Виды логики и теория меры

С тех пор как человечество познало числа, оно непрестанно искало в них некий сокровенный смысл, философский ключ к тайнам Вселенной. Древняя эзотерика включала в себя сложные искусства манипулирования числом, например, каббалистическое исчисление. Из недр подобных систем позднее возникла арифметика, как базис всего математического здания. Теория числа является важнейшим элементом в строении модели Мироздания, а потому заслуживает того, чтобы уделить ей достаточное внимание. Идея древних о том, что в названии объекта, в слове, закодирован его тайный смысл и неизвестные свойства, основана на том, что алфавит (а значит и звуки) по смыслу сопоставимы с цифрами (порядковыми номерами букв в алфавите), а те, в свою очередь, несут в себе философские тайны (арканы) Бытия. И все это в целом дано человеку свыше. Сейчас мы знаем, что рассуждения, основанные на таком подходе, являются эвристическими, т.е. дают шаблон для относительно простой формы мышления, но способной привести к истинным озарениям. Подобные эвристические алгоритмы существуют во многих культурах и на основе различных алфавитов и методик исчисления. Видимо, эта идея оказалась простой и эффективной, а потому широко распространилась.

Однако история развития показала, что тайные исчисления лишь предтеча сложного знания о числах. Математика доказала нам, что, действительно, поскольку все явления имеют количественную оценку, они могут быть описаны логико-математическими моделями. Но они отнюдь не простые, а цифровые, многомерные и гигантские по количеству цифрового наполнения матрицы, способны описать реальные объекты.

Механизм возникновения числа и его философский смысл раскрываются на стыке двух процессов познания: индуктивного и дедуктивного.

1. Процесс возникновения абстракции числа путем от частного к общему хорошо известен. Исходным событием является психологическое достижение древнего человека ставить в соответствие произвольным объектам свои пальцы. Это первый шаг по выявлению представления о количестве вообще без привязки к природе его элементов. Как правило, древние считали до десяти, потому что на этом пальцы (на руках) заканчивались, и все остальное олицетворяло понятие ″много″. Детализация этого ″много″ в бесконечный ряд чисел стало вторым шагом к числовой абстракции. Здесь произошел переход мышления на новый уровень: в соответствие предметам ставиться не предмет (пальцы), а настоящая абстракция, выраженная знаком-символом. Причем важным моментом является даже подъем мышления от геометрического представления (рисунков) к математическим символам (формулам). Надо отметить, что переходы к каждой ступени абстракции (как ныне известно, из нейрофизиологии мозга) требуют формирования в мозге специальных клеточных структур, способных обрабатывать такую абстракцию. И если человек с юности специально не тренировал эту способность, то во взрослом состоянии она может быть довольно ограничена.

И, наконец, третий шаг по преодолению предметно-конкретного мышления произошел благодаря расширению понятия от натуральных чисел к целым. Все дальнейшие шаги аналогичны и смысл их состоит в создании все более абстрактных числовых форм, а также поиску им подходящего физического содержания. Венчает все это творчество теория множеств, обобщающая число до представления о множестве.

2. Процесс возникновения абстракции числа от общего к частному. Начинаем с наивысшей численной абстракции, которой является, соответствующее реальному пространству всего Сущего, категория Количества. Она есть мера всей существующей субстанции или, что то же самое, множества объектов произвольной природы, присутствующих в неопределенном количестве. (Вопрос о разнице между квази- и конструктивистской формами существованием рассмотрен в статье Аппарат.) Уменьшить степень полной неопределенности понятия о количестве можно только раскрыв неопределенность диалектически, как единично-бесконечную меру количества. Т.е. когда между объектами нет четких границ и потому они мыслятся как единое целое, но состоящее из бесконечного (не пересчитанного) числа самостоятельно несуществующих элементов.

В свою очередь, единично-бесконечную меру можно исследовать, выделив в ней единично-конечную меру, т.е. некоторое количество, принятое в качестве единичного. Это означает, что оно имеет границу, отделяющую его от всего остального количества, т.е. данный тип объектов обладает условно самостоятельным существованием. А эта же граница без наполнения порождает нуль-меру. Иначе говоря, человек пытается изучить свойства океана (фактической бесконечности) рассматривая, взятую из него единичную меру в виде стакана воды. Вода в стакане та же, что и в океане, но поскольку свойства части количества не вполне отражают свойства целого, то нам придется экспериментировать с разным количеством мер воды. На языке логики это звучит так: адекватное отражение бесконечного в конечном можно получить, если последнее находиться в виде динамического взаимодействия бесконечного числа конечно-статических мер. Таким образом, вводим представление о движении границы меры под действием операций. Разные их типы приводят к различным видам статических мер, т.е. к различным числовым множествам. А вся совокупность числовых форм и операций над ними проявляет свойства неопределенного количества.

