În tutorialul despre expresia Suma-de-produse (SOP), am văzut că reprezintă o expresie standard booleană (de comutare) care „însumează” două sau mai multe „produse” luând ieșirea de la două sau mai multe porți logice AND și însumându-le pentru a crea rezultatul final. Dar putem lua și ieșirile a două sau mai multe porți OR și le putem conecta ca intrări la o poartă AND pentru a produce o ieșire „Produsul sumelor” (logică OR-AND).

În Algebra Booleană, adunarea a două valori este echivalentă cu funcția logică OR, producând astfel un termen „Sumă” atunci când două sau mai multe variabile de intrare sau constante sunt „adunate” împreună. Cu alte cuvinte, în Algebra Booleană funcția OR este echivalentul adunării și astfel starea sa de ieșire reprezintă „Suma” intrărilor sale.

Expresiile produsul sumelor sunt expresii booleene formate din sume constând din una sau mai multe variabile, fie în forma sa adevărată normală, fie în formă complementară sau combinații ale ambelor, care sunt apoi înmulțite împreună. Dacă o funcție booleană de mai multe variabile este exprimată în termeni produs-de-sume, atunci fiecare termen se numește termen maxim (maxterm). Aceasta este variabila care este luată ca o logică „0” așa cum vom vedea mai târziu. Dar mai întâi să înțelegem mai mult ceea ce reprezintă un termen sumă.

Termenul Sumă (OR)

În timp ce funcția AND este denumită în mod obișnuit ca termen produs, funcția OR este denumită ca termen sumă. Funcția OR este echivalentul matematic al adunării care este notată cu un semn plus, (+). Astfel, o poartă OR cu 2-intrări are un termen de ieșire reprezentat prin expresia booleană A + B, deoarece este suma logică a lui A și B.

Această sumă logică este cunoscută în mod obișnuit ca adunare booleană, deoarece o funcție OR produce termenul însumat a două sau mai multe variabile de intrare sau constante. Astfel, ecuația booleană pentru o poartă OR cu 2 intrări este dată de: Q = A + B, adică Q este egal cu A SAU B. Pentru un termen sumă, aceste variabile de intrare pot fi „adevărate” sau „false”, „1” sau „0”, sau să aibă o formă complementară, deci A + B, sau

sunt clasificate toate ca termeni sumă.

Deci știm acum că în Algebra booleană, „sumă” înseamnă adunarea a termenilor cu variabile într-un termen sumă având o instanță în forma sa adevărată necomplementată sau în forma sa complementată, astfel încât expresia sumă rezultată nu poate fi simplificată mai departe. Acești termeni de sumă sunt cunoscuți ca maxterm-i, adică un termen maxim este o sumă completă a tuturor variabilelor și constantelor cu sau fără inversare în expresia booleană. Deci, cum putem arăta operarea acestei funcții „sumă” în Algebra Booleană?

Un termen sumă poate avea una sau două variabile independente, cum ar fi A și B, sau poate avea una sau două constante fixe, din nou 0 și 1. Putem utiliza aceste variabile și constante într-o varietate de combinații diferite producând un rezultat sumă așa cum se arată în listele următoare.

Termeni de sumă în algebra booleană

Rețineți că o „variabilă” booleană poate avea una din cele două valori, fie „1”, fie „0” și își poate modifica valoarea. De exemplu, A = 0 sau A = 1, în timp ce o „constantă” booleană care poate fi, de asemenea, sub forma unui „1” sau „0”, este o valoare fixă ​​și, prin urmare, nu se poate modifica.

Atunci putem vedea că orice sumă booleană dată poate fi simplificată la o singură constantă sau variabilă, cu o scurtă descriere a diferitelor legi booleene date mai jos, unde „A” reprezintă o intrare variabilă.

