Integratorul RC este o rețea RC conectată în serie ce produce un semnal de ieșire care corespunde procesului matematic de integrare.

Pentru un circuit de integrare RC pasiv, intrarea este conectată la o rezistență în timp ce tensiunea de ieșire este preluată de pe un condensator fiind exact opus circuitului de diferențiere RC. Condensatorul se încarcă atunci când intrarea este high și se descarcă atunci când intrarea este low.

În electronică, circuitul rezistor-condensator (RC) conectat în serie are multe utilizări și aplicații de la circuitele de încărcare/descărcare de bază la circuitele de filtrare de înalt ordin. Acest circuit RC pasiv cu două componente poate arăta destul de simplu, dar în funcție de tipul și frecvența semnalului de intrare aplicat, comportamentul și răspunsul acestui circuit RC de bază pot fi foarte diferite.

O rețea RC pasivă nu este altceva decât un rezistor în serie cu un condensator, adică o rezistență fixă ​​în serie cu un condensator care are o reactanță dependentă de frecvență care scade pe măsură ce crește frecvența pe plăcile sale. Astfel, la frecvențe joase, reactanța Xc a condensatorului este ridicată, în timp ce la frecvențe înalte reactanța sa este scăzută datorită formulei standard de reactanță capacitivă Xc = 1/(2πf C), și am văzut acest efect în tutorialul nostru despre filtrele pasive Low Pass.

Deci, dacă semnalul de intrare este o undă sinusoidală, un integrator RC va acționa pur și simplu ca un simplu filtru trece-jos (LPF) cu o frecvență de tăiere sau de colț care corespunde constantei de timp RC (tau, τ) a rețelei serie și a cărui ieșire este redusă deasupra acestui punct de frecvență de tăiere. Astfel, atunci când este alimentat cu o undă pur sinusoidală, un integrator RC acționează ca un filtru trece-jos pasiv.

Așa cum am văzut anterior, constanta de timp RC reflectă relația dintre rezistență și capacitate în raport cu timpul, dat în secunde, fiind direct proporțional cu rezistența R și capacitatea C.

Astfel, rata de încărcare sau descărcare depinde de constanta de timp RC, τ = RC. Considerați circuitul de mai jos.

Integrator RC

Pentru un circuit integrator RC, semnalul de intrare este aplicat rezistenței iar ieșirea luată de pe condensator, atunci VOUT este egală cu VC. Deoarece condensatorul este un element dependent de frecvență, cantitatea de sarcină pe plăci este egală cu integrala în domeniul timp a curentului. Este nevoie de o anumită perioadă de timp pentru procesul de încărcare completă a condensatorului, deoarece condensatorul nu se poate încărca instantaneu, numai încărcare exponențială.

Prin urmare, curentul condensatorului poate fi scris ca:

Această ecuație de mai sus a lui iC = C (dVc/dt) poate fi exprimată și ca viteza instantanee de schimbare a sarcinii Q în raport cu timpul, dându-ne următoarea ecuație standard: iC = dQ/dt unde sarcina Q = C x Vc, adică tensiunea ori capacitatea.

Viteza la care condensatorul se încarcă (sau descarcă) este direct proporțională cu cantitatea de rezistență și capacitate care dau constanta de timp a circuitului. Astfel, constanta de timp a unui circuit integrator RC este intervalul de timp care este egal cu produsul lui R cu C.

Deoarece capacitatea este egală cu Q/Vc unde sarcina electrică Q este fluxul unui curent (i) în timp (t), adică produsul i x t în coulombi și din legea lui Ohm știm că tensiunea (V) este egală cu i x R, înlocuindu-le în ecuația pentru constanta de timp RC dă:

Constanta de timp RC

Atunci, putem vedea că atât i, cât și R se anulează, numai T rămâne să indicefaptul că constanta de timp a unui circuit integrator RC are dimensiune de timp în secunde, fiind dată prin tau grecesc τ. Rețineți că această constantă de timp reflectă timpul (în secunde) necesar pentru condensator să se încarce până la 63,2% din tensiunea maximă sau să se descarce până la 36,8% din tensiunea maximă.

Tensiunea condensatorului

Am spus anterior că, pentru integratorul RC, ieșirea este egală cu tensiunea de pe condensator, care este: VOUT este egal cu VC. Această tensiune este proporțională cu sarcina Q, stocată pe condensator, dată de: Q = V x C.

Rezultatul este că tensiunea de ieșire este integrala tensiunii de intrare cu valoarea de integrare dependentă de valorile lui R și C și deci de constanta de timp a rețelei.