Натуральные, Целые, Рациональные, Действительные (вкл. иррациональные), Комплексные (алгебраические и трансцендентные), Гиперкомплексные (вкл. кватернионы), Октавы, Седенионы. И некоторые другие обобщения.

Но числовым пространством в исследовании абстрактного количества ограничиться не удается. Операция абстрагирования от конкретных числовых свойств приводит нас к мерам с динамическими границами, а именно к параметрам а,b,c и к переменным x,y,z. Операция обобщения ведет нас далее в мир матриц, порождаемых системами уравнений со многими переменными.

Позднее, понятие о количественных проявлениях расширяется. И здесь появляются объекты, отражающие в себе законы преобразований (Векторный анализ, Анализ, Теория меры, Дифференциальные уравнения, Динамические системы, Теория хаоса), законы структур (Теория множеств, Абстрактная алгебра, Теория групп, Алгебраические структуры, Алгебраическая геометрия, Теория чисел, Топология, Линейная алгебра, Универсальная алгебра, Теория категорий, Теория последовательностей), законы пространственных отношений (Комбинаторика, Теория множеств, Теория решёток, Математическая логика, Теория вычислимости, Криптография, Теория функциональных систем, Теория графов, Теория алгоритмов, Логические исчисления, Информатика).

Последний тип законов содержит в себе наивысший рубеж – это абстрагирование от конкретных количественных объектов с выходом на логические объекты, оперирующие мерами истинности и отношений. И вообще, любой раздел математики есть не что иное, как аппарат, изучающий какой-либо вид количественной меры.

Еще один и последний шаг приводит исследователя на уровень метаматематики, который преодолевает ограниченность категории Количества, и открывает категорию Качества, а с нею пространство всех других наук о Мире, включая изучение самого исследователя.

3. Если индуктивная теория числа имеет в своей основе реальный процесс познания, то дедуктивная, казалось бы, является надуманной игрой ума. Но, на самом деле, она моделирует не менее реальный процесс формирования количества, только в прямом порядке: от исходной позиции бытия (Абсолют) к его проявленным состояниям.

В связи с этим, мы можем утверждать, что в алгоритме формирования числа-количества отражены и некоторые всеобщие законы эволюции. К таковым следует отнести процесс появления/утраты границы объектов; внутриструктурные преобразования объектов, смещающих их в область конкретно-фиксированного или абстрактно-динамического существования; ветвление модификаций форм объектов под воздействием на их границу определенных операций и образование множеств однотипных объектов.

Часть 2. Металогика.

Прежде всего, зададимся вопросом: зачем эзотерику знать устройство логик? Дело в том, что они, так или иначе, присутствуют в мышлении каждого. А знание их и умение распознавать то, чем интуитивно пользуешься, позволяет сознательно относиться к своим мыслительным процессам и управлять ими. С другой стороны, чисто математическая часть логик – удел соответствующих специалистов, и простому смертному слишком глубоко погружаться туда, не стоит. Математики уже пришли к пониманию того, что существует не одна единственно верная система логики, а множество параллельных (подобно геометриям Евклида, Римана, Лобачевского).

Элементарной мерой мышления являются логические операции, известные нам еще со школы. Это операции ″и, или, отрицание, следует, равно, присвоение истинно/ложно″. Будучи объединенными в высказывания, относительно которых можно сделать заключение о мере их истинности, они составляют мышление. А правила, по которым оно происходит, определяет логику. Систем таких правил может быть довольно много, а на их основе может быть создано еще больше стилей мышления. Чтобы разобраться в этом разнообразии, следует изучить причину его появления.

Если мы поднимемся на мета уровень мышления, то увидим, что логика отражает причинно-следственные связи (объективной и субъективной) Реальности, а мера истинности выражает соотношение с фактом (актуального, потенциального, вероятного, квази) существования в ней. И далее мы можем порождать любую систему логики в зависимости от того, какие качества будем присваивать ее элементарным логическим операциям.

Итак, начнем с того, что если мы желаем мыслить конструкциями с учетом фиксированного (статического) качественного содержания понятий по ходу рассуждений, то получим пространство формальных логик, а если с учетом динамики понятий, то получим пространство диалектических логик (подробнее см. NZ-диалектика). Это глобальное разбиение мета пространства мышления на два подпространства (формальное и диалектическое) произошло в результате элементарного разделения метода логического мышления по двум признакам: статика и динамика качеств понятий по ходу рассуждения.

