Tau, simbol τ, este litera greacă folosită în calculele electrice și electronice pentru a reprezenta constanta de timp a unui circuit ca funcție de timp. Dar ce înțelegem prin constantă de timp a circuitelor și răspuns tranzitoriu.

Circuitele electrice și electronice nu sunt întotdeauna într-o stare stabilă sau staționară, ci pot fi supuse unor schimbări bruște în trepte, sub forma unor niveluri de tensiune sau condiții de intrare în schimbare. De exemplu, deschiderea sau închiderea unui comutator de intrare sau a unui senzor.

Însă, ori de câte ori are loc o schimbare de tensiune sau de stare, circuitul poate să nu răspundă instantaneu la schimbare, ci poate dura o perioadă de timp, indiferent cât de mică, dacă în circuit sunt prezente componente reactive, cum ar fi condensatoare și inductoare.

Schimbarea stării de la o condiție stabilă la alta are loc, în general, la o rată determinată de constanta de timp a circuitului, care va fi ea însăși o valoare exponențială. Atunci, constanta de timp a unui circuit definește modul în care răspunsul tranzitoriu al curenților și tensiunilor circuitelor se modifică într-o anumită perioadă de timp.

Am văzut în aceste tutoriale că atunci când este supus unei tensiuni continue de stare staționară, un condensator va acționa ca un circuit deschis, un inductor va acționa ca un scurtcircuit și un rezistor va acționa ca un dispozitiv de limitare a curentului. Dacă tensiunea pe un condensator, precum și curentul printr-un inductor, nu se pot schimba instantaneu, atunci care va fi răspunsul lor tranzitoriu atunci când sunt supuse unei condiții de schimbare în treaptă.

Dar înainte de a începe să aplicăm o formă de analiză tranzitorie unui circuit capacitiv, să ne amintim mai întâi de caracteristicile V-I ale unui circuit rezistiv obișnuit, așa cum se arată mai jos.

Circuit rezistiv

Cu comutatorul în poziţia S2, rezistorul de 10Ω este scurtcircuitat şi, prin urmare, nu este conectat la tensiunea de alimentare de 10 volţi (V). Ca rezultat, prin rezistor trece curent zero, deci I_R = 0. Însă, atunci când comutatorul este mutat în poziția S₁ la momentul t = 0, o tensiune treaptă de 10 volți este aplicată direct pe rezistorul de 10Ω, rezultând un curent de 1 amper (I = V/R) care circulă în circuitul închis.

Deoarece rezistorul are o valoare fixă ​​neinductivă, curentul se modifică instantaneu de la 0 la 1 amper într-o fracțiune de secundă de îndată ce comutatorul este mutat în poziția S1. De asemenea, dacă comutatorul este readus în poziția S2, tensiunea de alimentare (V) este îndepărtată, astfel încât curentul circuitului va scădea imediat la zero din nou, așa cum se arată în graficul de mai sus.

Atunci, pentru un circuit rezistiv, schimbarea stării electrice de la una la alta este aproape instantanee, deoarece nu există nimic care să reziste acestei schimbări. Prin urmare, rezistoarele doar limitează fluxul de curent electric în circuit la o valoare determinată de legea lui Ohm, adică V/R și, ca atare, nu există o constantă de timp sau un răspuns tranzitoriu asociat cu acestea.

Acum să luăm în considerare răspunsul tranzitoriu al unui rezistor conectat în serie cu un condensator, care formează un circuit RC simplu. Care ar fi caracteristicile V-I ale acestei combinații atunci când este supusă unei schimbări de tensiune treaptă de intrare ca înainte.

Constanta de timp RC

Am văzut mai sus că o rezistență răspunde instantaneu de la orice modificare a tensiunii aplicate acestuia. Dar un rezistor este un dispozitiv liniar pasiv care nu stochează energie, ci disipează energia sub formă de căldură. Însă, un condensator (C) constă din două plăci conductoare (electrozi) separate de un material izolator dielectric care are capacitatea de a stoca energie electrică sub forma unei sarcini electrostatice (Q coulombi) în interiorul său.

