Filtrul cu stare variabilă sau SVF este un tip de circuit de filtrare cu mai multe reacții, care poate produce simultan toate cele trei răspunsuri de filtru, Low Pass, High Pass și Band Pass de la aceeași schemă de filtru activ.

Filtrele cu stare variabilă folosesc trei (sau mai multe) circuite amplificatoare operaționale (elementul activ) legate în cascadă împreună pentru a produce ieșirile individuale ale filtrului, dar dacă este necesar, poate fi adăugat un amplificator suplimentar de însumare pentru a produce și al patrulea răspuns de ieșire filtru Notch (oprește bandă).

Filtrele cu stare variabilă sunt filtre RC active de ordinul doi, formate din doi op-amp integratori identici, fiecare dintre aceștia acționând ca un filtru low-pass de prim ordin, cu un singur pol, un amplificator sumator în jurul căruia putem seta câștigul filtrelor și rețeaua feedback de amortizare. Semnalele de ieșire din toate cele trei etaje op-amp sunt trimise înapoi la intrare, permițându-ne să definim starea circuitului.

Unul dintre principalele avantaje ale schemei filtrului cu stare variabilă este acela că toți cei trei parametri principali ai filtrelor, câștigul (A), frecvența cut-off, ƒC și factorul de calitate Q pot fi ajustate sau setate independent fără a afecta performanța filtrelor.

De fapt, dacă este proiectat corect, punctul de frecvență cut-off de -3 dB, (ƒc) atât pentru răspunsul în amplitudine trece-jos, cât și pentru răspunsul în amplitudine trece-sus trebuie să fie identic cu punctul de frecvență centrală al benzii de trecere. Aceasta este ƒLP (-3dB) egal cu ƒHP (-3dB) care este egal cu ƒBP(center). De asemenea, factorul de amortizare, (ζ) pentru răspunsul filtrului trece bandă trebuie să fie egal cu 1/Q, pe măsură ce Q va fi setat la -3 dB, (0,7071).

Deși filtrul oferă ieșiri trece-jos (LP), trece-sus (HP) și trece-bandă (BP), aplicația principală a acestui tip de circuit filtru este ca schemă de filtru trece-bandă cu stare variabilă cu frecvența centrală stabilită de cele două integratoare RC.

După ce am văzut că niște caracteristici ale filtrelor trece-bandă pot fi obținute prin simpla legare împreună în cascadă a unui filtru low-pass cu un filtru high-pass, filtrele trece-bandă cu stare variabilă de stat au avantajul că pot fi reglate pentru a fi foarte selective (Q mare) oferind câștiguri mari la punctul de frecvență centrală.

Există mai multe modele de filtre cu stare variabilă disponibile toate bazate pe schema standard a filtrului, cu ambele variante disponibile inversoare și ninversoare. Cu toate acestea, schema de bază a filtrului va fi aceeași pentru ambele variante, după cum se arată în următoarea reprezentare a diagramei bloc.

Diagrama bloc a filtrului cu stare variabilă

Putem vedea din diagrama bloc de mai sus că filtrul cu stare variabilă are trei ieșiri posibile, VHP, VBP și VLP câte una de la fiecare din cei trei op-amp. Un răspuns de filtru Notch (oprește bandă) poate fi de asemenea realizat prin adăugarea unui al patrulea op-amp.

Cu o tensiune constantă de intrare, VIN, ieșirea de la amplificatorul sumator produce un răspuns high-pass care devine și intrarea primului RC Integrator. Ieșirea de la acest integrator produce un răspuns band-pass care devine intrarea celui de-al doilea RC Integrator care produce un răspuns low-pass la ieșirea lui. Ca urmare, pot fi găsite funcții separate de transfer pentru fiecare ieșire individuală în raport cu tensiunea de intrare.

Prin urmare, schema filtrului cu stare variabilă neinversor de bază este dată ca:

Circuit de filtrare cu stare variabilă

iar răspunsul în amplitudine al celor trei ieșiri din filtrul cu stare variabilă va arăta ca:

Răspunsul normalizat al unui filtru cu stare variabilă

Unul dintre elementele principale ale unui filtru cu stare variabilă este folosirea a două integratoare op-amp. Integratoarele op-amp utilizează o impedanță dependentă de frecvență sub forma unui condensator în bucla lor de feedback. Când este folosit un condensator, tensiunea de ieșire este proporțională cu integrarea tensiunii de intrare, așa cum se arată mai jos.

