Pe lângă faptul că simbolurile logice "0" și "1" sunt folosite pentru a reprezenta o intrare sau o ieșire digitală, le putem folosi și ca constante pentru un circuit permanent "deschis" sau "închis" sau respectiv un contact.

Au fost inventate un set de reguli sau Legi ale expresiilor algebrei Booleene pentru a ajuta la reducerea numărului de porți logice necesare pentru a efectua o operație logică specială rezultând o listă de funcții sau teoreme cunoscute în mod obișnuit ca Legile Algebrei Booleene.

Algebra Booleană este matematica pe care o folosim pentru a analiza porțile și circuitele digitale. Putem folosi aceste "Legi ale lui Boole" atât pentru a reduce, cât și pentru a simplifica o expresie booleană complexă, în încercarea de a reduce numărul de porți logice necesare. Algebra Booleană este, prin urmare, un sistem al matematicii bazat pe logică care are un set propriu de reguli sau legi care sunt folosite pentru a defini și a reduce expresiile booleene.

Variabilele utilizate în algebra Booleană au doar una din cele două valori posibile, "0" logic și "1" logic, dar o expresie poate avea un număr infinit de variabile toate etichetate individual pentru a reprezenta intrările expresiei. De exemplu, variabilele A, B, C etc, ne dau o expresie logică A + B = C, dar fiecare variabilă poate fi NUMAI 0 sau 1.

Exemple ale acestor legi individuale ale lui Boole, reguli și teoreme pentru algebra Booleană sunt prezentate în tabelul următor.

Tabele de adevăr pentru Legile lui Boole

Legile fundamentale ale algebrei booleene care se referă la legea comutativității permite o schimbare de poziție pentru adunare și multiplicare, la legea asociativității permite îndepărtarea parantezelor pentru adunare și multiplicare, precum și la legea distributivității care permite factorizarea unei expresii, sunt la fel ca în algebra obișnuită.

Fiecare dintre legile Booleene de mai sus este dată doar cu o singură sau două variabile, dar numărul de variabile definite de o singură lege nu este limitat la acest lucru, deoarece poate fi un număr infinit de variabile ca și inputuri ale expresiei. Aceste legi booleene detaliate mai sus pot fi folosite pentru a demonstra orice expresie booleană dată, precum și pentru a simplifica circuitele digitale complicate.

O scurtă descriere a diferitelor Legi ale lui Boole este dată mai jos, cu A reprezentând o intrare variabilă.

Descrierea legilor de algebră booleană

Legea anulării - Un termen AND cu un "0" este egal cu 0 sau OR cu "1" va fi 1.

A . 0 = 0 O variabilă înmulțită cu 0 (A AND 0) este întotdeauna egală cu 0.

A + 1 = 1 O variabilă adunată cu 1 (A OR 1) este întotdeauna egală cu 1.

Legea identității - Un termen SAU cu un "0" sau AND "cu un" 1 "va fi întotdeauna egal cu termenul respectiv.

A + 0 = A O variabilă adunată cu 0 (A OR 0) este întotdeauna egală cu variabila.

A . 1 = A O variabilă înmulțită cu 1 (A AND 1) este întotdeauna egală cu variabila.

Legea Idempotenței - O intrare care este AND sau OR cu ea însăși este egală cu acea intrare.

A + A = A O variabilă adunată (A OR A) cu ea însăși este întotdeauna egală cu variabila.

A . A = A O variabilă înmulțită cu ea (A AND A) însăși este întotdeauna egală cu variabila.

Legea complementarei - Termenul AND cu complementul său este egal cu "0", iar un termen OR cu complementul său este egal cu "1".

A . Ᾱ = 0 O variabilă înmulțită cu complementul ei (A AND Ᾱ) este întotdeauna egală cu 0.

A + Ᾱ = 1 O variabilă adunată cu complementul său (A OR Ᾱ) este întotdeauna egală cu 1.

Legea comutativității - Ordinea de aplicare a doi termeni separați nu este importantă.

A .B = B. A Ordinea în care două variabile sunt înmulțite nu are nicio importanță.

A + B = B + A Ordinea în care două variabile sunt adunate nu are nicio importanță.

Legea dublei negații - Un termen inversat de două ori este egal cu termenul original.

A = A Un complement dublu al unei variabile este întotdeauna egal cu variabila.

Teorema lui de Morgan - Există două reguli sau teoreme ale lui "de Morgan"

(1) Doi termeni separați NOR împreună sunt aceiași cu cei doi termeni inversați (Complement) și AND, de exemplu:

(2) Doi termeni separați NAND împreună sunt aceiași cu cei doi termeni inversați (Complement) și OR, de exemplu:

Alte legi algebrice booleene care nu au fost detaliate mai sus:

Legea Distributivității - Această lege permite multiplicarea sau factorizarea unei expresii.

A (B + C) = A.B + A.C (legea distributivității OR)

A + (B.C) = (A + B).(A + C) (legea distributivității AND)

Legea Absorbției - Această lege permite o reducere a unei expresii complicate la una mai simplă prin absorbția unor termeni asemănători.

A + (A.B) = A (Legea Absorbției OR)

A (A + B) = A (Legea Absorbției AND)

Legea asociativității - Această lege permite eliminarea parantezelor dintr-o expresie și regruparea variabilelor.

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (Legea asociativității OR)

A (B.C) = (A.B) C = A.B.C (legea asociativității AND)

Funcțiile algebrei Booleene

Folosind informațiile de mai sus, porțile simple cu 2 intrări AND, OR și NOT pot fi reprezentate de 16 funcții posibile, după cum se arată în tabelul următor.

Legile algebrei Booleene. Exemplul nr. 1

Folosind legile de mai sus, simplificați următoarea expresie: (A + B) (A + C)

Q = (A + B) (A + C)

AA + AC + AB + BC - Legea distributivității

A + AC + AB + BC - Legea idempotenței AND (AA = A)

A (1 + C) + AB + BC - Legea distributivității

A.1 + AB + BC - Legea identității OR (1 + C = 1)

A (1 + B) + BC - Legea distributivității

A.1 + BC - Legea identității OR (1 + B = 1)

Q = A + (BC) - Legea identității AND (A.1 = A)

Atunci, expresia: (A + B) (A + C) poate fi simplificată la A + (B.C) ca în Legea distributivității.