Fracțiunile binare utilizează același principiu de ponderare ca și numerele zecimale, cu excepția faptului că fiecare cifră binară utilizează sistemul de numerotare de bază-2.

Știm că numerele zecimale (sau denary) utilizează sistemul de numerotare de bază zece (baza-10) unde fiecare cifră în număr zecimal este permisă să ia una din zece posibile valori în intervalul de la 0 la 9. Deci, trecând de la dreapta la stânga de-a lungul unui număr zecimal, fiecare cifră va avea o valoare de zece ori mai mare decât cifra din dreapta sa.

Dar, dacă fiecare cifră este de zece ori mai mare decât numărul precedent în timp ce ne mișcăm de la dreapta la stânga, fiecare cifră poate fi, de asemenea, de zece ori mai mică decât numărul învecinat atunci când ne mișcăm în direcția opusă, de la stânga la dreapta.

Cu toate acestea, odată ce ajungem la zero (0) și la punct zecimal, nu trebuie să ne oprim doar, dar putem continua să ne mișcăm de la stânga la dreapta de-a lungul cifrelor producând ceea ce numim în general numerele fracționate.

Un număr fracțional tipic

Aici, în acest număr zecimal, cifra imediat în dreapta punctului zecimal (numărul 5) valorează o zecime (1/10 sau 0,1) din cifra imediat în stânga punctului zecimal (numărul 4 ) care are ca valoare de multiplicare unu (1).

Astfel, pe măsură ce trecem prin număr de la stânga la dreapta, fiecare cifră ulterioară va fi o zecime din valoarea cifrei imediat în poziția sa stângă și așa mai departe.

Atunc,i sistemul de numerotare zecimal utilizează conceptul de valori de ponderare poziționale sau relative producând o notație pozițională, unde fiecare cifră reprezintă o valoare ponderată diferită în funcție de poziția ocupată de fiecare parte a punctului zecimal.

Astfel, din punct de vedere matematic, în sistemul standard de numerotare denary, aceste valori sunt în general scrise ca: 4.10^o, 3.10¹, 2.10², 1.10³ pentru fiecare poziție din stânga punctului zecimal din exemplul nostru de mai sus. De asemenea, pentru numerele fracționare la dreapta punctului zecimal, ponderea numărului devine mai negativă, dând: 5.10^-1, 6.10^-2, 7.10^-3 etc.

Așadar putem vedea că fiecare cifră din sistemul zecimal standard indică mărimea sau ponderea acelei cifre în cadrul numărului. Atunci, valoarea oricărui număr zecimal va fi egală cu suma cifrelor înmulțite cu ponderile respective, deci pentru exemplul nostru de mai sus: N = 1234,56710 în format zecimal ponderat, aceasta va fi egal cu:

1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1234,56710

sau poate fi scris pentru a reflecta ponderarea fiecărei cifre denary:

(1 × 1000) + (2 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1) + (5 × 0,1) + (6 × 0,01) + (7 × 0,001) = 1234,56710

sau chiar în formă polinomială, cum ar fi:

(1 × 10³) + (2 × 10²) + (3 × 10¹) + (4 × 10⁰) + (5 × 10^-1) + (6 × 10^-2) + (7 × 10^-3) = 1234,56710

De asemenea, putem folosi această idee de notație pozițională unde fiecare cifră reprezintă o valoare ponderată diferită în funcție de poziția pe care o ocupă în sistemul de numerotare binar. Diferența este că sistemul numeric binar (sau pur și simplu numerele binare) este un sistem pozițional, în care diferitele poziții ponderate ale cifrelor sunt la puterea lui 2 (baza-2) în loc de 10.

Fracțiuni binare

Sistemul de numerotare binar este un sistem de numerotare de bază 2 care conține doar două cifre, un "0" sau un "1". Astfel, fiecare cifră a unui număr binar poate lua valoarea "0" sau "1" cu poziția lui 0 sau 1 indicând valoarea sau ponderea sa. Dar putem avea, de asemenea, o ponderare binară pentru valori mai mici de 1, producând ceea ce numim numere binare fracționare fără semn.

