Modelul de filtru Sallen and Key este o topologie de filtru activ de ordinul doi, pe care îl putem folosi ca elemente de bază pentru implementarea circuitelor de filtrare de ordin superior, cum ar fi circuite de filtrare low-pass (LPF), high-pass (HPF) și band-pass (BPF).

Așa cum am văzut în această secțiune de filtre, filtrele electronice, pasive sau active, sunt utilizate în circuite unde o amplitudine a semnalelor este necesară numai pe o gamă limitată de frecvențe. Avantajul utilizării modelelor de filtre Sallen-Key este că sunt simplu de implementat și de înțeles.

Topologia Sallen-Key este un model de filtru activ bazat în jurul unui singur amplificator operațional neinversor și a două rezistoare, creând astfel un model de sursă de tensiune (VCVS) controlată cu tensiune, cu caracteristici ale filtrului de impedanță mare de intrare, impedanță scăzută de ieșire și o bună stabilitatea și, ca atare, permite secțiunile individuale de filtru Sallen-Key să fie cuplate în cascadă pentru a produce filtre de ordin mult mai mare.

Dar înainte de a privi la modelul și funcționarea filtrului Sallen-Key, să ne reamintim mai întâi de caracteristicile unui singur rezistor-condensator sau de o rețea RC atunci când sunt supuse unei game de frecvențe de intrare.

Divizorul de tensiune

Atunci când două (sau mai multe) rezistoare sunt conectate la o tensiune de alimentare DC, valori diferite de tensiune vor fi dezvoltate pe fiecare rezistor creând ceea ce se numește practic divizor de tensiune sau rețea divizor de potențial.

Divizor rezistiv de tensiune

Circuitul de bază prezentat este format din două rezistoare conectate în serie la o tensiune de intrare, VIN.

Legea lui Ohm ne spune că tensiunea căzută pe un rezistor este suma curenților care curge prin el înmulțită cu valoarea sa rezistivă, V = I*R, deci dacă cele două rezistoare sunt egale, atunci tensiunile căzute pe ambele rezistoare, R1 și R2 vor fi, de asemenea, egale.

Tensiunea dezvoltată sau căzută pe rezistorul R2 reprezintă tensiunea de ieșire, VOUT și este dată de raportul dintre cele două rezistoare și tensiunea de intrare. Astfel, funcția de transfer pentru această rețea simplă de divizare a tensiunii este dată de:

Funcția de transfer a divizorului de tensiune rezistiv

Ce s-ar întâmpla cu tensiunea de ieșire, VOUT dacă am schimba tensiunea de intrare cu o sursă sau un semnal AC și i-am varia gama de frecvență? Ei bine, nimic, întrucât rezistoarele în general nu sunt afectate de variațiile frecvenței (se exclud cele bobinate), astfel încât răspunsul lor în frecvență este zero, permițând ca tensiunile AC, Irms*R să fie dezvoltate sau căzute pe rezistoare la fel ca și în cazul în care ar fi tensiuni DC constante.

Divizorul de tensiune RC

Dacă schimbăm rezistorul R1 de mai sus cu un condensator, C așa cum se arată, cum ar afecta acest lucru funcția noastră de transfer anterioară? Știm din tutorialele noastre despre condensatoare că un condensator se comportă ca un circuit deschis, odată încărcat, atunci când este conectat la o sursă de tensiune continuă.

Astfel, atunci când este conectată o sursă DC în stare staționară la VIN, condensatorul va fi complet încărcat după 5 constante de timp (5T = 5RC) și după care nu trage curent de la alimentare. Prin urmare, nu există curent care să circule prin rezistorul R și nici o cădere de tensiune dezvoltată pe el, deci nu există tensiune de ieșire. Cu alte cuvinte, condensatoarele blochează tensiunile DC în stare constantă, odată încărcați.

Dacă acum schimbăm sursa de intrare cu o tensiune sinusoidală AC, caracteristicile acestui circuit RC simplu se schimbă complet, deoarece partea constantă sau DC a semnalului este blocată. Acum analizăm circuitul RC în domeniul frecvență, adică partea semnalului care depinde de timp.