Почему и формальных, и диалектических логик может быть много. Потому что в каждой из них мы можем варьировать содержание элементарных операций и систему правил. Причем многие, из полученных таким образом логик, могут оказаться абсолютно или локально истинными/ложными относительно Реальности.

Мы же рассмотрим примеры возникновения уже известных и истинных (в своей области определения) форм логик, получаемых при помощи применения диалектического оператора к основам логических конструкций. Диалектический оператор – это алгоритм, модифицирующий содержание понятий путем изменения их качеств (характеристик) в диапазоне категорий качество-антикачество.

Примеры:

Простейший: вместо соединительного ″или″ будем использовать разделительное ″или=либо″, т.е. либо А, либо Б, но не оба вместе. Применили операцию разделение-соединение.

Параллельно с обычным отрицанием не-А, введем дополнительно антагонистическое отрицание Не-А, и тогда в пространстве из трех элементов А,В,Не-А обычное отрицание А означает В или Не-А, а антагонистическое только Не-А. И тогда выбор может быть А либо Не-А или В. В стандартной логике – это противоречит закону исключенного третьего. Применили операцию формальное-диалектическое отрицание. Можно ввести отрицание по направлению не↑А. Тогда все будет зависеть от заданных направлений.

Если допустить параллельное действие нескольких систем доказательств, то получим многозначную логику. Например, будем считать, что не существует абсолютно доказанного утверждения, тогда придется оценивать количество и качество различных его доказательств или опровержений, выясняя степень достоверности. Разрешим использование противоречивых высказываний, то получим паранепротиворечивую логику. Применили операцию непрерывное-дискретное к понятию достоверность (обоснованность). Разрешая косвенные доказательства, основанные на применении подобий, мы покидаем мир истинных рассуждений, а переходим к правдоподобным, т.е. эвристическим.

Аналогично, если предположить, что между истинным и ложным существуют промежуточные позиции, то получим вероятностную логику. А от нее один шаг до модальной логики, занимающуюся исследованием различных модальностей (возможности и необходимости, обязательности знания, доказуемости и др.)

В рамках терминологии теории игр истина рассматривается как процесс, а не конечный результат. А логические законы как стратегии, но не правила. Как здесь не вспомнить положение карма-йоги об отказе от плодов своей деятельности, а значимости лишь самого процесса самосовершенствования. Конечная цель - ничто, движение - все.

Само понятие истины может быть определено не только относительно тотальной одноуровневой реальности, но и многоуровневой (потенциальной, виртуальной и т.п.). Кроме того, одна логика различает истинность как реальный факт, а другая – как правильность или необходимость, т.е. то чего нет, но должно быть.

Если будем использовать не двоичную логику в пространстве многих вариантов выбора, то для сохранения стандартных законов логики, в пространстве выделяют два подмножества: истинных элементов А и ложных элементов не-А. Исходное пространство нейтрально – из него только берут элементы, а затем, проанализировав их, размещают в одно из подмножеств А или не-А. Здесь мы сохранили классическую логику за счет перехода от единичного к множественному содержанию понятия.

Принимая во внимание ситуацию как значение высказываний, получим нефрегевскую логику. Применяем операцию абсолютное-относительное или центральное-периферическое.

Предполагая нарушение законов классической логики в микромире, получим квантовую логику. К настоящему времени построены десятки логических систем, стремящихся выявить своеобразие рассуждений в квантовой механике. Эти "логики микромира" существенно отличаются друг от друга как законами, так и способами обоснования. Чаще всего в этих логических системах отказываются от закона коммутативности для конъюнкции ("и") и дизъюнкции ("или") (выражение "А и В" не считается равносильным выражению "В и А", а "А или В" - равносильным "В или A"), от закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и др. Здесь мы используем полноту операции причина-следствие.

Если учесть переходы от формы или названия понятия к его содержанию, то получим содержательную логику, так любимую в буддизме. Например: ″Татхагата говорил о просветлении, как не о просветлении. Это и называется просветлением″. Имеется в виду переход от уровня знака к содержанию (ощущению) или от субъективного представления к его объективному прообразу. Здесь не действует закон двойного отрицания, потому что каждое отрицание уводит к новому понятию или ограниченное число раз, или по циклу. Была применена операция внешнее-внутреннее и ее производные.

