Теория множеств

Теория множеств и ее элементы, такие как пустое множество и множество всех множеств – фундаментальные понятия не только математики, но и всей философии.Пусто́е мно́жество — множество, не содержащее ни одного элемента. Есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Уже на этом этапе заметна диалектическая природа пустого множества. Форму (границу) оно имеет, а содержания нет. Пустое множество сообщает нам о наличие отсутствия. Будучи своим подмножеством, оно автоматически является элементом себя же, но этот факт отрицается по причине возникновения формальных противоречий. Последние несовместимы с классической математикой.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Объявление его конечным множеством является волевым актом, ибо природа пустоты не может быть ни конечной, ни бесконечной. Или одновременно оба качества, или ни одного из них. Все три варианта истины и равносильны для пустого множества в виду его специфичности.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

Последнее уже является признанием его диалектической природы и дуализма качеств.

Е-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член, которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

Очевидно, что при построении модели Абсолюта, учение о свойствах пустого множества является принципиальным и отправным.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обычно пустое множество обозначают ∅.

Математические свойства пустого множества явно отражают ряд соотношений Абсолюта с миром Существования:

Ни одно множество не является элементом пустого множества.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству].

Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству.

Более детальное рассмотрение сугубо мат. свойств пустого множества нам не нужно. И, тем не менее, для полноты представления добавим:

Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему. Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Пустое множество — транзитивно. Пустое множество — ординал (порядковое число). Мощность пустого множества равна нулю. Мера пустого множества равна нулю.

Универса́льное мно́жество — множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E

По сути, мы говорим о бесконечности и, как и в случае с нуль-множеством, здесь не избежать противоречий. Для NZ универсальное множество – это состояние Абсолюта, включающее в себя все его состояния, т.е. от непроявленного до проявленного. Другими словами, от нуль-состояния до ∞состояния.

Свойства универсального множества

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

§ В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

§ Любое множество является подмножеством универсального множества.

§ В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

§ Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

§ В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

§ Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

§ В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

§ Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

§ В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

§ Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

§ Дополнение универсального множества есть пустое множество.

§ Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

§ В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств»

Тему о «множестве всех множеств» мы рассмотрим ниже.

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

А поскольку в математике сосредоточены наиболее абстрактные представления о структуре мира, то представление о множествах влияет на философию эзотерики не в меньшей мере.

История

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

Вызывает огромное уважение исследователь, который посмел в те времена приступить к изучению бесконечного, что считалось чуть ли не богохульством. Фактически, он открыл путь для движения в этом направлении.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Обратите внимание, что математические объекты и логика находятся в состоянии совершенствования, т.е. собственной эволюции. К новым открытиям сложно прийти, но признание их истинности со стороны иных авторитетов тоже длительный процесс.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной и вызвала кризис математических основ. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

Совершенно справедливо, что подобное губительно для формальной логики, однако это же открывает возможность для работы с диалектической и исследования абсолютного множества.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной (конечной) математики. Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии «Начала математики» (1910—1913). В 1904—1908 гг. Эрнст Цермело предложил первую версию аксиоматической теории множеств.

Итак, математическое знание не завершено, неоднозначно, несовершенно и не всеохватывающе. Оно есть исследование реальности в ее предельно абстрактной сути.

Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело — Френкеля.

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как — «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»).

Теория комплектов — естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект — набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз).

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),

1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).

Разрешение парадоксов теории множеств.

Большинство из них разрешены или обойдены в теории множеств с самопринадлежностью, см.

Чечулин В. Л., Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения) / Монография, Пермь, ПГУ, 2010 г.-- 100 с. http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_teoriya_mnozhestv.pdf

Приведем выдержки из этой монографии:

Онтологические основания нижеследующих рассуждений весьма очевидны: имеется окружающий мир, в котором находится сознание человека, внутри сознания содержится описание окружающего мира, включающего как самого человека, так и само описание окружающего мира. То есть внутри описания мира находится некоторое самоссылоч-

ное (непредикативное) ядро описания. Эта самоссылочность в описании мира проявляется на весьма высоких уровнях абстракции, которые явны при более подробном гносеологическом анализе описания мира.

О допустимости самопринадлежности в теории множеств было известно с начала XX в. "Впервые внимание к <экстраординарным множествам> привлёк Д. Мириманов, оставаясь в рамках наивной теории множеств. Аксиоматизация теории множеств была связана в основном с попыткой избавиться от рассмотрения множеств с самопринадлежностью.

Однако при рассмотрении множеств с самопринадлежностью не возникает противоречий и открываются весьма неожиданные свойства этих объектов мысли.

Прежде чем формально рассматривать самопринадлежащие множества, следует определиться с интуитивным пониманием объекта и отношения принадлежности (отношения части и целого).

Объекты мысли (но не мыслящего и не саму мыслимую мысль) можно мыслить как единое или как многое, или как едино-многое.

При рассмотрении диалектики единого, многого и едино-многого в пла-

не взаимного содержания, взаимосвязи частей и целого созерцательно

таковы, как указано ниже:

Отношение части и целого

Единое во многом. (Отношение принадлежности)

Многое во многом. (Отношение включения, под-

множество)

Едино-многое во многом; едино-многое в едином.

(Отношение и принадлежности и включения)

При формализации этих интуитивно ясных отношений и выстраиваются

операции с самопринадлежащими множествами.

Свойства ∅

Свойства пустого множества

1. ∅ — самопринадлежаще (формально), очевидно.

2. ∅ принадлежит любому объекту из М (формально), что выра-

жено в схеме свёртывания.

Несуществования (ничто), обозначаемого существующим символом.

Содержательно: ничто только из ничто и состоит (в несуществующем только не-

существование, и нет в нём существующего).

3. ∅ — единственно.

Exp(∅) = ∅.

Свойства М - множества всех множеств

1. М — самопринадлежаще, М∈М.

Доказательство. По определению множества всех объектов, т. к. множество всех множеств тоже некоторый объект, этот объект самопринадлежащ.

2. Если А — некоторый объект из М, А∈М, то А⊆М.

3. Если А — некоторый объект из М, и М∈А, то А = М. ("Переполнимость" любого объекта из М объектом М, неограничиваемость

объекта М подобъектами, его "максимальность".)

4. М — единственно.

Доказательство. Если бы объект М' был бы тоже множеством

всех множеств, то по определению этот объект содержал бы М и наобо-

рот (по определению объекта М) содержался бы в М:

5. М тождественно множеству всех своих подмножеств,

М = Ехр(М).

Множества с самопринадлежностью еще на шаг приближают нас к пониманию строения Абсолюта.

см также

Математическая модель

Физико-мат. модель

Кибернетическая модель

Пространство

Проблемы математики

www.NeoEsoterik.org Использованы материалы из википедии