Simplificarea Algebrei Booleene nu este atât de greu de înțeles dacă îți dai seama că utilizarea simbolurilor sau semnelor: „+” și „.” reprezintă operația funcțiilor logice.

Funcțiile logice testează dacă o condiție sau o stare este adevărată (TRUE) sau falsă (FALSE), dar nu ambele în același timp. Deci, în funcție de rezultatul acelui test, un circuit digital poate decide apoi să facă un lucru sau altul.

După cum am văzut în tutorialul Legile algebrei Booleene, că algebra Booleană este matematica logicii și că aplicarea diferitelor reguli de teorie a comutației poate fi făcută pentru a simplifica notația algebrei cu comutare lungă sau complexă și care poate fi aplicată și la porțile logice și circuite digitale de bază.

Dar înainte de a vedea cum Algebra Booleană ne poate ajuta în simplificarea rețelelor de comutare mai complexe, să ne amintim mai întâi de câteva simboluri, semnificații și legi de bază referitoare la cele trei funcții principale: AND, OR, și NOT.

Operația logică AND (ȘI)

Expresia logică sau Booleană dată pentru operatorul AND este cea pentru Înmulțirea logică sau Produsul Boolean unde expresia Booleană a lui A și B este echivalentă cu A*B. Operatorul AND este de obicei notat printr-un singur punct (.). Aceasta ne dă expresia booleană: A.B, sau AB simplu.

Poarta logică AND cu 2 intrări

Deci, de exemplu, o poartă AND cu intrări A, B, C ar avea ieșirea scrisă ca: A x B x C (sau A.B.C) cu produsul boolean A.B.C citind astfel: „A și B și C”.

Dar produsul boolean al lui ABC poate fi scris și ca: C.B.A sau A(BC) sau AB(C), etc. Sunt exact aceleași, deoarece urmează legea asociativă a înmulțirii lui Boole.

Atunci este clar că funcția logică AND este folosită pentru a compara două sau mai multe condiții de intrare și returnează TRUE numai dacă toate condițiile apar împreună. Operația logică AND de multiplicare reprezintă o conexiune în serie, cu ordinea în care comutatoarele sunt conectate în serie fiind lipsită de importanță deoarece se poate extinde la orice număr de comutatoare conectate în serie. Deci, expresia noastră booleană A.B.C poate fi arătată în algebra comutației ca fiind:

Reprezentare de comutare în serie (ȘI)

Amintiți-vă că definim o condiție de comutare deschisă ca un non-eveniment care produce un „0” și definim închiderea unui comutator ca un eveniment care produce un „1”. De asemenea, pentru notația Booleană, „AND-ing” a doi sau mai mulți termeni similari va avea ca rezultat un singur termen, deoarece respectă Legea Idempotent a lui Boole. De exemplu: A.A = A sau A.A.A.A = A.

Operația logică OR (SAU)

Expresia logică sau Booleană dată pentru operatorul OR este cea pentru Adunare logică sau Sumă Booleană unde expresia Booleană A sau B este echivalentă cu A+B. Operatorul OR este de obicei notat cu un semn plus, (+) dându-ne expresia booleană: A+B.

Poarta logică OR cu 2 intrări

Pentru operația logică OR, dacă am avut trei intrări A, B, C, atunci ieșirea este scrisă ca: A + B + C pentru a arăta că intrările sunt adunate între ele. Suma Booleană A+B+C se citește ca: „A sau B sau C” și poate fi scrisă și ca: C+B+A sau B+A+C sau A+C+B etc. Sunt exact la fel ca cele care urmează legea asociativă a adunării a lui Boole.

Atunci este clar că funcția logică OR este utilizată pentru a compara două sau mai multe condiții de intrare și returnează TRUE numai dacă apare oricare dintre condiții. Operația logică OR de adunare reprezintă o conexiune paralelă, cu ordinea în care comutatoarele sunt conectate în paralel fiind lipsită de importanță deoarece se poate extinde la orice număr de comutatoare conectate în paralel. Deci, expresia noastră booleană a lui A+B+C poate fi arătată în algebra comutației ca fiind:

Reprezentare de comutare în paralel (OR)

Pentru notația booleană, „OR-ing” a doi sau mai mulți termeni asemănători va avea ca rezultat un singur termen, deoarece, din nou, este Legea Idempotent a lui Boole. De exemplu: A+A = A sau A+A+A+A = A.

Operația logică NOT

Operația logică NOT este pur și simplu o funcție de inversare sau de completare a unei valori Booleene și nu este considerată ca o variabilă separată. Funcția NOT este numită așa, deoarece starea sa de ieșire este „NOT”, aceeași ca starea de intrare cu expresia sa booleană în general indicată printr-o bară sau supralinie ( ̅ ) peste simbolul său care denotă operația de inversare, (de unde și numele său ca invertor).