Circuit cu op-amp integrator

Pentru a simplifica puțin matematica, aceasta poate fi re-scrisă în domeniul frecvență ca:

Tensiunea de ieșire Vout este o constantă 1/RC înmulțită cu integrala tensiunii de intrare Vin în raport cu timpul. Integratoarele produc o întârziere de fază cu semnul minus (-) indicând un defazaj de 180⁰ deoarece semnalul de intrare este conectat direct la terminalul de intrare inversor al op-amp.

În cazul op-amp-ului A2 de mai sus, semnalul său de intrare este conectat la ieșirea op-amp-ului precedent, A1 astfel încât intrarea sa este dată ca VHP și ieșirea lui ca VBP. Atunci, de mai sus, expresia pentru op-amp, A2 poate fi scrisă ca:

Apoi, rearanjând această formulă putem găsi funcția de transfer a integratorului inversor, A2

Exact aceeași ipoteză poate fi făcută ca mai sus pentru a găsi funcția de transfer pentru celălalt op-amp integrator, A3

Deci cele două integratoare op-amp, A2 și A3 sunt conectați împreună în cascadă, astfel că ieșirea primului (VBP) devine intrarea celui de-al doilea. Așadar, putem vedea că răspunsul trece-bandă este creat prin integrarea răspunsului trece-sus, iar răspunsul trece-jos este creat prin integrarea răspunsului trece-bandă. Prin urmare, funcția de transfer între VHP și VLP este dată de:

Rețineți că fiecare etaj de integrare oferă o ieșire inversată, dar ieșirea însumată va fi pozitivă, deoarece aceștia sunt integratori inversori. Dacă se folosesc exact aceleași valori pentru R și C, astfel încât cele două circuite să aibă aceeași constantă de timp de integrare, cele două circuite de amplificare pot fi privite ca un singur circuit integrator având o frecvență cut-off, ƒC.

Pe lângă cele două circuite integratoare, filtrul are și un amplificator de însumare diferențială care oferă o însumare ponderată a intrărilor sale. Avantajul este că intrările către amplificatorul de însumare A1 combină feedback-ul oscilant, amortizarea și semnalele de intrare către filtru, toate cele trei ieșiri fiind redirecționate către intrările de însumare.

Circuit cu amplificator sumator

Amplificatorul operațional A1 este conectat ca un circuit de adunare-scădere. El adună semnalul de intrare VIN cu ieșirea VBP a op-amp A2 și scade din sumă ieșirea VLP, a op-amp-ului A3, astfel:

Ca intrări diferențiale, + V și -V ale unui amplificator operațional sunt aceleași, deci: + V = -V, putem rearanja cele două expresii de mai sus pentru a găsi funcția de transfer pentru ieșirea lui A1, ieșirea high-pass.

Știm de mai sus, că VBP și VLP sunt ieșirile celor două integratoare, respectiv A2 și A3. Prin substituirea ecuațiilor integratoarelor A2 și A3 în ecuația de mai sus, vom obține funcția de transfer a filtrului cu stare variabilă:

Funcția de transfer a filtrului cu stare variabilă

Am spus anterior că un filtru cu stare variabilă produce trei răspunsuri de filtru, Low Pass, High Pass și Band Pass și că răspunsul band-pass este acela al unui filtru cu Q mare și foarte îngust și acesta este evident în funcția de transfer a SVF mai sus, deoarece seamănă cu a unui răspuns standard de ordinul doi.

Funcția de transfer normalizată de ordinul 2

Frecvența cut-off a filtrului, ƒC

Dacă facem atât rezistoarele de intrare ai integratoarelor, cât și condensatoarele de feedback aceleași, atunci frecvența cut-off a filtrelor cu stare variabilă poate fi ușor reglată fără a afecta Q-ul său global. De asemenea, valoarea Q poate fi variată fără a modifica frecvența cut-off.

Atunci, frecvența cut-off este dată de:

Dacă facem rezistoarele de feedback R3 și R4 de aceeași valoare, atunci frecvența cut-off a fiecărei ieșiri de filtru din filtrul cu stare variabilă devine pur și simplu:

Astfel, reglarea frecvenței cut-off a filtrului cu stare variabilă se realizează pur și simplu prin modificarea fie a rezistorului de reglare R, fie a condensatorului, C.

Filtrele cu stare variabilă sunt caracterizate nu numai de răspunsurile lor individuale de ieșire, ci și de factorul de calitate "Q", al filtrelor. Q se referă la "ascuțimea" curbei de răspuns a amplitudinii filtrelor de trece-bandă și cu atât este mai mare Q, cu cât răspunsul de ieșire este mai mare sau mai ascuțit, rezultând un filtru care este foarte selectiv.