Similar cu fracțiunile zecimale, numerele binare pot fi reprezentate și ca numere fracționare fără semn prin plasarea cifrelor binare la dreapta virgulei zecimale sau, în acest caz, virgulă binară. Astfel, toate cifrele fracționare din dreapta virgulei binare au ponderi corespunzătoare, care sunt puteri negative ale lui doi, creând o fracțiune binară. Cu alte cuvinte, puterile lui 2 sunt negative.

Deci, pentru numerele binare fracționare din dreapta virgulei binare, ponderea fiecărei cifre devine mai negativă dând: 2^-1 , 2^-2, 2^-3, 2^-4 și așa mai departe, așa cum este arătat.

Fracțiuni binare

etc, etc.

Astfel, dacă luăm fracțiunea binară de 0,10112, atunci se iau în considerare ponderile poziționale pentru fiecare cifră, dând echivalentul zecimal:

Pentru acest exemplu, conversia fracționară zecimală a numărului binar 0,10112 este 0,687510.

Fracțiuni binare. Exemplul nr. 1

Acum, să presupunem că avem următorul număr binar: 1101,01112, care va fi echivalentul lui zecimal numeric?

1101,0111 = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 2o) + (0 × 2-1) + (1 × 2-2) + (1 × 2-3) + (1 × 2-4)

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 + 1/8 + 1/16

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 13,437510

Prin urmare, numărul echivalent zecimal al lui 1101,01112 este dat de: 13,437510

Așadar, putem vedea că numerele binare fracționare, adică numerele binare care au o pondere mai mică de 1 (2^o), pot fi convertite în echivalentul lor de număr zecimal prin împărțirea succesivă a factorului de ponderare binar cu valoarea lui 2 pentru fiecare scădere în puterea lui 2, amintindu-ne, de asemenea, că 2^o este egal cu 1, și nu zero.

Alte exemple de fracționare binară

0,11 = (1 × 2-1) + (1 × 2-2) = 0,5 + 0,25 = 0,7510

11,001 = (1 × 2¹) + (1 × 2^o) + (1 ×2^-3) = 2 + 1 + 0,125 = 3,12510

1011,111 = (1 × 2³) + (1 × 2¹) + (1 × 2^o) (1 × 2^-1) + (1 × 2^-2) + (1 × 2^-3) = 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 11,87510

Conversia zecimală la o fracțiune binară

Conversia unei fracțiuni zecimale la un număr binar fracționat este realizată utilizând o metodă similară celei utilizate pentru numere întregi. Cu toate acestea, această multiplicare este folosită în loc de împărțire cu numere întregi în loc de resturi utilizate cu cifra de transport reprezentând echivalentul binar al părții fracționare a numărului zecimal.

La conversia de la zecimal la binar, partea întreagă (secvența pozitivă din partea dreaptă spre stânga) și partea fracționară (secvența negativă de la stânga la dreapta) a numărului zecimal sunt calculate separat.

Pentru partea parțială a numărului, echivalentul binar se găsește prin divizarea succesivă a părții întregi a numărului zecimal în mod repetat cu 2, notând restul în ordine inversă față de cel mai puțin semnificativ (LSB ) până la cel mai semnificativ bit (MSB), până când valoarea devine "0", producând echivalentul binar.

Deci, pentru a găsi echivalentul binar al întregului zecimal: 11810

118 (împărțit cu 2) = 59 plus restul 0 (LSB)

59 (împărțit cu 2) = 29 plus restul 1 (↑)

29 (împărțit cu 2) = 14 plus restul 1 (↑)

14 (împărțit cu 2) = 7 plus restul 0 (↑)

7 (împărțit cu 2) = 3 plus restul 1 (↑)

3 (împărțit cu 2) = 1 plus restul 1 (↑)

1 (împărțit cu 2) = 0 plus restul 1 (MSB)

Atunci, echivalentul binar al lui 11810 este prin urmare: 11101102 ← (LSB)

Partea fracționată a numărului se găsește prin multiplicarea succesivă a părții fracționale date a numărului zecimal în mod repetat cu 2, notând transportul în ordine înainte, până când valoarea devine "0" producând un echivalent binar.