Aceasta înseamnă că dacă comutatorul A este deschis, Ā înseamnă că întrerupătorul este închis. Cu alte cuvinte, expresia booleană pentru o funcție NOT este ieșirea „0” dacă intrarea este „1” și ieșirea este „1” dacă intrarea este „0”.

În forma sa booleană, inversarea este citită ca A-bară care demonstrează un complement sau o formă opusă. Rețineți, de asemenea, că o „Inversare dublă” ( ̿ ) reprezintă două complemente împreună. Adică A ̿= A deoarece reprezintă complementul complementului expresiei, lăsând expresia neschimbată. Adică expresia originală (A). În circuitele de comutație, această negație poate fi reprezentată printr-un comutator normal închis, așa cum se arată.

Reprezentare NOT

Rețineți că o dublă inversiune A ̿, A.Ā și A+Ā reprezintă toate legea complementului lui Boole.

De asemenea, rețineți că în unele cărți despre algebra Booleană, inversarea sau completarea unei valori booleene este reprezentată ca: A'. Astfel, Ā și A' pot fi folosite interschimbabil pentru a reprezenta complementul unei variabile.

Simplificarea algebrei Booleene

După ce am stabilit operația de comutare a funcțiilor AND, OR, și NOT, ne putem uita la simplificarea unor expresii de bază algebrei Booleene pentru a obține o expresie finală care are numărul minim de termeni.

Mai întâi să începem cu ceva simplu, cum ar fi:

Expresia Booleană: A.(A + B)

Înmulțirea parantezelor ne dă:

Atunci putem vedea că expresia booleană a lui A.(A + B) poate fi redusă doar la „A” care urmează Legea de absorbție a lui Boole.

Exemplul nr. 2

De data aceasta vom folosi trei termeni booleeni, A, B și C și vom folosi aceleași reguli de simplificare algebrei Booleene ca înainte.

Expresie booleană: (A + B)(A + C)

Din nou, înmulțirea parantezelor ne dă:

Atunci, expresia Booleană (A+B)(A+C) poate fi redusă doar la „A+B.C” folosind diferitele legi ale algebrei Booleene.

Exemplu nr.3 de simplificare a algebrei booleene

De data aceasta vom folosi din nou aceiași trei termeni Booleeni A, B și C, dar vom introduce o funcție NOT la unul dintre termeni.

Expresie booleană: AB(B̄C + AC)

Atunci expresia booleană a lui AB(B̄C + AC) este redusă la „ABC”.

Exemplu nr. 4 de simplificare a algebrei booleene

Până acum, ar trebui să aveți o idee de bază despre cum să simplificați termenii algebrei Booleene folosind unele legi de bază ale algebrei Booleene pentru a reduce o expresie algebrică la cea mai simplă formă. Așadar, punând totul împreună în acest exemplu final de simplificare a algebrei Booleene :

Expresie booleană: (A + B̄ + C̄)(A +B̄ + C)(A + B + C̄)

Din nou, vom începe prin a înmulți primele paranteze:

Astfel, expresia booleană complexă: (A + B̄ + C̄)(A +B̄ + C)(A + B + C̄) a fost redusă la expresia mai mică: A + (B̄ C̄).

Rezumat al simplificării algebrei booleene

Am văzut aici în acest tutorial de simplificare a algebrei Booleene că scopul simplificării expresiilor algebrei Booleene este de a obține o expresie logică finală care are numărul minim de termeni. O funcție booleană este o expresie algebrică formată folosind operatorii AND, OR și NOT.

Variabilele Booleene A, B și C sunt cunoscute ca literalele funcției și, deși am folosit literele majuscule A, B și C aici în acest tutorial, literalele pot lua o valoare simbolică. De exemplu, X,Y,Z sau a,b,c. Astfel, orice simbol poate fi folosit pentru a reprezenta o variabilă logică care poate avea valoarea 1 sau 0.

Există mai multe legi, reguli și teoreme ale algebrei Booleene disponibile care ne oferă un mijloc de a reduce orice expresie lungă sau complexă sau circuit logic combinațional într-unul mult mai mic, cu cele mai comune legi prezentate în următorul tabel de simplificare a algebrei Booleene.

Tabel de simplificare a algebrei booleene

În timp ce unele dintre aceste legi și reguli pot părea de la sine înțelese, altele sunt mai puțin înțelese. Este important să le învățați și să le înțelegeți și aplicarea lor atunci când lucrați la reducerea sau simplificarea circuitelor logice combinaționale.

Atunci algebra Booleană poate fi folosită pentru a reduce orice circuit logic la un circuit echivalent mai simplu, care funcționează identic cu circuitul original și, pentru a demonstra egalitatea expresiilor Booleene originale și finale, ar putea fi create tabele de adevăr pentru fiecare comparație. Dacă tabelele de adevăr se potrivesc, atunci expresia finală redusă este corectă.