Rezultatul este că, spre deosebire de rezistor, condensatorul nu poate reacționa instantaneu la schimbări rapide sau în trepte ale tensiunii aplicate, așa că va exista întotdeauna o perioadă scurtă de timp, imediat după ce tensiunea este aplicată mai întâi, pentru ca tensiunea și curentul circuitului pe condensator să schimbe starea. Cu alte cuvinte, va fi nevoie de o anumită perioadă de timp pentru ca condensatorul să modifice cantitatea de energie stocată în câmpul său electric, fie crescând, fie scăzând în valoare.

Timpul de răspuns al circuitului este exprimat în multipli de R x C, adică produsul „Ohmi x Farazi” dat în secunde (s). Curentul prin condensator este dat de: i_C = C(dv/dt). Unde: dv reprezintă modificarea tensiunii și dt reprezintă schimbarea în timp.

Luați în considerare circuitul RC simplu rezistor-condensator de mai jos.

Circuit Resistor-Condensator (RC)

Cu comutatorul în poziția S2 pentru un timp, combinația rezistor-condensator este scurtcircuitată și, prin urmare, nu este conectată la tensiunea de alimentare, V_S. Ca rezultat, în circuit circulă curent nul, deci I = 0 și V_C = 0.

Când comutatorul este mutat în poziţia S₁ la momentul t = 0, o tensiune treaptă (V) este aplicată circuitului RC. În acest moment de timp, condensatorul complet descărcat se comportă ca un scurtcircuit din cauza schimbării bruște a stării dv/dt în momentul exact în care comutatorul este închis în poziția S1.

Această modificare face curentul circuitului să crească la o valoare limitată doar de rezistența circuitului, la fel ca înainte. Astfel, atunci când comutatorul S1 este închis inițial la t = 0, curentul care curge în circuitul închis este aproximativ egal cu V_R/R amperi, deoarece V_R = I*R și V_C = 0.

În aceeași clipă, comutatorul este mutat în poziția S1, precum și fluxul de curent, condensatorul descărcat începe să se încarce în timp ce încearcă să stocheze sarcina electrică pe plăcile sale. Rezultatul este că tensiunea, V_C pe condensator începe să crească treptat, în timp ce curentul circuitului începe să scadă la o rată determinată de constanta de timp, tau, a combinației RC.

Astfel, putem defini creșterea tensiunii pe plăcile condensatoarelor, (V_C) începând de la t = 0 ca fiind:

Integrarea ambelor părți dă:

Astfel, creșterea naturală exponențială a tensiunii pe condensator în timp ce încearcă să stocheze sarcina pe plăcile sale este dată de:

unde:

• V_C este tensiunea pe condensator

• V este tensiunea de alimentare

• e este baza logaritmului natural

• t este durata de timp de când comutatorul s-a închis

• RC este constanta de timp tau a circuitului RC

Putem arăta rata exponențială de creștere a tensiunii pe condensator în timp în tabelul următor presupunând valori normalizate pentru tensiunea de alimentare de 1 volt și o constantă de timp RC de unu (1).

Creșterea tensiunii condensatorului în timp

În mod clar, putem vedea din tabelul de mai sus că valorile: V_C = V(1 – e^-t/τ ) cresc în timp de la t = 0 la t = 6 secunde (6T) în exemplul nostru, tensiunea pe condensator este o funcție în creștere exponențială, deoarece pe măsură ce timpul (t) crește, termenul e^-t/τ devine din ce în ce mai mic, astfel încât tensiunea pe condensator, V_C devine mai mare față de cea a tensiunii de alimentare care comandă schimbarea.
Astfel, la momentul t = 0, valoarea funcției este zero, dar pe măsură ce timpul (t) continuă să crească spre ∞, punctul în care t = RC când 1 – e^-1 produce o valoare de 0,632 sau 63,2% (0,632*100%) din valoarea sa finală la starea de echilibru.