Într-un circuit AC, un condensator are proprietatea reactanței capacitive, XC, dar putem analiza în continuare circuitul RC în același mod ca și în cazul circuitelor numai cu rezistor, diferența este că impedanța condensatorului depinde acum de frecvență.

Pentru circuite și semnale AC, reactanța capacitivă (XC), este opoziția la fluxul de curent alternativ printr-un condensator, măsurată în Ohmi. Reactanța capacitivă depinde de frecvență, adică la frecvențe joase (ƒ ≅ 0) condensatorul se comportă ca un circuit deschis și le blochează.

La frecvențe foarte mari (ƒ ≅ ∞) condensatorul se comportă ca un scurtcircuit și trece semnalele direct către ieșire ca VOUT = VIN. Dar, undeva între aceste două extreme de frecvență, condensatorul are o impedanță dată de XC. Deci, funcția noastră de transfer a divizorului de tensiune de sus devine:

Astfel, modificările de frecvență provoacă modificări în XC, ceea ce provoacă modificări ale mărimii tensiunii de ieșire. Considerați circuitul de mai jos.

Circuit de filtrare RC

Graficul prezintă răspunsul în frecvență al acestui simplu circuit RC de ordinul 1. La frecvențe joase, câștigul de tensiune este extrem de scăzut, deoarece semnalul de intrare este blocat de reactanța condensatorului. La frecvențe înalte, câștigul de tensiune este mare (unitate), deoarece reactanța determină condensatorul să devină efectiv un scurtcircuit la aceste frecvențe înalte, deci VOUT = VIN.

Dar, există un punct de frecvență în care reactanța condensatorului este egală cu rezistența rezistorului, adică: XC = R și acesta este numit punct de „frecvență critică” sau mai frecvent numit frecvență de tăiere (cut-off), sau frecvența de colț (corner) ƒC.

Deoarece frecvența cut-off apare atunci când XC = R ecuația standard utilizată pentru calcularea acestui punct de frecvență critică este dată de:

Frecvența de tăiere, ƒC definește locul în care circuitul, în acest exemplu, se schimbă de la atenuarea sau blocarea tuturor frecvențelor mai jos de ƒC și începe să treacă toate frecvențele peste acest punct ƒC. Astfel circuitul este denumit „filtru trece sus”.

Frecvența de tăiere este acolo unde raportul semnalelor intrare/ieșire are o magnitudine de 0,707 și când este convertit în decibeli este egal cu –3dB. Acest lucru este adesea denumit un filtru cu punctul de cădere 3 dB.

Deoarece reactanța condensatorului este legată de frecvență, adică reactanța capacitivă (XC) variază invers cu frecvența aplicată, putem modifica ecuația divizorului de tensiune de mai sus pentru a obține funcția de transfer a acestui simplu circuit de filtru RC trece sus, așa cum se arată.

Circuitul de filtrare RC

Unul dintre dezavantajele principale ale unui filtru RC este că amplitudinea de ieșire va fi întotdeauna mai mică decât intrarea, astfel încât nu poate fi niciodată mai mare decât unitatea. De asemenea, sarcina externă a ieșirii de mai multe etaje sau circuite RC va avea un impact asupra caracteristicilor filtrelor. O modalitate de a depăși această problemă este de a transforma filtrul RC pasiv într-un „Filtru RC Activ” prin adăugarea unui amplificator operațional la configurația RC de bază.

Prin adăugarea unui amplificator operațional, filtrul RC de bază poate fi proiectat pentru a oferi o cantitate necesară de câștig de tensiune la ieșirea sa, schimbând astfel filtrul de la un atenuator la un amplificator. De asemenea, datorită impedanței ridicate de intrare și a impedanței reduse de ieșire a unui amplificator operațional, se împiedică încărcarea externă a filtrului, permițându-i să fie reglat cu ușurință pe o gamă largă de frecvență, fără a modifica răspunsul în frecvență proiectat.

Considerați mai jos filtrul simplu trece-sus RC activ.

