După cum am văzut anterior, algebra Booleană utilizează un set de legi și reguli pentru a defini funcționarea unui circuit logic digital cu „0” și „1” fiind utilizate pentru a reprezenta o condiție de intrare sau ieșire digitală. Algebra Booleană utilizează aceste zerouri și unu pentru a crea tabele de adevăr și expresii matematice pentru a defini operația digitală a unei operațiuni logice AND, OR și NOT (sau inversare), precum și modalități de exprimare a altor operații logice, cum ar fi funcţia XOR (Exclusive-OR).

În timp ce setul de legi și reguli al lui George Boole ne permite să analizăm și să simplificăm un circuit digital, există două legi în cadrul acestui set care sunt atribuite lui Augustus DeMorgan (un matematician englez din secolul al XIX-lea) care vede operațiunile logice NAND și NOR ca fiind funcții separate NOT AND și respectiv NOT OR.

Dar, înainte de a analiza teoria lui DeMorgan mai detaliat, să ne reamintim operațiile logice de bază în care A și B sunt variabile binare de intrare logice (sau booleene) și ale căror valori pot fi doar „0” sau „1”, producând patru posibile combinații de intrare, 00, 01, 10 și 11.

Tabel de adevăr pentru fiecare operație logică

Tabelul următor oferă o listă a funcțiilor logice comune și notația lor booleană echivalentă în care un „ .” (un punct) înseamnă o operație AND (produs), un „+” (semnul plus) înseamnă o operație OR (sumă), iar complementul sau inversul unei variabile este indicat printr-o bară deasupra variabilei.

Teoria lui DeMorgan

Teoremele lui DeMorgan sunt practic două seturi de reguli sau legi elaborate din expresiile Booleene pentru AND, OR și NOT cu ajutorul a două variabile de intrare, A și B. Aceste două reguli sau teoreme permit ca variabilele de intrare să fie negate și convertite dintr-o formă a unei funcții booleene într-o formă opusă.

Prima teoremă a lui DeMorgan afirmă că două (sau mai multe) variabile NOR´ed împreună este același lucru cu cele două variabile inversate (Complement) și AND´ed, în timp ce a doua teoremă afirmă că două (sau mai multe) variabile NAND´ed împreună este același lucru ca cei doi termeni inversați (Complement) și OR´ed. Adică înlocuiți toți operatorii OR cu operatori AND sau toți operatorii AND cu un operator OR.

Prima teoremă a lui DeMorgan

Prima teoremă a lui DeMorgan demonstrează că atunci când două (sau mai multe) variabile de intrare sunt AND'ed și sunt negate, acestea sunt echivalente cu OR a complementelor variabilelor individuale. Astfel, echivalentul funcției NAND va fi o funcție negativ-OR, dovedind că

Putem arăta această operațiune folosind tabelul următor.

Verificarea primei teoreme a lui DeMorgan folosind Tabelul de adevăr

folosind porți logice așa cum se arată.

Implementarea primei legi DeMorgan folosind porți logice

Atunci putem vedea aici că o funcție de poartă OR standard cu invertoare (porți NOT) pe fiecare dintre intrările sale este echivalentă cu o funcție de poartă NAND. Deci, o poartă NAND individuală poate fi reprezentată în acest fel, deoarece echivalența unei porți NAND este un OR-negativ.

A doua teoremă a lui DeMorgan

A doua teoremă a lui DeMorgan demonstrează că, atunci când două (sau mai multe) variabile de intrare sunt OR'ed și negate, ele sunt echivalente cu AND a complementelor variabilelor individuale. Astfel, echivalentul funcției NOR este o funcție negative-AND care dă

și din nou putem arăta această operație folosind următorul tabel de adevăr.

Verificarea celei de-a doua teoreme a lui DeMorgan folosind Tabelul de adevăr

Implementarea legii secunde DeMorgan folosind porți logice

Putem vedea că o funcție de poartă AND standard cu invertoare (porți NOT) pe fiecare dintre intrările sale produce o condiție de ieșire echivalentă cu o funcție de poartă NOR standard și o poartă NOR individuală poate fi reprezentată în acest fel deoarece echivalența unei porți NOR este un negat-AND.

Deși am folosit teoremele lui DeMorgan cu doar două variabile de intrare A și B, acestea sunt valabile în mod egal pentru a fi utilizate cu trei, patru sau mai multe expresii ale variabilelor de intrare, de exemplu:

Pentru o intrare cu 3 variabile

și așa mai departe.

Porțile echivalente ale lui DeMorgan

Am văzut aici că folosind teoremele lui DeMorgan putem înlocui toți operatorii AND (.) cu un OR (+) și invers și apoi completăm fiecare dintre termenii sau variabilele din expresie inversându-l, adică 0 la 1 și 1 la 0 înainte de a inversa întreaga funcție.

Astfel, pentru a obține echivalentul DeMorgan pentru o poartă AND, NAND, OR sau NOR, adăugăm pur și simplu invertoare (porti-NOT) la toate intrările și ieșirile și schimbăm un simbol AND într-un simbol OR sau schimbăm un simbol OR într-un simbol AND cum se prezintă în tabelul următor.

Porțile echivalente ale lui DeMorgan

Am văzut în acest tutorial despre Teorema lui DeMorgan că complementul a două (sau mai multe) variabile de intrare AND'ed este echivalent cu OR al complementelor acestor variabile și că complementul a două (sau mai multe) variabile OR'ed este echivalent cu AND al complementelor variabilelor definite de DeMorgan.