Prin urmare, pentru o funcție în creștere exponențială, constanta de timp, Tau (τ) este definită ca timpul necesar pentru ca funcția să atingă 63,2% din valoarea sa finală în regim de echilibru la o rată care începe de la timp, t = 0. Astfel, fiecare interval de timp de tau, (τ) tensiunea pe condensator crește cu e^-1 din valoarea sa anterioară și cu cât constanta de timp tau este mai mică, cu atât este mai rapidă viteza de schimbare.

Putem arăta grafic variația tensiunii pe condensator în funcție de timp, după cum urmează:

Creștere exponențială a tensiunii în timp

Atunci putem vedea că răspunsul tranzitoriu al unui condensator la o intrare-treaptă nu este instantaneu sau liniar, ci crește exponențial la o rată determinată de constanta de timp a circuitului RC și că o constantă de timp este egală cu un factor de 1 - e ^-1 = 0,6321.

Tau, în sine, nu descrie cât timp durează pentru condensator pentru a deveni complet încărcat și, teoretic, datorită curbei sale tranzitorii care crește exponențial, un condensator nu devine niciodată încărcat complet 100%.

Însă, după o perioadă de timp egală sau mai mare decât echivalentul a 5 constante de timp, adică ≥ 5τ sau 5RC, de când a avut loc schimbarea inițială a stării, creșterea exponențială a încetinit la mai puțin de 1% din valoarea sa maximă, astfel încât pentru cele mai multe aplicații practice putem spune că a atins starea sa finală sau starea de echilibru, fără a mai avea loc nicio schimbare în timp. Adică, la 5T condensatorul este „încărcat complet”.

Exemplu Nr. 1 de Tau

Un circuit în serie RC are o rezistență de 50Ω și o capacitate de 160µF. Care este constanta sa de timp, tau a circuitului și cât timp durează pentru a se încărca complet condensatorul.

1. Constanta de timp, τ = RC. Prin urmare:

τ = RC = 50 x 160 x 10^-6 = 8 ms

2. Durata până la încărcarea completă:

5T = 5τ = 5RC = 5 x 50 x 160 x 10^-6 = 40 ms sau 0,04 s

Exemplul Nr. 2 de Tau

Un circuit constă dintr-o rezistență de 40Ω și o capacitate de 350µF, conectate împreună în serie. Dacă condensatorul este complet descărcat, care va fi timpul necesar pentru ca tensiunea pe plăcile condensatoarelor să atingă 45% din valoarea sa finală în starea de echilibru odată ce începe încărcarea.

Date: R = 40Ω, C = 350µF, t este momentul în care tensiunea condensatorului devine 45% din valoarea sa finală, adică 0,45V

Atunci, este nevoie de 8,37 milisecunde pentru ca tensiunea pe condensator să atingă 45% din starea sa staționară 5T, când constanta de timp, tau este de 14 ms și 5T este de 70 ms.

Sperăm că acum înțelegem că constanta de timp a unui circuit RC în serie este intervalul de timp care este egal cu 0,632 V (de obicei luat ca 63,2%) din valoarea sa maximă (V) la sfârșitul unei constante de timp, (1T) rezultată din produsul lui R și C. De asemenea, simbolul pentru constanta de timp este un τ (litera greacă tau) și că τ = RC, unde R este în ohmi, C este în farazi și τ este în secunde.

Dar ce zici de un condensator care este deja complet încărcat (V_C > 5T), care vor fi caracteristicile V-I ale condensatorului pe măsură ce se descarcă înapoi la zero volți și scăderea tensiunii condensatorului va urma aceeași formă de curbă exponențială?