Partea filtrantă RC a circuitului răspunde la fel ca mai sus, adică trece frecvențe înalte, dar blochează frecvențe joase, cu frecvența cut-off setată de valorile R și C. Amplificatorul operațional, sau op-amp pentru scurt, este configurat ca un amplificator neinversor al cărui câștig de tensiune este stabilit de raportul dintre cele două rezistoare, R1 și R2.

Atunci câștigul de tensiune în buclă închisă, AV în banda de trecere a unui amplificator operațional neinversor este dat de:

Exemplu nr. 1 de filtru RC

Un simplu filtru trece-sus activ, de prim ordin, este nevoie de a avea o frecvență cut-off de 500 Hz și un câștig în banda de trecere de 9 dB. Calculați componentele necesare presupunând că este utilizat un amplificator operațional 741 standard.

De mai sus, am văzut că frecvența cut-off, ƒC este determinată de valorile R și C în circuitul RC selectiv cu frecvența. Dacă presupunem o valoare pentru R de 5 kΩ (sau orice valoare rezonabilă), atunci valoarea lui C este calculată ca:

Valoarea calculată a lui C este 63,65 nF, deci cea mai apropiată valoare standard utilizată este 62 nF.

Câștigul filtrului trece-sus în regiunea de trecere a benzii este de + 9 dB, ceea ce echivalează cu un câștig de tensiune AV de 2,83. Presupunem o valoare arbitrară pentru rezistorul de feedback R1 de 15 kΩ, aceasta dă o valoare pentru rezistorul R2 de:

Din nou, valoarea calculată a lui R2 este 8197 Ω. Cea mai apropiată valoare standard ar fi 8200 Ω sau 8,2 kΩ. Acest lucru ne oferă apoi circuitul final pentru exemplul nostru de filtru activ trece-sus:

Circuitul filtrului trece-sus

Am văzut că un simplu filtru trece-sus de prim ordin poate fi realizat folosind un singur rezistor și un condensator care produc o frecvență de tăiere ƒC, punctul în care amplitudinea de ieșire este –3dB în jos din amplitudinea de intrare. Adăugând un al doilea etaj de filtrare RC la primul, putem converti circuitul într-un filtru trece-sus de ordinul doi.

Filtru RC de ordinul doi

Cel mai simplu filtru RC de ordinul doi este format din două secțiuni RC în cascadă, așa cum este arătat. Dar, pentru ca această configurație de bază să funcționeze corect, impedanțele de intrare și ieșire ale celor două etaje RC nu ar trebui să afecteze operațiunile altora, adică ar trebui să nu interacționeze.

Circuitul filtrului trece-sus

Cuplarea în cascadă a unui etaj de filtrare RC cu altul (valori RC identice sau diferite), nu funcționează foarte bine, deoarece fiecare etaj succesiv se încarcă cu cel anterior și atunci când sunt adăugate mai multe etaje RC, punctul de frecvență cut-off se mută mai departe de frecvența proiectată sau necesară.

O modalitate de a depăși această problemă pentru un model de filtru pasiv este de a avea impedanța de intrare a celui de-al doilea etaj RC de cel puțin 10 ori mai mare decât impedanța de ieșire a primului etaj RC. Adică RB = 10*RA și CB = CA/10 la frecvența cut-off.

Avantajul creșterii valorilor componente cu un factor de 10 este că filtrul de ordinul doi rezultat produce un roll-off mai abrupt de 40 dB/decadă față de etajele RC în cascadă. Dar ce se întâmplă dacă ai vrut să proiectezi un filtru de ordinul al 4-lea sau al 6-lea, atunci calculul de zece ori mai mare decât valoarea componentelor anterioare poate fi consumator de timp și complicat.

O modalitate simplă de a cupla împreună etajele de filtrare RC care nu interacționează sau nu se încarcă reciproc pentru a crea filtre de ordin superior (secțiunile de filtru individuale nu trebuie să fie identice), care pot fi ușor reglate și proiectate pentru a asigura câștigul de tensiune necesar este de a folosi etajele de filtru Sallen-Key.