• Legea identității - Un termen adunat cu 0 este întotdeauna egal cu termenul (A + 0 = A)

• Legea anulării - Un termen adunat cu 1 este întotdeauna egal cu 1 (A + 1 = 1)

• Legea idempotenței - Un termen adunat cu el însuși este întotdeauna egal cu termenul (A + A = A)

• Legea complementării - Un termen adunat cu complementul său este întotdeauna egal cu 1 ()

• Legea comutativității - Ordinea în care doi termeni sunt adunați este aceeași (A + 1 = 1 + A)

Termenul produs (AND)

În timp ce funcția OR este denumită în mod obișnuit ca termen sumă, funcția AND este denumită ca termen produs. Funcția AND este echivalentul matematic al multiplicării care este notată printr-o cruciuliță (x) sau un semn steluță (*). Astfel, o poartă AND cu 2-intrări are un termen ieșire reprezentat prin expresia booleană A.B, deoarece este produsul logic al lui A și B.

Acest produs logic este cunoscut în mod obișnuit ca multiplicare booleană, deoarece funcția AND produce termenul multiplicat a două sau mai multe variabile de intrare sau constante. Dar deocamdată ne vom aminti că funcția AND reprezintă termenul produs.

Produsul Sumelor

Deci, am văzut că funcția OR produce suma logică a adunării booleene și că funcția AND produce produsul logic al multiplicării booleene. Dar când avem de-a face cu circuite logice combinaționale în care porțile AND, porțile OR și porțile NOT sunt conectate între ele, expresiile Produsul-Sumelor sunt utilizate pe scară largă.

Expresia Product of Sum (POS) provine din faptul că două sau mai multe sume sunt înmulțite împreună. Deci, ieșirile de la două sau mai multe porți OR sunt conectate la intrarea unei porți AND, astfel încât acestea sunt în mod efectiv înmulțite împreună pentru a crea ieșirea finală (OR AND). De exemplu, următoarea funcție booleană este o expresie tipică produs-de-sume:

și de asemenea

Dar, funcțiile booleene pot fi, de asemenea, exprimate în forme ne-standard de produse de sumă, cum ar fi cele arătate mai jos, dar pot fi convertite într-o formă POS standard utilizând legea distributivității pentru a extinde expresia în raport cu suma. Prin urmare:

Conversia unei expresii POS într-un tabel de adevăr

Putem afișa orice termen produs de sume sub forma unui tabel de adevăr, deoarece fiecare combinație de intrare care produce o ieșire logică „0” este un termen OR sau sumă așa cum se arată mai jos.

Considerați următoarea expresie de produs al sumelor:

Acum putem întocmi tabelul de adevăr pentru expresia de mai sus pentru a afișa o listă a tuturor combinațiilor posibile de intrare pentru A, B și C care vor avea ca rezultat o ieșire „0”.

Forma tabelului de adevăr sume ale produsului

Atunci, putem vedea clar din tabelul de adevăr că fiecare rând care produce un „0” pentru ieșirea sa corespunde expresiei sale de adunare booleană cu toate celelalte rânduri având o ieșire „1”. Avantajul este că tabelul de adevăr ne dă o indicație vizuală a expresiei booleene, permițându-ne să simplificăm expresia amintind că un termen sumă produce o ieșire „0” atunci când toate intrările sale sunt egale cu „0”. Deci, pentru a face un rând de termen sumă egal cu „0”, trebuie să inversăm toate intrările care sunt egale cu „1”.

Exemplu de produs de sume

Următoarea expresie algebră booleană este dată ca:

1. Utilizați un tabel de adevăr pentru a afișa toate combinațiile posibile de condiții de intrare care vor produce o ieșire „0”.

2. Desenați o diagramă de poartă logică pentru expresia POS.

1. Tabelul de adevăr

2. Diagrama porții logice

Am văzut în acest tutorial că expresia Product-of-Sum (POS) este o expresie booleană standard care ia „Produsul” a două sau mai multe „Sume”. Pentru un circuit logic digital, expresia POS ia ieșirea a două sau mai multe porți OR logice și le înmulțește împreună pentru a crea ieșirea logică OR-AND finală.