Curba de descărcare tranzitorie RC

Descărcarea unui condensator complet încărcat este similară cu procesul de încărcare. Sursa de alimentare DC utilizată pentru a încărca condensatorul inițial este deconectată și înlocuită cu un scurtcircuit, așa cum se arată.

Presupunând condițiile inițiale că acel comutator (S) este „deschis” și condensatorul a fost încărcat complet (V_C>5T). Când comutatorul (S) este închis la momentul t = 0, condensatorul începe să se descarce prin rezistor cu timpul necesar pentru a se descărca în funcție de valoarea rezistorului. Deoarece inițial V_C = V_R = V, scăderea tensiunii este dată ca:

Ecuația de scădere exponențială a tensiunii

unde; V_(t) este tensiunea pe plăcile condensatoarelor, iar V_C este valoarea inițială a tensiunii condensatorului înainte de începerea scăderii.

Anterior, funcția exponențială era pentru creșterea tensiunii. Pentru o funcție care scade exponențial, timpul necesar pentru ca tensiunea să atingă zero volți la o rată constantă este încă dependent de constanta de timp RC. Astfel, constanta de timp este o măsură a „ratei de scădere”.

Prin urmare, pentru o funcție cu scădere exponențială, constanta de timp, tau (τ) este, de asemenea, definită ca timpul necesar pentru ca tensiunea de scădere să atingă aproximativ 36,8% din valoarea sa finală, în stare de echilibru, atunci când scăderea a început la momentul t = 0. Astfel, dacă τ este o constantă de timp, adică: τ = RC, iar circuitul RC era în starea sa de echilibru complet încărcat la t = 0, atunci:

Astfel, la momentul t = 0, valoarea funcției este la maxim, dar pe măsură ce timpul (t) se deplasează spre ∞ , punctul în care t = RC când e^-1 produce o valoare de 0,368 sau 36,8% (0,368*100%) din valoarea sa finală la starea de echilibru, care este zero volți (complet descărcat).

Din nou, putem arăta rata exponențială de scădere a tensiunii pe condensator în timp în următorul tabel cu valori normalizate pentru tensiunea de alimentare de 1 volt și o constantă de timp RC de unu (1).

Scăderea tensiunii condensatorului în timp

Un punct de observat aici. Constanta de timp, tau a unui circuit RC în serie de la valoarea sa inițială la t = 0 la τ va fi întotdeauna 63,2% indiferent dacă condensatorul se încarcă sau se descarcă. Pentru o creștere exponențială, starea inițială este 0V, (zero volți), deoarece condensatorul este complet descărcat.

Astfel, tensiunea crește exponențial până la 63,2% din V_MAX la o constantă de timp, 1T. Dar ne-am putea gândi și la tensiunea condensatorului de la 1T ca fiind la 36,8% distanță de valoarea sa finală în starea de echilibru la 5T. Acesta este încărcat complet.

Aceeași idee este valabilă și pentru o scădere exponențială. Pentru un condensator complet încărcat, starea inițială de stare staționară este V_C(max), astfel încât condensatorul se va descărca până la 36,8% din starea sa finală de stare staționară de zero volți (0V) după 5T. Dar, din nou, ne putem gândi și la tensiunea pe condensator la momentul 1T, ca fiind cu 63,2% mai scăzută față de pornirea sa inițială când condensatorul a fost încărcat complet la t = 0.

Atunci, valoarea unei constante de timp 1T, de la condiția inițială de pornire la 1T, va fi întotdeauna 0,632 V, sau 63,2% din starea sa finală de echilibru. La fel, la 1T, tensiunea condensatorului va fi întotdeauna la 0,368 V sau la 36,8% de la starea sa finală de echilibru după 5T, fie complet încărcat la V_C(max) fie complet descărcat la 0V.

Putem arăta grafic scăderea tensiunii în raport cu timpul, după cum urmează:

Scăderea exponențială a tensiunii în timp

Din nou, rata scăderii tensiunii în timp se bazează în mare măsură pe valoarea constantei de timp RC, tau.