Filtre Sallen-Key

Sallen-Key este una dintre cele mai comune configurații de filtrare pentru proiectarea filtrelor de prim-ordin și de ordin doi, și, ca atare, este folosit ca blocurile de construcție de bază pentru crearea filtrelor de ordin mult mai mare.

Principalele avantaje ale modelului de filtru Sallen-Key sunt:

• Simplitatea și înțelegerea schemei lor de bază

• Utilizarea unui amplificator neinversor pentru a crește câștigul de tensiune

• Modelele de filtru de ordinul I și II pot fi ușor cuplate în cascadă

• Etajele trece-jos și trece-sus pot fi în cuplate în cascadă împreună

• Fiecare etaj RC poate avea un câștig de tensiune diferit

• Replicarea componentelor RC și a amplificatoarelor

• Etajele Sallen-Key de ordinul doi au un roll-off mai abrupt, de 40 dB/decadă decât RC în cascadă

Dar, există unele limitări ale modelului de bază al filtrului Sallen-Key, în condițiile în care câștigul de tensiune AV și factorul de mărire Q sunt strâns legate datorită utilizării unui amplificator operațional în schema Sallen-Key. Aproape orice valoare Q mai mare de 0,5 poate fi realizată, deoarece se utilizează o configurație neinversoare, câștigul de tensiune AV va fi întotdeauna mai mare decât 1, (unitate), dar trebuie să fie mai mic de 3, altfel va deveni instabil.

Cea mai simplă formă a modelului de filtru Sallen-Key este de a utiliza valori de condensator și rezistor egale (dar C-urile și R-urile nu trebuie să fie egale), cu amplificatorul operațional configurat ca un buffer (tampon) cu câștig unitate, așa cum este arătat. Rețineți că rezistorul RA nu mai este conectat la masă, ci oferă o cale de feedback pozitiv la amplificator.

Circuitul filtrului trece-sus Sallen-Key

Componentele pasive CA, RA, CB și RB formează circuit selectiv de frecvență de ordinul doi. Astfel, la frecvențe joase, condensatoarele CA și CB apar ca circuite deschise, încât semnalul de intrare este blocat rezultând o ieșire zero. La frecvențe mai mari, CA și CB apar la semnalul de intrare sinusoidal ca scurtcircuite, astfel încât semnalul este trimis direct la ieșire.

Dar, în jurul punctului de frecvență cut-off, impedanțele CA și CB vor avea aceeași valoare ca RA și RB, așa cum s-a menționat mai sus, astfel încât feedback-ul pozitiv produs prin CB asigură un câștig de tensiune și o creștere a amplitudinii semnalului de ieșire Q.

Deoarece avem acum două seturi de rețele RC, ecuația de mai sus pentru frecvența cut-off pentru un filtru Sallen-Key este modificată și ea:

Ecuația frecvenței cut-off Sallen-Key

Dacă cele două condensatoare serie CA și CB sunt făcute egale (CA = CB = C) și cele două rezistoare RA și RB sunt de asemenea egale (RA = RB = R), atunci ecuația de mai sus se simplifică la ecuația inițială a frecvenței cut-off de:

Deoarece amplificatorul operațional este configurat ca un buffer cu câștig unitate, adică A = 1, frecvența cut-off, ƒC și Q sunt complet independente una de alta făcând o schemă mai simplă a filtrului. Atunci factorul de mărire Q se calculează astfel:

Prin urmare, pentru configurația buffer cu câștig-unitate, câștigul de tensiune (AV) al circuitului de filtrare este egal cu 0,5, sau -6 dB (peste amortizat) la punctul de frecvență cut-off, și ne-am aștepta să vedem acest lucru, deoarece răspunsul său de filtru de ordinul doi, ca 0,7071* 0,7071 = 0,5. Adică -3dB * -3dB = -6dB.

Dar, deoarece valoarea lui Q determină caracteristicile de răspuns ale filtrului, alegerea corectă a celor două rezistoare de feedback, R1 și R2, ale amplificatoarelor operaționale ne permite selectarea câștigului A al benzii de trecere necesară pentru factorul de mărire ales Q.