Можно вводить логику, в которой А после применения к нему любой операции, уже не тождественно само себе, а является собственной модификацией.

В математике разработана многоуровневая логика, где внешний (абстрактный) уровень представляет собою логику высказываний, а внутренний – алгебру событий. Причем можно выстраивать систему по-разному: либо считая первичным абстрактный уровень, либо событийный. Это результат применения все того же разделения логик и значимостей на уровни и отношения внутреннее-внешнее.

Если в мышление ввести понятие о времени, то можем говорить о создании темпоральной логики, учитывающей влияние времени. А дополнив ее учетом максимального количества каузальных связей и критерием целостности изучаемой системы, получим мышление называемое мудростью. А применили операции единое-множественное + временное-постоянное.

Впрочем, одной логики для достижения мудрости недостаточно. Надо еще тысячу раз умереть и возродиться в своем духовном мире, пока она придет.

Основой диалектической логики является представление о противоположностях, правилах их взаимодействия и методе вывода, требующий в ходе логического вывода задействование противоположностей в парах. Если учитывать только одну противоположность, то рассуждение не заканчивается, пока не будет использована вся пара. Диалектическое рассуждение сохраняет неизменными содержание используемых категорий только в рамках нормы (зона вокруг равновесия начал), а за нормой, содержание противоположностей может меняться на противоположное. Проще всего проиллюстрировать это на общеизвестной монаде Инь-Ян.

Любое отклонение от основ диалектики (принятой за основу) породит ее модификацию, что отразится на логике мышления и выводах. А, так называемые, ″Три закона диалектики″ являются лишь следствием базовой модели взаимодействия начал.

1 Закон перехода количественных изменений в качественные;

Вследствие увеличения количественных изменений происходит скачкообразное качественное изменение. Но возможны варианты толкования. Так, скачкообразность исчезает при переходе на микро уровень процессов. Количество часто переходит в качество не вообще, а по определенному признаку. Качество качества относительная оценка. Сам же переход происходит только за рамками нормы при достижении некоторой меры, достигая нестабильных позиций.

2 Закон взаимного проникновения противоположностей;

За рамками нормы противоположности превращаются друг в друга. Но м.б. не превращаются, а лишь отражаются или проникают, т.е. механизм возможен различный.

3 Закон отрицания отрицания.

Отрицание может быть революционным, уничтожающим прежнее состояние, а может быть эволюционным, т.е. трансформирующим прежнее в новое. Двойное отрицание может возвращать исходную позицию при обратимости процессов или нет.

Примеров можно привести немало. Рост количества создаваемых логик говорит не о тупике логического мышления, а о детализации и поиске полноты способов мышления в условиях суперсложной и суперразнообразной Реальности, открывающейся исследователям. В то же время, все, что проявлено – познаваемо, и суть мышления, как видим, довольно проста, если не пытаться формализовать его без остатка. Не обязательно знать все термины (названия логик), достаточно овладеть мета логикой, из которой всегда можно получить подходящую для решения проблемы. При подборе нужной логики следует применять (даже простым перебором вариантов, хотя существуют эвристические алгоритмы, ускоряющие выбор) диалектические операции к содержанию элементарных операций и правилам логического вывода, а также адекватно применять выбранную логику и стиль мышления. А на практике еще проще. Если зашли в тупик, как правило, знаменуемый каким-то логическим противоречием, то применяем диалектические операции к понятиям, которыми пользуемся, и ищем среди полученных модификаций удачное решение. А это уже личный опыт и самосовершенствование. Вообще говоря, мета-логика – это умение распознавать используемые логические меры (понятия и операции), знание их вариаций и способность сопоставлять свое мышление со спецификой решаемой проблемы. Трудно только в начале (первые сто лет), но в один прекрасный момент, вдруг осознаешь, что ничего сложного в этом нет.

Отметим, что поскольку методик выбора конкретной логики из пространства мета-логики может быть несколько, то это говорит о возможности подняться над метапространством на метауровень 2, в котором рассмотреть логику выбора методики выбора конкретной логики. Допустим и уровень 3. Но дурной бесконечности не будет. Ситуация та же, что и с сознанием, самосознанием 1 (наблюдающем за сознанием), самосознанием 2 (отслеживающем самосознание2), самосознанием 3, а далее технически невозможно. Следует понимать, что мета уровень есть не какая-то недостижимая абстракция, а обыденное состояние, которым люди пользуются ежедневно, хотя и не осознанно. Например, попадая в каждую конкретную ситуацию, мы переходим на мета уровень, подбирая подходящий стиль поведения.