Deci, dacă procesul de multiplicare produce un produs mai mare de 1, carry (transportul) este un "1" și dacă procesul de multiplicare produce un produs mai mic decât "1", carry este un "0".

Rețineți, de asemenea, că dacă procesele succesive de multiplicare nu par să se îndrepte spre un zero final, numărul fracțional va avea o lungime infinită sau până când numărul de biți echivalent va fi obținut, de exemplu 8 biți, sau 16 biți etc., în funcție de gradul de precizie necesar.

Deci, pentru a găsi echivalentul fracțiunii binare a fracțiunii zecimale: 0,812510

0,8125 (înmulțiți cu 2) = 1,625 = 0,625 transport 1 (MSB)

0,625 (înmulțim cu 2) = 1,25 = 0,25 transport 1 (↓)

0,25 (înmulțim cu 2) = 0,50 = 0,5 transport 0 (↓)

0.5 (înmulțim cu 2) = 1,00 = 0,0 transport 1 (LSB)

Astfel, echivalentul binar al lui 0,812510 este, prin urmare: 0,11012 ← (LSB)

Putem verifica dublu acest răspuns utilizând procedura de mai sus pentru a converti o fracțiune binară într-un număr zecimal echivalent: 0,1101 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,812510

Fracțiunie binară. Exemplul nr. 2

Găsiți echivalentul fracțiunii binare a numărului zecimal următor: 54,6875

Mai întâi vom converti numărul întreg 54 într-un număr binar în mod normal, folosind diviziunea succesivă de mai sus.

54 (împărțiți cu 2) = 27 restul 0 (LSB)

27 (împărțiți cu 2) = 13 restul 1 (↑)

13 (împărțiți cu 2) = 6 restul 1 (↑)

6 (împărțiți cu 2) = 3 restul 0 (↑)

3 (împărțiți cu 2) = 1 rest 1 (↑)

1 (împărțiți cu 2) = 0 restul 1 (MSB)

Astfel, echivalentul binar al lui 5410 este prin urmare: 1101102

Apoi convertim fracțiunea zecimală 0,6875 într-o fracțiune binară utilizând multiplicarea succesivă.

0,6875 (înmulțim cu 2) = 1,375 = 0,375 transport 1 (MSB)

0,375 (se înmulțește cu 2) = 0,75 = 0,75 transport 0 (↓)

0,75 (înmulțim cu 2) = 1,50 = 0,5 transport 1 (↓)

0,5 (înmulțim cu 2) = 1,00 = 0,0 transport 1 (LSB)

Astfel, echivalentul binar al lui 0,687510 este prin urmare: 0,10112 ← (LSB)

Prin urmare, echivalentul binar al numărului zecimal: 54,687510 este 110110,10112

Rezumat Fracțiuni binare

Am văzut aici, în acest tutorial despre fracțiuni binare, că pentru a converti orice fracțiune zecimală în fracțiunea binară echivalentă, trebuie să înmulțim partea fracționată zecimală și doar partea fracționară zecimală cu 2 și să înregistrăm cifra care apare în partea stângă a virgulei binare. Această cifră binară, care este cifra de transport (carry), va fi întotdeauna fie "0", fie "1".

Trebuie să multiplicăm apoi fracțiunea zecimală rămasă cu 2, repetând secvența de mai sus, utilizând multiplicarea succesivă până când fracțiunea este redusă la zero sau cantitatea necesară de biți binari a fost completă pentru o fracțiune binară repetată. Numerele fracționate sunt reprezentate de puteri negative ale lui 2.

Pentru numere zecimale mixte trebuie să efectuăm două operații separate. Divizarea succesivă a părții întregi din stânga virgulei zecimale și multiplicarea succesivă a părții fracționare din dreapta virgulei zecimale.

Rețineți că partea întreagă a unui număr zecimal mixt va avea întotdeauna un echivalent număr binar exact, dar partea fracționară zecimală nu poate, deoarece am putea obține o fracțiune repetată care să conducă la un număr infinit de cifre binare, dacă vrem să reprezentăm fracțiunea zecimală exact.