În tutorialele anterioare de filtrare am analizat filtrele simple low-pass și high-pass de prim ordin, care conțin doar un singur rezistor și o singură componentă reactivă (un condensator) în cadrul schemei circuitului filtru RC.

În aplicațiile care utilizează filtre pentru a modela spectrul de frecvențe al unui semnal, cum ar fi sistemele de comunicații sau de control, forma sau lățimea roll-off-ului, numită și "banda de tranziție", pentru un filtru simplu de prim ordin poate fi prea lungă sau prea lată și deci sunt necesare filtre active, proiectate cu mai mult de un "ordin". Aceste tipuri de filtre sunt cunoscute sub denumirea de filtre "de înalt ordin" sau de "n-ordin".

Complexitatea sau tipul de filtru este definit de "ordinul" filtrelor și care depinde de numărul de componente reactive, cum ar fi condensatoarele sau inductoarele din cadrul schemei sale. De asemenea, știm că rata de roll-off și, prin urmare, lățimea benzii de tranziție depinde de numărul de ordin al filtrului și de faptul că pentru un filtru simplu de prim ordin are o rată standard de rol-off de 20 dB/decadă sau 6 dB/octavă.

Deci, pentru un filtru care are un ordin n, va avea o rată de rol-off ulterioară de 20n dB/decadă sau 6n dB/octavă. Un filtru de prim ordin are o rată de roll-off de 20 dB/decadă (6 dB/octavă), un filtru de ordinul doi are o rată de roll-off de 40 dB/decadă (12 dB/octavă), iar un filtru de ordinul patru are o rată de roll-off de 80 dB/decadă (24 dB/octavă) etc.

Filtrele de înalt ordin, cum ar fi al treilea, al patrulea și a cincilea ordin, sunt formate, de obicei, prin legarea împreună în cascadă a filtrelor unice de prim ordin și de ordinul doi.

De exemplu, două filtre trece-jos de ordinul doi pot fi legate împreună în cascadă pentru a produce un filtru trece-jos de ordinul patru și așa mai departe. Deși nu există o limită a ordinului filtrului care poate fi format, cu ordinul crește și dimensiunea și costul său, de asemenea, precizia acestuia scade.

Decade și Octave

Pe scala de frecvență, o decadă este o creștere de zece ori (multiplicare cu 10) sau o descreștere de zece ori (împărțire cu 10). De exemplu, 2 până la 20 Hz reprezintă o decadă, în timp ce 50 la 5000 Hz reprezintă două decade (50 până la 500 Hz și apoi 500 până la 5000 Hz).

O octavă este dublarea (multiplicarea cu 2) sau înjumătățirea (împărțirea cu 2) a scării de frecvență. De exemplu, 10 până la 20 Hz reprezintă o octavă, în timp ce 2 până la 16 Hz este de trei octave (de la 2 la 4, de la 4 la 8 și, în final, de la 8 la 16 Hz), dublând frecvența de fiecare dată. În orice caz, scalele logaritmice sunt utilizate pe scară largă în domeniul frecvențelor pentru a indica o valoare a frecvenței atunci când lucrați cu amplificatoare și filtre, deci este important să le înțelegeți.

Scara de frecvență logaritmică

Deoarece rezistoarele de determinare a frecvenței sunt toate egale și, la fel și condensatoarele de determinare a frecvenței, frecvența cut-off de tăiere sau colț (ƒC) fie pentru un filtru de prim, al doilea, al treilea, fie chiar și pentru cel de-al patrulea ordin, trebuie să fie egală și este găsită folosind vechea ecuație familială acum:

Ca și în cazul filtrelor de prim și de al doilea ordin, filtrele trece-sus de al treilea și al patrulea ordin sunt formate prin simpla schimbare a pozițiilor componentelor determinatoare de frecvență (rezistoare și condensatoare) în filtrul trece-jos echivalent. Filtrele de înalt ordin pot fi proiectate urmând procedurile pe care le-am văzut anterior în tutorialele Filtru Low Pass și High Pass. Cu toate acestea, câștigul total al filtrelor de înaltă ordine este fixat deoarece toate componentele care determină frecvența sunt egale.

Aproximări de filtre

Până acum, am analizat circuitele de filtru de prim ordin Low- și High-Pass, răspunsurile lor rezultante în frecvență și fază. Un filtru ideal ne-ar oferi specificații privind câștigul maxim în banda de trecere și netezirea, atenuarea minimă în banda de oprire și, de asemenea, o bandă de trecere foarte abruptă pentru a opri roll-off-ul benzii (banda de tranziție) și, prin urmare, este evident că un număr mare de răspunsuri la rețea îndeplinesc aceste cerințe.

Nu este surprinzător faptul că există un număr de "funcții de aproximare" în proiectarea de filtre analogice liniare care utilizează o abordare matematică pentru a aproxima cel mai bine funcția de transfer necesară pentru proiectarea filtrelor.

Aceste modele sunt cunoscute sub numele de Elliptical, Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer, precum și multe altele. Dintre aceste cinci funcții de aproximare "clasice" de filtre analogice lineare numai filtrul Butterworth și mai ales filtrul low pass Butterworth vor fi considerate aici drept cea mai frecvent utilizată funcție.

Filtru Butterworth Low-Pass

Răspunsul în frecvență al funcției de aproximare a filtrului Butterworth este adesea denumit răspuns "plat maximal" (fără riplu), deoarece banda de trecere este proiectată să aibă un răspuns în frecvență care este atât de plat pe cât posibil din punct de vedere matematic de la 0 Hz (DC) până la frecvența cut-off de -3 dB fără riplu. Frecvențele mai înalte, dincolo de punctul cut-off coboară la zero în banda de oprire cu 20 dB/decadă sau 6 dB/octavă. Acest lucru se datorează faptului că are un "factor de calitate", "Q" de doar 0,707.

