uvf

פתרון בעיות בעזרת גרף uvf

א. הגדרות מושגים בעדשות (ההגדרות האלגבריות כפי שנלמד בתיכון):

מרחק עצם – u – מרחק העצם מהעדשה. (ברמה תיכונית יכול להיות חיובי בלבד).

מרחק דמות/תמונה – v – מרחק הדמות מהעדשה. (יכול להיות חיובי או שלילי).

מרחק מוקד – f – מרחק המוקדים מהעדשה. (במשוואות - חיובי עבור עדשה מרכזת ושלילי עבור עדשה מפזרת).

הגדלה קווית – m – היחס בין גודל הדמות לגודל העצם. (ברמה התיכונית ערך זה חיובי בלבד).

בנוסף: גודל עצם – Ho, גודל דמות – Hi.

המשוואות האלגבריות:

m = |v| / u = Hi / Ho , 1/u + 1/v = 1/f (ברמה תיכונית: נלקח הערך המוחלט של מרחק הדמות וכך m תמיד חיובי).

v > 0 - הדמות ממשית והפוכה. (בהנחה כי u > 0).

v < 0 - הדמות מדומה וישרה. (בהנחה כי u > 0).

m > 1 - דמות מוגדלת.

m = 1 - דמות בגודל העצם.

0 < m < 1 - דמות מוקטנת.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ב. גרף uvf

מדובר במערכת צירים כארטזית "רגילה", עם ציר u אופקי (כמו ציר x) וציר v אנכי (כמו ציר y), אליה נוסף ציר f (על הקו v = u). ערך נקודה על ציר f הוא כערך היטלי הנקודה על ציר u או על ציר v (ראה שרטוט של מערכת צירים זאת ברביע הראשון).

כל קו, העובר דרך "המוקד" (ערך f על ציר f) וחותך את הצירים u ו- v – הוא פתרון המקיים את המשוואות האלגבריות (הוכחה בנפרד). פתרון כזה מתאים גם לעצם מדומה (u < 0) וגם לעדשה מפזרת (כמובן שגם למראות כדוריות, שהמשוואות שלהן זהות למשוואות של עדשות כדוריות דקות). הערה: פתרון זה לא מטפל בגודל העצם או בגודל הדמות.

בדוגמה כאן:

u = 45 cm, v = 90 cm, f = 30 cm

מהשרטוט נראה כי: m = -v/u = -90/45 = -2

לכן הדמות ממשית (v>0), הפוכה (m<0) ומוגדלת פי 2 (|m| = 2).

הערה: בבעיות בהן f ידוע, ניתן להסתפק בנקודת "המוקד" במקום בציר f.

בנוסף לרכישת טכניקת השרטוט, על הלומד לדעת את המושגים והכללים הבאים:

מרחק עצם – u – מרחק העצם מהעדשה.

מרחק דמות/תמונה – v – מרחק הדמות מהעדשה. (יכול להיות חיובי או שלילי).

מרחק מוקד – f – מרחק המוקדים מהעדשה. (במשוואות - חיובי עבור עדשה מרכזת ושלילי עבור עדשה מפזרת).

הגדלה קווית – m – היחס בין גודל הדמות לגודל העצם. כאן m יכול להיות חיובי או שלילי. m = - v/u

שים לב ש- m הוא מינוס שיפוע הקו!

v > 0 - הדמות ממשית.

v < 0 - הדמות מדומה.

m > 0 - הדמות ישרה.

m < 0 - הדמות הפוכה.

|m| > 1 - דמות מוגדלת.

|m| = 1 - דמות בגודל העצם.

|m| < 1 - דמות מוקטנת

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

בעזרת שימוש בגרף ניתן לפתור שאלות כמותיות (מספריות) ושאלות לוגיות, כפי שמוצגים במבחר השאלות כאן:

ג. שאלות כמותיות אפשריות בגרף uvf

1. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 30 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u = 45 cm מהעדשה. חשב את מרחק הדמות מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

2. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 30 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u משמאל לעדשה. מתקבלת דמות במרחק v = 60 cm מימין לעדשה. חשב את מרחק העצם מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

3. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u = 30 cm משמאל לעדשה. מתקבלת דמות במרחק v = 60 cm מימין לעדשה. חשב את מרחק המוקד של העדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

4. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 30 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u = 20 cm מהעדשה. חשב את מרחק הדמות מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

5. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 60 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u משמאל לעדשה. מתקבלת דמות במרחק v = 60 cm משמאל לעדשה. חשב את מרחק העצם מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

6. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u = 10 cm משמאל לעדשה. מתקבלת דמות במרחק v = 30 cm משמאל לעדשה. חשב את מרחק המוקד של העדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

7. נתונה עדשה מפזרת, בעלת מרחק מוקד f = -30 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר, במרחק u = 60 cm מהעדשה. חשב את מרחק הדמות מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ממשית או מדומה, ישרה או הפוכה?