Am văzut mai sus că curentul condensatoarelor poate fi exprimat ca rata de schimbare a sarcinii Q în raport cu timpul. Prin urmare, dintr-o regulă de bază a calculului diferențial, derivata lui Q în raport cu timpul este dQ/dt și deoarece i = dQ/dt obținem următoarea relație:

Q = ∫ i dt (sarcina Q a condensatorului la orice moment în timp)

Deoarece intrarea este conectată la rezistor, același curent i trebuie să trec prin rezistor și condensator (iR = iC) producând o scădere de tensiune VR pe rezistor astfel încât curentul (i) care circulă prin această rețea serie RC este dat de:

prin urmare:

Deoarece i = VIN/R, înlocuind și rearanjând pentru rezolvarea VOUT ca funcție de timp dă:

Deci, cu alte cuvinte, ieșirea de la un circuit integrator RC, care este tensiunea pe condensator, este egală cu integrala în timp a tensiunii de intrare VIN, ponderată cu o constantă 1/RC, unde RC reprezintă constanta de timp τ.

Atunci, presupunând că sarcina inițială a condensatorului este zero, adică VOUT = 0, iar tensiunea de intrare VIN este constantă, tensiunea de ieșire VOUT este exprimată în domeniul timp ca:

Formula integratorului RC

Integrator RC cu un singur impuls

Când se aplică un singur impuls treaptă de tensiune la intrarea unui integrator RC, condensatorul se încarcă prin rezistor ca răspuns la impuls. Dar, ieșirea nu este instantanee, deoarece tensiunea pe condensator nu se poate schimba instantaneu, ci crește exponențial, deoarece condensatorul se încarcă cu o viteză determinată de constanta de timp RC, τ = RC.

Știm acum că rata la care condensatorul se încarcă sau se descarcă este determinată de constanta de timp RC a circuitului. Dacă se aplică un impuls de tensiune treaptă ideal, adică cu frontul anterior și frontul posterior considerate instantanee, tensiunea pe condensator va crește pentru încărcare, și va scade pentru descărcare, exponențial în timp, la o rată determinată de:

Încărcarea condensatorului

Descărcarea condensatorului

Deci, dacă presupunem o tensiune de condensator de un volt (1V), putem calcula procentul încărcării sau descărcării condensatorului pentru fiecare constantă de timp R, așa cum se arată în tabelul următor.

Rețineți că la 5 constante de timp sau mai sus, condensatorul este considerat a fi 100% complet încărcat sau complet descărcat.

Să presupunem că avem un circuit integrator RC constând dintr-un rezistor de 100kΩ și un condensator de 1uF așa cum este arătat.

Circuitul Integrator RC. Exemplu

Constanta de timp τ a circuitului integratorului RC este deci de: RC = 100 kΩ x 1 uF = 100 ms.

Dacă aplicăm un impuls treaptă de tensiune la intrare cu o durată de două constante de timp (200ms), atunci din tabelul de mai sus putem vedea că condensatorul se va încărca la 86,4% din valoarea complet încărcată. Dacă acest impuls are o amplitudine de 10 volți, atunci acesta echivalează cu 8,64 volți înainte ca condensatorul să fie descărcat din nou prin rezistor la sursă, deoarece impulsul de intrare revine la zero.

Dacă presupunem că condensatorul este permis să se descarce complet într-o perioadă de 5 constante de timp, sau 500ms, înainte de sosirea următorului impuls de intrare, atunci graficul curbelor de încărcare și descărcare ar arăta cam așa:

Curbele de încărcare/descărcare ale integratorului RC

Rețineți că condensatorul se descarcă de la o valoare inițială de 8,64 volți (2 constante de timp) și nu de la intrarea de 10 volți.

Vedem că, deoarece constanta de timp RC este fixă, orice variație a lățimii impulsului de intrare va afecta ieșirea circuitului integrator RC. Dacă lățimea impulsului este crescută și este egală sau mai mare decât 5 RC, atunci forma impulsului de ieșire va fi similară cu aceea a intrării, deoarece tensiunea de ieșire ajunge la aceeași valoare cu cea de intrare.

Dar, dacă lățimea impulsului este scăzută sub 5 RC, condensatorul se va încărca numai parțial și nu va atinge tensiunea de intrare maximă, rezultând o tensiune de ieșire mai mică, deoarece condensatorul nu se poate încărca atât de mult, rezultând o tensiune de ieșire care este proporțională cu integrala tensiunii de intrare.

Dacă presupunem un impuls de intrare egal cu o constantă de timp, adică 1 RC, condensatorul se va încărca și se va descărca nu între 0 volți și 10 volți, ci între 63,2% și 38,7% din tensiunea pe condensator la momentul încărcării. Rețineți că aceste valori sunt determinate de constanta de timp RC.