Rețineți că pentru o topologie de filtru Sallen-Key, selectarea valorii lui A pentru a fi foarte apropiată de valoarea maximă de 3, va avea ca rezultat valori Q ridicate. Un Q înalt va face schema filtrului sensibilă la variațiile de toleranță în valorile rezistoarelor de feedback R1 și R2. De exemplu, setarea câștigului de tensiune la 2,9 (A = 2,9), va avea ca rezultat valoarea lui Q de 10 (1 / (3-2,9)), astfel filtrul devine extrem de sensibil în jurul ƒC.

Răspunsul filtrului Sallen-Key

Atunci putem vedea că cu cât valoarea Q este mai mică, cu atât mai stabil va fi schema filtrului Sallen-Key. În timp ce valorile ridicate ale Q pot face ca schema să fie instabilă, cu câștiguri foarte mari producând un Q negativ ce ar duce la oscilații.

Exemplul nr. 2 de filtru Sallen-Key

Proiectați un circuit de filtru trece-sus Sallen-Key, de ordinul doi, cu următoarele caracteristici: ƒC = 200Hz și Q = 3.

Pentru a simplifica puțin matematica, vom presupune că cele două condensatoare serie CA și CB sunt egale (CA = CB = C) și, de asemenea, cele două rezistoare RA și RB sunt egale (RA = RB = R).

Valoarea calculată a lui R este 7957 Ω, deci cea mai apropiată valoare standard este 8 kΩ.

Pentru Q = 3 , câștigul este calculat de:

Dacă A = 2,667 , atunci raportul R1/R2 = 1,667 așa cum se arată.

Valoarea calculată a lui R2 este 5998 Ω, deci valoarea standard cea mai apropiată folosită este 6000 Ω sau 6 kΩ. Acest lucru ne oferă apoi circuitul final pentru exemplul nostru de filtru trece-sus Sallen-Key:

Atunci, cu o frecvență cut-off sau de colț de 200 Hz, un câștig în banda de trecere de 2,667 și un câștig de tensiune maxim la frecvența cut-off de 8 (2,667 * 3) datorită lui Q = 3, putem arăta caracteristicile acestui Filtru Sallen-Key trece-sus de ordin doi în următoarea diagramă Bode.

Diagrama Bode a filtrului Sallen-Key

Rezumat Filtru Sallen-Key

Am văzut în acest tutorial că configurația Sallen-Key, cunoscută și sub denumirea de circuit sursă de tensiune, controlat în tensiune (VCVS) este topologia de filtru cea mai utilizată pe scară largă datorită, în principal, faptului că amplificatorul operațional utilizat în schema sa poate să fie configurat ca un buffer cu câștig unitate sau ca un amplificator neinversor.

Configurația de bază a filtrului Sallen-Key poate fi utilizată pentru a implementa diferite răspunsuri ale filtrelor, cum ar fi: Butterworth, Chebyshev sau Bessel cu selecția corectă a rețelei de filtrare RC. Cele mai practice valori ale lui R și C pot fi utilizate amintind că pentru un punct de frecvență cut-off specifică, valorile R și C sunt invers proporționale. Deci, dacă valoarea lui R se face mai mică, C devine mai mare și invers.

Sallen-Key este un filtru de ordin 2, care poate fi în cascadă împreună cu alte etaje RC pentru a crea filtre de ordin superior. Mai multe etaje de filtrare nu trebuie să fie aceleași, dar fiecare poate avea diferite frecvențe de tăiere sau caracteristici de câștig. De exemplu, punerea împreună a unui etaj trece-jos și a unui etaj trece-sus pentru a crea un filtru trece-bandă Sallen-Key.

Aici am analizat proiectarea unui filtru trece-sus Sallen-Key, dar aceleași reguli se aplică în egală măsură pentru un model trece-jos. Câștigul de tensiune, AV al op-amp determină răspunsul său și este setat de rezistoarele divizorului de tensiune, R1 și R2 amintind că câștigul de tensiune trebuie să fie mai mic decât 3, altfel, circuitul filtrului va deveni instabil.