Пространство

ФОРМАЛИЗАЦИЯ [formalization] — описание теорий, осмысленных предложений и т. п. формальными средствами, прежде всего символами математики и математической логики (но бывают и такие случаи, что символами оказываются обыкновенные слова только безукоризненно четко оговоренного содержания!).Систему таких символов и правил обращения с ними называют формализмом данной науки. Он помогает производить логические заключения, подсчеты и другие операции непосредственно с символами, формулами, выступающими как бы заместителями тех понятий, которыми мы оперируем. Нередко одна и та же формула применяется для описания разных явлений. Поэтому формализованный язык обязательно требует объяснения (интерпретации).

Итак, формализация неоэзотерики является важной вехой в достижении ясности, глубины и истинности учения. Среди всех существующих форм эзотерики, только неоэзотерика имеет структуру поддающуюся формализации, что говорит о ее качественном отличие.

Логическая модель представления знаний — модель в представлении знаний.

Основная идея подхода при построении логических моделей представления знаний — вся информация, необходимая для решения прикладных задач, рассматривается как совокупность фактов и утверждений, которые представляются как формулы в некоторой логике. Знания отображаются совокупностью таких формул, а получение новых знаний сводится к реализации процедур логического вывода. В основе логических моделей представления знаний лежит понятие формальной теории, задаваемое кортежем:

 счетное множество базовых символов (алфавит);

 множество, называемое формулами;

 выделенное подмножество априори истинных формул (аксиом);

 конечное множество отношений между формулами, называемое правилами вывода.

Достоинства логических моделей представления знаний

 В качестве «фундамента» здесь используется классический аппарат математической логики, методы которой достаточно хорошо изучены и формально обоснованы.

 Существуют достаточно эффективные процедуры вывода, в том числе реализованные в языке логического программирования Пролог, использующие механизмы автоматического доказательства теорем для поиска и логически осмысленного вывода информации

 В базах знаний можно хранить лишь множество аксиом, а все остальные знания получать из них по правилам вывода, а также Данные, факты и другие сведения о людях, предметах, событиях и процессах.

В неоэзотерике разрабатывается именно логическая модель, поскольку полноценная математизация эзо-знания невозможна, а лишь в существенных аспектах.

МНОЖЕСТВО [set] — одно из основных понятий современной математики, “произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое”. (Так определял М. основатель теории множеств, известный немецкий математик Георг Кантор. Правда, уже в начале XX в. стало ясно, что определение Кантора нельзя считать достаточно строгим, так как оно приводит к различным логическим противоречиям. Широко распространено убеждение, что М. — понятие, поясняемое только на примерах. Такая странная для математики ситуация объясняется отчасти тем, что все попытки определить термин “М.” приводят, по существу, к замене его другими, столь же неопределенными понятиями.)

Примеры множеств: М. действительных чисел, М. лошадей в табуне, М. планов, М. функций, М. переменных задачи.

Все М., кроме пустого М., состоят из элементов. Напр., каждое действительное число есть один из элементов М. действительных чисел. То, что элемент a принадлежит множеству A, обозначают с помощью специального знака a ∈ A. Это читается так: “a принадлежит множеству А в качестве элемента”.

М. можно задать прямым перечислением элементов. Пусть А состоит из элементов a1, a2, a3. Это записывается так: A = {a1, a2, a3}. Если непосредственное перечисление элементов М. невозможно (напр., когда М. A состоит из бесконечного числа элементов), его определяют характеристическим высказыванием, т. е. высказыванием, истинным только для элементов данного М. В таком случае употребляется запись типа:

A = {x|P(x) = И}, которая читается так: “Множество A есть множество, состоящее из элементов x таких, чтоP(x) — истинно”. Множество М всех планов x, удовлетворяющих условию, что они лучше (больше), чем план x0, может быть задано с помощью высказывания: М {x|(x>x0) = И} или сокращенно M = {x|(x>x0}.

Коротко остановимся на определениях и свойствах действий над множествами.

Прежде всего можно рассмотреть два М. — A и B, обладающих следующим свойством: все элементы М. A принадлежат и М. B. М. A есть, таким образом, подмножество B. Это обозначается так: A ⊂ B. Предположим теперь, что даны произвольные М. A и B. Тогда из элементов этих М. можно сконструировать несколько других.

Во-первых, М. элементов, принадлежащих либо A, либо B; такая операция над М. обозначается A ∪ B и называется объединением; ясно, напр., что если A ⊂ B, то A ∪ B = B; кроме того, A ∪ B = B ∪ A (это свойство называется коммутативностью); (A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C) — это свойство ассоциативности(возможность произвольного разбиения на группы).