Cu toate acestea, un dezavantaj principal al filtrului Butterworth este acela că obține această netezire a benzii de trecere în detrimentul unei benzi de tranziție largi, pe măsură ce filtrul se schimbă de la banda de trecere la banda de oprire. De asemenea, are caracteristici slabe de fază. Răspunsul ideal în frecvență, denumit filtru "brick wall - perete de cărămidă", și aproximările Butterworth standard, pentru diferite ordine ale filtrelor, sunt prezentate mai jos.

Răspuns în frecvență ideal pentru un filtru Butterworth

Rețineți că, cu cât ordinul filtrului Butterworth este mai mare, cu atât mai mare este numărul de etaje în cascadă din schema filtrului și cu atât filtrul devine mai apropiat de răspunsul ideal "perete de cărămidă".

În practică însă, răspunsul ideal în frecvență al lui Butterworth este imposibil de atins deoarece produce un riplu excesiv în banda de trecere.

În cazul în care ecuația generalizată reprezintă un filtru Butterworth de ordin "n", răspunsul în frecvență este dat de:

unde: n reprezintă ordinul filtrului, Omega ω este egală cu 2πƒ și Epsilon ε este câștigul maxim în banda de trecere, (Amax). Dacă Amax este definit la o frecvență egală cu punctul de colț cut-off de -3 dB (ƒc), ε va fi atunci egal cu unu și prin urmare ε² va fi, de asemenea, unu. Cu toate acestea, dacă doriți acum să definiți Amax la o valoare diferită de câștig de tensiune, de exemplu 1 dB sau 1.1220 (1dB = 20 log Amax), atunci noua valoare a lui ε este dată de:

unde:
H0 = Amax, câștigul maxim în banda de trecere
H1 = Câștigul minim în banda de trecere.

Transformați ecuația pentru a da:

Răspunsul în frecvență al unui filtru poate fi definit matematic prin funcția de transfer cu funcția standard de transfer de tensiune H (jω) scrisă ca:

unde:
Vout = tensiunea semnalului de ieșire.
Vin = tensiunea semnalului de intrare.
j = rădăcina pătrată din -1 (√-1)
ω = frecvența în radiani (2πƒ)

Notă: (jω) poate fi de asemenea scris ca (s) pentru a desemna domeniul S, și funcția de transfer rezultantă pentru un filtru trece-jos de ordin secundar este dată de:

Polinoamele normalizate ale filtrului Butterworth low-pass

Pentru a ajuta la proiectarea filtrelor trece-jos, Butterworth a produs tabele standard de polinoame low-pass, ordin doi, normalizate, care dau valorile coeficienților care corespund unei frecvențe cut-off de 1 radian/sec.

Proiectarea unui filtru Butterworth Low Pass

Găsiți ordinul unui filtru Butterworth trece-jos, ale cărui specificații sunt date ca: Amax = 0,5 dB la o frecvență a benzii de trecere (ωp) de 200 radiani/sec (31,8 Hz) și Amin = 20 dB la o frecvență a benzii de oprire (ωs) de 800 radiani/sec. De asemenea, proiectați un circuit filtrant Butterworth care să corespundă acestor cerințe.

În primul rând, câștigul maxim în banda de trecere Amax = 0,5 dB care este egal cu un câștig de 1,0593 (0,5 dB = 20log A) la o frecvență (ωp) de 200 radiani/s, astfel încât valoarea lui ε epsilon este dată de:

În al doilea rând, câștigul minim în banda de oprire Amin = 20 dB care este egal cu un câștig de 10 (20dB = 20log A) la o frecvență a benzii de oprire (ωs) de 800 rad/s sau 127,3 Hz.

Înlocuirea valorilor în ecuația generală pentru un răspuns în frecvență a filtrelor Butterworth ne oferă următoarele:

Deoarece n trebuie să fie întotdeauna un număr întreg, atunci următoarea valoare cea mai mare decât 2,42 este n = 3, prin urmare este necesar un "filtru de ordinul trei" și pentru a produce un filtru Butterworth de ordin trei, este necesar un etaj de filtru de ordin doi, legat în cascadă împreună cu un etaj de filtru de prim ordin.

Din tabelul de polinoame Butterworth trece-jos normalizate, coeficientul pentru un filtru de ordin trei este dat de (1+ s) (1 + s + s²) și acest lucru ne dă un câștig de 3 - A = 1 sau A = 2. Dacă A = 1+ (Rf / R1), alegerea unei valori atât pentru rezistorul de reacție Rf, cât și pentru rezistența R1 ne dă valori de 1 kΩ și 1 kΩ respectiv ( (1 kΩ/1 kΩ) + 1 = 2).

Știm că frecvența cut-off, punctul -3 dB (ωo) poate fi găsită folosind formula 1/CR, dar trebuie să găsim ωo din frecvența benzii de trecere ωp, atunci,

Deci, frecvența cut-off este dată la 284 rad/s sau 45,2Hz, (284/2π) și folosind formula familială 1/CR putem găsi valorile rezistoarelor și condensatoarelor pentru circuitul nostru de ordinul trei.

Rețineți că cea mai apropiată valoare standard la 0,352 μF ar fi 0.36 μF sau 360 nF.

Filtru Butterworth Low Pass de ordin trei

și, în final, circuitul nostru filtru Butterworth trece-jos, cu o frecvență cut-off de 284 rad/s sau 45,2 Hz, câștig maxim în banda de trecere de 0,5 dB și un câștig minim în banda de oprire de 20 dB este construit după cum urmează, cu C = 360 nF și R = 10 kΩ.