Можно ли мыслить, не используя ни формальных, ни диалектических методов? Если отказаться от описания и анализа, то вполне достаточно монистического (без деления на два начала) мышления, основанного на пси-моделировании (частичного отождествления с проблемой) и дающего результат в виде ощущений. Это как наше физическое восприятие. Вкус, цвет, запах объяснять не надо, хотя и можно через физико-химическое описание. В этом случае будет работать интуитивная логика.

Но как показывает опыт и практика, для познания и развития важны и монистические, и дуалистические подходы, т.е. полное пространство инструментов постижения Реальности. Пространство логик следует визуализировать как некое жидкокристаллическое поле (или волну). При наведении фокуса зрения в какую-то конкретную точку видно и конкретную логику, но при смещении взгляда, можно наблюдать как она достаточно плавно трансформируется в свои модификации, и чем далее, тем удаленнее форма логики от исходной.

Каким же из видов логики надо пользоваться? Той логикой, которая наиболее соответствует изучаемой проблеме, т.е. объясняет ее строение и правильно предсказывает свойства. Просто интуитивно подбирайте подходящую мыслительную конструкцию (и стиль мышления в целом) и соотносите результаты ее применения с реальностью.

P.S. Меня попросили привести простые примеры применения логик разных видов. Я мог бы их взять из научных рассуждений, но все описанные логики мы применяем и в обычной жизни. И вот, недавно, будучи в гостях у одной семьи с двухлетним ребенком, я заметил прекрасный пример разнообразного в логическом отношении мышления.

1 Мама говорит своему дитя: ″хочешь писать, скажи маме″ - это истинное утверждение, но его истинность зависит от времени, т.е. темпоральная логика, потому что взрослый человек следовать этой истине не должен. Но ″все маленькие дети писают под себя″ - это абсолютно (время независимое) истинное утверждение.

2 ″Писай на горшке, а не в штаны (в штаны тоже осуществимая операция)″ - это разделительное ″или″. Но дитя успевает начать писать в штаны, сообщает об этом матери и дописывает уже на горшке – это соединительное ″или″.

3 ″Учись распознавать, когда начинаешь хотеть писать и сразу скажи мне!" – это формализация в слова интуитивно улавливаемого ощущения – интуитивная логика.

4 ″Сынок, нельзя драться!", но когда в песочнице сына толкнул другой мальчик, то рекомендация уже иная: ″Сына, а ты дай ему сдачи″ - это паранепротиворечивая логика, допускающая противоположные высказывания.

5 ″Не смей писать!" – это нефрегевская логика, смысл утверждения в которой зависит от ситуации и контекста. Мама восклицает: "Ты опять!" - мальчик отходит от открытого окна. Это контекстозависимая логика, потому что в возгласе нет указаний на окно и в другой ситуации такой возглас означал бы нечто другое.

6 Двухуровневая логика проявляется, когда мама говорит сыну: ″Если будешь писать в штаны, тебя засмеют другие детки″, а сама думает о том, что директор детского садика сказал, что пока не научиться ходить на горшок – не примем. А маме надо поскорее выходить на работу и не на кого оставить ребенка.

7 Если каждые полчаса принудительно садить ребенка на горшок, то повышается вероятность того, что штаны останутся сухими. Это, как вы уже догадались, вероятностная логика.

8 В полном пространстве вариантов, писать можно не только в штаны или на горшок, но еще в унитаз, под кустик, в памперс и т.д. Выбор в таком количестве вариантов требует знания пространственной логики, а если критериев выбора несколько, то выхода на уровень мета логики. Например, ребенок может рассуждать так: ″писать в штаны нельзя, но хочется. Сказать воспитательнице, что хочу писать, страшно. Написать под столом можно, если никто не заметит. Что же выбрать?"

9 Ребенок может принять решение вообще не писать. И тут он столкнется с понятиями потребности и необходимости модальной логики, задуматься о смысле писания, углубляясь в содержательную логику.

10 "Взрослые люди не писают в штаны" - это частичная истина или точнее истина в среднестатистической норме. Ведь энурез, испуг и алкоголь могут привести к противоположному явлению.

Итак, как видим, перечисленные виды логик не надуманы. Они жизненны. Мы все их применяем осознанно или нет. И лишь когда математики пытаются формализовать эти логики для использования их в системах доказательств или для работы искусственного интеллекта, возникают трудности и углубленный их анализ.

Более подробно о работе диалектического оператора в книге 2

© А.В. Кундин www.NeoEsoterik.org