Constanta de timp fixată a integratorului RC

Pentru o intrare continuă de impulsuri, la relația corectă între perioada intrării și constanta de timp RC a circuitului, va avea loc integrarea intrării, producând un fel de rampă în sus și apoi o rampă în jos la ieșire. Dar pentru ca circuitul să funcționeze corect ca integrator, valoarea constantei de timp RC trebuie să fie mare în comparație cu perioada intrării. Acesta este RC »T, de obicei de 10 ori mai mare.

Aceasta înseamnă că mărimea tensiunii de ieșire (care a fost proporțională cu 1/RC) va fi foarte mică între tensiunile sale High și Low, atenuând sever tensiunea de ieșire. Acest lucru se datorează faptului că condensatorul are mult mai puțin timp de încărcare și descărcare între impulsuri, dar tensiunea medie de ieșire DC va crește spre o jumătate de amplitudine a intrării și în exemplul nostru de impuls de mai sus, aceasta va fi de 5 volți (10/2).

Integratorul RC ca generator de unde sinusoidale

Am văzut că un circuit integrator RC poate efectua operația de integrare prin aplicarea unui impuls la intrare care are ca rezultat o ieșire triunghiulară de rampă în sus și rampă în jos, datorită caracteristicilor de încărcare și descărcare ale condensatorului. Dar ce s-ar întâmpla dacă am inversat procesul și am aplicat o formă de undă triunghiulară la intrare, am obține o ieșire impuls sau unda dreptunghiulară?

Când semnalul de intrare al unui circuit integrator RC este o formă de impuls, ieșirea este o undă triunghiulară. Dar când aplicăm o undă triunghiulară, ieșirea devine o undă sinusoidală, datorită integrării în timp a semnalului rampă.

Există mai multe moduri de a produce o formă de undă sinusoidală, dar o modalitate simplă și ieftină de a produce electronic o formă de undă sinusoidală este să utilizați o pereche de circuite pasive de integrare RC conectate împreună în serie așa cum se arată mai jos.

Integrator RC pentru undă sinus

Aici primul integrator RC convertește intrarea inițială în formă de impuls într-o formă de undă triunghiulară, rampă în sus și rampă în jos, care devine intrarea celui de-al doilea integrator RC. Acest al doilea circuit integrator RC rotunjește punctele formei de undă triunghiulare, transformând-o într-o undă sinus, deoarece se efectuează efectiv o dublă integrare pe semnalul inițial de intrare cu constanta de timp RC care afectează gradul de integrare.

Deoarece integrarea unei rampe produce o funcție sinusoidală (în esență, o formă de undă triunghiulară rotunjită), frecvența ei în Hertz va fi egală cu perioada T a impulsului original. Rețineți, că dacă inversăm acest semnal și semnalul de intrare este o undă sinusoidală, circuitul nu acționează ca un integrator, ci ca un simplu filtru trece-jos (LPF) cu undă sinusoidală, fiind o formă de undă pură, doar amplitudinea sa este afectată.

Rezumat Integrator RC

Am văzut că integratorul RC este în esență un circuit filtru low-pass din seria RC care, atunci când un impuls treaptă de tensiune este aplicat intrării sale, produce o ieșire care este proporțională cu integrala intrării sale. Aceasta produce o ecuație standard: Vo = ∫Vi dt unde Vi este semnalul furnizat către integrator și Vo este semnalul de ieșire integrat.

Integrarea funcției treaptă de intrare produce o ieșire care seamănă cu o funcție rampă triunghiulară cu o amplitudine mai mică decât cea a intrării inițiale de impuls, cu atenuarea determinată de constanta de timp. Astfel, forma undei de ieșire depinde de relația dintre constanta de timp a circuitului și frecvența (perioada) impulsului de intrare.

O constantă de timp a integratorilor RC este întotdeauna comparată cu perioada T a intrării, astfel încât o constantă de timp RC lungă va produce o formă de undă triunghiulară cu o amplitudine scăzută în comparație cu semnalul de intrare, deoarece condensatorul are mai puțin timp să se încarce sau să descarce complet. O constantă de timp scurtă permite condensatorului mai mult timp să se încarce și să se descarce producând o formă tipică mai rotunjită.

Conectarea a două circuite integratoare RC în serie are efectul unei duble integrări asupra impulsului de intrare. Rezultatul acestei duble integrări este acela că primul circuit integrator convertește impulsul treaptă de tensiune într-o formă de undă triunghiulară, iar cel de-al doilea circuit integrator convertește forma de undă triunghiulară prin rotunjirea punctelor, producând o formă de undă sinusoidală la ieșire cu o amplitudine mult redusă.