Pentru un filtru trece-bandă, Q este definit ca frecvența centrală împărțită la lățimea de bandă a filtrelor, adică Q = ƒc/BW. Dar Q poate fi găsit și de la numitorul funcției de transfer de mai sus, deoarece este inversul factorului de amortizare (ζ). Deci, Q este dat de:

Factorul Q al unui filtru cu stare variabilă

Din nou, dacă rezistoarele R3 și R4 sunt egale și ambele componente integratoare R și C sunt egale, atunci expresia rădăcinii pătrate finale se va reduce la: √1 sau pur și simplu 1 și numărătorul și numitorul se anulează reciproc.

Filtrul cu stare variabilă. Exemplul Nr. 1

Proiectați un filtru cu stare variabilă care are o frecvență cut-off (neamortizată natural), ƒC de 1kHz și un factor de calitate, Q = 10. Să presupunem că atât rezistoarele de determinare a frecvenței, cât și condensatoarele sunt egale. Determinați câștigul DC al filtrelor și trasați circuitul rezultat și diagrama Bode.

Am spus mai sus că dacă rezistența, R și condensatorul de reacție, C ale celor două circuite integratoare sunt de aceeași valoare, adică R = R și C = C, punctul sau frecvența de cut-off pentru filtru este dat pur și simplu de:

Frecvența cut-off a filtrului

Putem alege o valoare fie pentru rezistor, fie pentru condensator pentru a găsi valoarea celeilalte. Dacă presupunem o valoare adecvată de 10 nF pentru condensator atunci valoarea rezistorului va fi:

unde C = 10 nF și R = 15,9 kΩ, sau 16 kΩ la cea mai apropiată valoare standard,

Valoarea lui Q este 10. Aceasta se referă la coeficientul de amortizare al filtrelor ca:

În funcția de transfer a stării variabile de mai sus, partea 2ζ este înlocuită de combinația rezistoarelor care dă:

Știm de mai sus că R = 16 kΩ și C = 10 nF, dar dacă presupunem că cele două rezistoare de feedback, R3 și R4 sunt aceleași și egale cu 10 kΩ, atunci ecuația de mai sus se reduce la:

Presupunând o valoare adecvată pentru rezistorul de intrare, R1 să spunem 1 kΩ, atunci putem găsi valoarea R2 după cum urmează:

Din funcția de transfer normalizată de mai sus, câștigul DC în banda de trecere este definit ca Ao și din funcția de transfer a unui filtru cu stare variabilă echivalent acesta echivalează cu:

Câștigul DC în banda de trecere a filtrelor SVF

Prin urmare, câștigul de tensiune DC al filtrului este calculat la 1,9, ceea ce înseamnă, în esență, R2/R3. De asemenea, câștigul maxim al filtrului la ƒC poate fi calculat astfel: Ao x Q după cum urmează.

Câștigul maxim al filtrelor SVF

Atunci schema circuitului de filtru cu stare variabilă va fi: R = 16 kΩ, C = 10 nF, R1 = 1 kΩ, R2 = 19 kΩ și R3 = R4 = 10kΩ.

Schema filtrului cu stare variabilă

Putem acum trasa curbele individuale de răspuns de ieșire pentru circuitul filtrului cu stare variabilă pe o gamă de frecvențe de la 1Hz la 1MHz pe o diagramă Bode ca mai jos.

Diagrama Bode a filtrului cu stare variabilă

Putem vedea din curbele de răspuns ale filtrelor de mai sus, că amplificarea DC a circuitului de filtru este de 5,57dB, ceea ce echivalează cu un câștig de tensiune în buclă deschisă, Ao sau 1,9 așa cum este calculat mai sus. Răspunsul arată că curbele de ieșire au vârfuri la un câștig maxim de tensiune de 25,6 dB la frecvența cut-off datorită valorii Q. Deoarece Q se raportează ca frecvența centrală a filtrelor trece-bandă la lățimea de bandă, lățimea de bandă a filtrului va fi: ƒo/10 = 100 Hz.

Am văzut că, în locul unui filtru activ care produce un tip de răspuns în frecvență, putem folosi tehnici de feedback multiple pentru a produce toate cele trei răspunsuri de filtru, Low Pass, High Pass și Band Pass simultan din aceeași singură schemă de filtru.