Во-вторых, можно рассмотреть также М. элементов, принадлежащих и A, и B одновременно; такая операция называется пересечением и обозначается ∩. Предположим, что A ⊂ B, тогда A ∩ B = A. Для того, чтобы пересечение двух М. имело смысл, даже если у них нет общих элементов, вводится понятиепустого

М., т. е. М. без элементов. Его обозначают ∅. Легко увидеть, что A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅.

Так же, как и объединение, операция ∩ — ассоциативная и коммутативная.

Объединение множеств называют иногда их суммой, а их пересечение — произведением.

В-третьих, можно выделить также подмножество элементов М. A, не принадлежащих B. Это действие называется дополнением B до A или разностью A\B. Так же, как и в случае обычной разности, это действие некоммутативно.

В евклидовом n-мерном пространстве М., содержащее все свои граничные точки, — замкнутое; М., для которого существует (n-мерный) шар, целиком его содержащий, — ограниченное; ограниченное и замкнутое М. называется компактным; о выпуклом М. см. Выпуклость, вогнутость.

Итак, множество является основным и неопределяемым понятием. Оно имеет предельный уровень абстрактности, а потому является базовым и в NZ-науке.

Пространство — множество каких-либо объектов, которые называются его точками; исторически первым и важнейшим математическим пространством служит 3-мерное евклидово пространство, представляющее приближенный абстрактный образ реального пространства.

С наивной точки зрения пространство — логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы, а также те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в пространстве фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками, равенство фигур и др.), так что о таких пространствах можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы.

Общее понятие пространства в математике сложилось в результате постепенного, всё более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства. Первые пространства, отличные от З-мерного евклидова, были введены в 1-й половине XIX в. Это были пространство Лобачевского и евклидово пространство любого числа измерений. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто в 1854 Б. Риманом; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: таковы, например, банахово простарнство, векторное пространство, гильбертово пространство, риманово пространство, топологическое пространство.

В современной математике пространство определяют как множество каких-либо объектов, которые называются его точками; ими могут быть геометрические фигуры, функции, состояния физической системы и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, которые определяются принятыми во внимание или введёнными (по определению) отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, т.е. множествами точек, определяют «геометрию» пространства. При аксиоматическом её построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.

Примерами пространств могут служить:

 метрические пространства, в которых определено расстояние между точками, например, пространство непрерывных функций на каком-либо отрезке [a,b], где точками служат функции f(x),непрерывные на [a,b], а расстояние между f1(x) и f2(x) определяется как максимум модуля их разности: | f1(x) − f2(x) | .

 пространство событий, играющее важную роль в геометрической интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением — координатами x,y,z и временем t, поэтому множество всевозможных событии оказывается 4-мерным пространством, где «точка»-событие определяется 4 координатами x,y,z,t.

 фазовые пространства, рассматриваемые в теоретической физике и механике. Фазовое пространство физической. системы — это совокупность всех её возможных состояний, которые рассматриваются при этом как точки этого пространства Понятие об указанных пространствах имеет вполне реальный смысл, поскольку совокупность возможных состояний физической системы или множество событии с их координацией в пространстве и во времени вполне реальны. Речь идёт, стало быть, о реальных формах действительности, которые, не являясь пространственными в обычном смысле, оказываются пространственно-подобными по своей математической структуре.

Вопрос о том, какое математическое пространство точнее отражает общие свойства реального пространства, решается опытом. Так, было установлено, что при описании реального пространства евклидова геометрия не всегда является достаточно точной и в современной теории реального пространства применяется риманова геометрия.

В математике слово «пространство» употребляется в большом наборе сложных терминов.

Пространство есть множество с некоторой дополнительной структурой. В зависимости от этой дополнительной структуры элементы пространства могут называться «точками», «векторами», «событиями» и т. п. Подмножество пространства называется «подпространством», если структура пространства индуцирует на этом подмножестве структуру такого же типа (точное определение зависит от типа пространства).

Примеры: Аффинное, Банахово, Вероятностное, Гильбертово, Евклидово. Нормированное, Векторное, Метрическое, Топологическое пространства.

Эвентологическое пространство (пространство событий, событийное пространство) — в эвентологии общее понятие, означающее вероятностное пространство, где имеется пространство исходов бытия, алгебра или сигма-алгебра событий и их вероятность.

В неоэзотерике понятие ″пространства″ предельно абстрагировано и рассматривается как множество с определенными на нем законами, относящимися как к его элементам, так и к структуре самого пространства.

Также Математическая модель Физико-мат. модель Кибернетическая модель Теория множеств Проблемы математики

Источник Яндекс.Словари › Лопатников, 2003 и Википедия

www.NeoEsoterik.org