoare de 0,7071 rezultă un câștig de A = 1,586 și un răspuns în frecvență care este plat maxim în banda de trecere având o atenuare de -3 dB la punctul cut-off la fel ca și pentru un răspuns de filtru Butterworth de ordinul doi.

Până în prezent am văzut că filtrele de ordinul doi pot avea punctul de frecvență cut-off setat la orice valoare dorită, dar poate fi variat departe de această valoare dorită prin factorul de amortizare, ζ. Schemele filtrelor active permit ordinului filtrului să ajungă până la orice valoare, în mod rezonabil, prin legarea împreună în cascadă a secțiunilor filtrului.

În practică, atunci când se proiectează filtre low-pass de ordin n, este de dorit să se stabilească frecvența cut-off pentru secțiunea de prim ordin (dacă ordinul filtrului este impar) și să se stabilească factorul de amortizare și câștigul corespunzător pentru fiecare dintre secțiunile de ordin doi pentru a obține răspunsul global corect. Pentru a face mai ușoară realizarea designului filtrelor low pass, valorile lui ζ, Q și A sunt disponibile sub formă tabelară pentru filtrele active așa cum vom vedea în tutorialul filtrul Butterwortht.

Filtru de ordin doi. Exemplul 2

Proiectați un filtru low-pass neinversor de ordin doi, care va avea următoarele caracteristici de filtrare: Q = 1 și ƒc = 79,5 Hz.

De mai sus, frecvența de colț, ƒc a filtrului este dată de:

Alegând o valoare adecvată de 1 kΩ pentru rezistoarele filtrelor, valorile capacităților rezultate sunt calculate cu:

Prin urmare, pentru o frecvență de colț de 79,5 Hz sau 500 rad/s , R = 1 kΩ și C = 2,0 μF.

Cu o valoare a lui Q = 1, câștigul filtrului A se calculează după cum urmează:

Câștigul de tensiune pentru un circuit op-amp neinversor a fost dat anterior ca:

De aceea, circuitul filtru trece-jos de ordin doi care are un Q de 1, și o frecvență de colț de 79,5 Hz este dat de:

Filtru trece-sus de ordin secund

Există o foarte mică diferență între configurația filtrului trece-jos de ordin doi și configurația filtrului trece-sus de ordin doi, singurul lucru care s-a schimbat este poziția rezistoarelor și a condensatoarelor, după cum se arată mai jos.

Deoarece filtrele trece-sus și filtrele trece-jos de ordin doi sunt aceleași circuite, cu excepția faptului că pozițiile rezistoarelor și condensatoarelor sunt interschimbate, procedeele de proiectare și de scalare a frecvenței pentru filtrul trece-sus sunt exact aceleași cu cele pentru filtrul trece-jos anterior. Deci, diagrama Bode pentru un filtru trece-sus de ordinul 2 este dată de:

Răspunsul în frecvență high-pass normalizat

La fel ca în cazul filtrului low-pass precedent, înclinația abruptă a roll-off în banda de oprire este de -40 dB/decadă.

În cele două circuite de mai sus, valoarea câștigului de tensiune al op-amp, (Av) este stabilită de rețeaua de feedback a amplificatoarelor. Acest lucru stabilește doar câștigul pentru frecvențele din banda de trecere a filtrului. Putem alege să amplificăm ieșirea și să stabilim această valoare a câștigului, indiferent de cantitatea potrivită scopului nostru, și să definim acest câștig ca o constantă. K.

Filtrele Sallen-Key de ordinul doi sunt de asemenea denumite filtre de feedback pozitiv, deoarece ieșirea se alimentează înapoi terminalul pozitiv al op-amp. Acest tip de filtru activ este popular deoarece necesită doar un singur op-amp, făcându-l relativ ieftin.