Dar, la fel ca și cele trei răspunsuri de bază ale filtrului, putem adăuga un circuit op-amp suplimentar pe filtrul de bază de mai sus pentru a produce un al patrulea răspuns de ieșire asemănător cu cel al unui filtru standard Notch.

Schema filtrului Notch

Un filtru notch este în principiu opusul unui filtru trece-bandă, prin faptul că rejectează sau oprește o anumită bandă de frecvențe. Deci, un filtru notch este cunoscut ca și un "filtru de oprire a benzii". Pentru a obține răspunsul unui filtru notch din schema filtrului de bază cu stare variabilă, trebuie să însumăm răspunsurile de ieșire trece-sus și trece-jos folosind un alt amplificator de sumare A4 prezentat mai jos.

Aici, pentru a păstra lucrurile simple, am presupus că cele două rezistoare de intrare, R5 și R6, precum și rezistorul de reacție, R7 toate au aceeași valoare de 10 kΩ, la fel ca pentru R3 și R4. Astfel, filtrul notch are un câștig de 1 (unitate).

Răspunsul la ieșire al filtrului notch și al filtrului trece-bandă sunt legate de frecvența centrală a răspunsului de trece-bandă care este egală cu punctul de răspuns zero al filtrului notch și în acest exemplu va fi de 1 kHz.

De asemenea, lățimea de bandă a filtrului notch este determinată de Q al circuitelor, exact la fel ca și pentru răspunsul benzii de trecere. Prin urmare, vârful descendent este egal cu frecvența centrală împărțită la lățimea de bandă de -3 dB, adică diferența de frecvență dintre punctele -3 dB de o parte și de alta a crestăturii (notch). Rețineți că factorul de calitate Q nu are nimic de-a face cu adâncimea efectivă a crestăturii.

Acest filtru notch de bază (band-stop) are doar două intrări aplicate amplificatorului său sumator, ieșire low-pass, VLP și ieșire high-pass, VHP. Cu toate acestea, există încă două semnale disponibile pentru a putea fi utilizate de la circuitul de bază al filtrul cu stare variabilă, ieșirea de band-pass, VBP și semnalul de intrare propriu-zis, VIN.

Dacă unul dintre aceste două semnale este utilizat ca intrare în amplificatorul de însumare al filtrului notch, împreună cu semnalele de low-pass și high-pass, atunci adâncimea crestăturii poate fi controlată.

În funcție de modul în care doriți să controlați ieșirea din secțiunea filtrului notch, depinde de unul dintre cele două semnale disponibile pe care le-ați folosi. Dacă a fost necesar ca crestătura de ieșire să se schimbe de la un răspuns negativ la un răspuns pozitiv la frecvența naturală neamortizatăƒo, atunci va fi utilizat semnalul de ieșire band-pass VBP.

De asemenea, dacă era necesar ca notchul de ieșire să varieze numai în adâncimea negativă descendentă, atunci semnalul de intrare VIN ar fi utilizat. Dacă unul dintre aceste două semnale suplimentare a fost conectat la amplificatorul de sumare op-amp prin intermediul unui rezistor variabil, atunci adâncimea și direcția crestăturii ar putea fi complet controlate. Luați în considerare circuitul filtrului notch modificat, de mai jos.

Adâncimea variabilă a filtrului Notch

Rezumat SVF

Circuitul SVF (Filtru cu stare variabilă) este o schemă de filtru RC activ de ordin doi care utilizează tehnici de multi-feedback pentru a produce trei ieșiri diferite de răspuns în frecvență, și anume: Low Pass, High Pass și Band Pass dintr-un același filtru. Avantajul filtrului cu stare variabilă față de alte scheme de filtre de bază este acela că cei trei parametri principali ai filtrului, Gain, Q și ƒc pot fi reglați independent.

De asemenea, am văzut aici că filtrul este ușor de reglat pentru că frecvența cut-off, ƒc poate fi setată și ajustată prin modificarea R sau C fără a afecta factorul de amortizare al filtrelor. Cu toate acestea, la frecvențe cut-off mai mari și factori de amortizare mai mari, filtrul poate deveni instabil, astfel încât acesta este cel mai bine utilizat cu Q scăzut, mai mic de 10 și la frecvențe cut-off joase.

Schema filtrului cu stare variabilă de bază utilizează trei secțiuni de op-amp pentru a produce ieșirile sale, dar am observat că, odată cu adăugarea unei a patra secțiune de op-amp care însumează secțiunile low pass și high pass, un răspuns de ieșire filtru notch (band-stop) poate fi realizat la frecvența centrală dorită.