Exemplul Nr. 3 de Tau

Un circuit în serie RC are o constantă de timp, tau de 5 ms. Dacă condensatorul este încărcat complet la 100V, calculați: 1) tensiunea pe condensator la momentul: 2ms, 8ms și 20ms de când a început descărcarea, 2) timpul scurs la care tensiunea condensatorului scade la 56V, 32V și 10V.

Tensiunea pe un condensator de descărcare este dată astfel:

V_C (t) = V_C × e^–t/RC Volți

Constanta de timp RC este dată ca 5 ms, prin urmare 1/RC = 200. V _C = 100V.

1a). Tensiunea condensatorului după 2 ms

V_C (0,002) = 100 e^–200t = 100 e^–0,4 = 100 × 0,67 = 67,0 volți

1b). Tensiunea condensatorului după 8 ms

V_C (0,008) = 100 e^–200t = 100 e^–1,6 = 100 × 0,202 = 20,2 volți

1c). Tensiunea condensatorului după 20 ms

V_C (0,02) = 100 e^–200t = 100 e^–4 = 100 × 0,018 = 1,8 volți

Tensiunea condensatorului (V_C) la durata de timp de la t = 0

2a). Timp scurs (t₁) când V_C (t) = 56 volți

56 = 100 e^-200t , deci: -200t ₁ = ln(56/100) = –0,5798

Astfel: t₁ = –0,5798 : (–200) = 2,9 ms

2b). Timp scurs (t₂) când V_C (t) = 32 volți

32 = 100 e^-200t , deci: -200t₂ = ln(32/100) = –1,1394

Astfel: t₂ = –1,1394 : (–200) = 5,7 ms

2c). Timp scurs (t₃) când V_C (t) = 10 volți

10 = 100 e^-200t , deci: -200t₃ = ln(10/100) = –2,3026

Astfel: t₃ = –2,3026 : (–200) = 11,5 ms

Rezumatul constantei de timp Tau

Am văzut aici în acest tutorial despre Constanta de timp, Tau, simbolul τ, că răspunsul tranzitoriu al unui circuit RC este timpul necesar pentru a trece de la o stare staționară la o altă stare de echilibru atunci când este supus unei condiții de intrare de schimbare în treaptă.

Când condensatorul se încarcă de la starea sa inițială de tensiune zero până la tensiunea sa finală în regim permanent (V), durata de timp este definită ca: τ = RC. Acesta este produsul dintre R și C. Aceasta produce o funcție în creștere exponențială pentru V_C cu această constantă de timp RC măsurată în secunde și cu cât constanta de timp este mai mică, cu atât este mai rapidă viteza de schimbare a tensiunii.

Am văzut, de asemenea, pentru o funcție cu creștere exponențială că valoarea după o constantă de timp, 1T este 63,2% din valoarea sa finală în starea de echilibru. Adică, pentru o funcție în creștere exponențială, este timpul necesar pentru ca tensiunea să atingă valoarea finală a regimului staționar după 5T.

Valoarea lui V(t) pentru o funcție cu creștere exponențială la momentul t = τ este dată astfel:

V(t) = V( 1 – e^–1 ) = 0,632V

De asemenea, pentru o funcție în scădere exponențială, valoarea după o constantă de timp, 1T este 36,8% din valoarea sa finală în starea de echilibru. Adică, pentru o funcție care scade exponențial, este timpul necesar pentru ca tensiunea să atingă valoarea zero.

Valoarea lui V(t) pentru o funcție cu descompunere exponențială la momentul t = τ este dată ca:

V(t) = V(e^–1 ) = 0,368V

Oricum, de la t = 0 la τ va fi întotdeauna 63,2% din durata de timp, iar de la 1T la 5T va fi întotdeauna 36,8% din durata de timp, crescând sau descrescând exponențial.