8. הוכח שעבור עדשה מרכזת, כאשר מרחק העצם u גדול ממרחק המוקד f – הדמות המתקבלת היא ממשית והפוכה.

9. הוכח שעבור עדשה מרכזת, כאשר מרחק העצם u קטן ממרחק המוקד f – הדמות המתקבלת היא מדומה וישרה.

10. הוכח שעבור עדשה מפזרת – הדמות המתקבלת היא תמיד מדומה וישרה.

11. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 18 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר. מתקבלת דמות ממשית מוגדלת פי 2.חשב את מרחק העצם מהעדשה, את מרחק הדמות מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ישרה או הפוכה?

12. נתונה עדשה מרכזת, בעלת מרחק מוקד f = 18 cm. מציבים עצם על ציר העדשה ובניצב לציר. מתקבלת דמות מדומה מוגדלת פי 3.חשב את מרחק העצם מהעדשה, את מרחק הדמות מהעדשה ואת ההגדלה הקווית שהתקבלה. האם הדמות ישרה או הפוכה?

13. הציבו עצם במרחק 100 cm מעדשה. התקבלה דמות ממשית מוגדלת פי 2. מהו מרחק המוקד, מהו מרחק הדמות ומהי ההגדלה הקווית שהתקבלה?

14. הציבו עצם במרחק 20 cm מעדשה. התקבלה דמות מדומה מוגדלת פי 3. מהו מרחק המוקד, מהו מרחק הדמות ומהי ההגדלה הקווית שהתקבלה?

תוצאות:

1. נתון: f = 30 cm , u = 45 cm.

על מערכת צירים uvf (רביע ראשון) נסמן את הנקודות u = 45 cm ו- f = 30 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

v = 90 cm (תמונה ממשית (כי v חיובי) במרחק 90 cm מהעדשה).

שיפוע הקו uvf הוא m = -90/45 = -2. כלומר: ההגדלה היא 2 (ערך מוחלט של m) והדמות היא הפוכה (כי m שלילי).

הדמות ממשית, הפוכה ומוגדלת ונמצאת במרחק 90 cm מצדה האחר של העדשה.

2. נתון: f = 30 cm , v = 60 cm.

על מערכת צירים uvf (רביע ראשון) נסמן את הנקודות v = 60 cm ו- f = 30 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

u = 60 cm.

שיפוע הקו uvf הוא m = -60/60 = -1. כלומר: ההגדלה היא 1 (ערך מוחלט של m) – גודל הדמות כגודל העצם, והדמות היא הפוכה (כי m שלילי).

הדמות ממשית, הפוכה ובאותו גודל כמו העצם ונמצאת במרחק 60 cm מצדה האחר של העדשה.

3. נתון: u = 30 cm , v = 60 cm.

על מערכת צירים uvf (רביע ראשון) נסמן את הנקודות v = 60 cm ו- u = 30 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

f = 20 cm.

שיפוע הקו uvf הוא m = 60/30 = 2. כלומר: ההגדלה היא 2 – גודל הדמות כפול מגודל העצם, והדמות היא הפוכה (כי m שלילי).

הדמות מממשית, הפוכה ומוגדלת ונמצאת במרחק 60 cm מצדה האחר של העדשה.

4. נתון: f = 30 cm , u = 20 cm.

על מערכת צירים uvf נסמן את הנקודות u = 20 cm ו- f = 30 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

v = -60 cm (תמונה מדומה (כי v שלילי) במרחק 60 cm מהעדשה, מצד העצם).

שיפוע הקו uvf הוא m = 90/20 = 3. כלומר: ההגדלה היא 3 והדמות היא ישרה (כי m חיובי). ניתן לחשב את m גם כך: m = 60/20 = 3.

הדמות מדומה, ישרה ומוגדלת ונמצאת במרחק 60 cm מצד העצם.

5. נתון: f = 60 cm , v = -60 cm.

על מערכת צירים uvf נסמן את הנקודות v = -60 cm ו- f = 60 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

u = 30 cm.

שיפוע הקו uvf הוא m = 60/30 = 2. כלומר: ההגדלה היא 2 והדמות היא ישרה (כי m חיובי). ניתן לחשב את m גם כך: m = 120/60 = 2.

הדמות מדומה, ישרה ומוגדלת ונמצאת במרחק 60 cm מצד העצם.

6. נתון: u = 10 cm , v = -30 cm.

על מערכת צירים uvf נסמן את הנקודות v = 360 cm ו- u = 20 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

f = 30 cm.

שיפוע הקו uvf הוא m = 30/10 = 3. כלומר: ההגדלה היא 3 והדמות היא ישרה (כי m חיובי). ניתן לחשב את m גם כך: m = 45/15 = 3.

הדמות מדומה, ישרה ומוגדלת ונמצאת במרחק 30 cm מצד העצם.

7. נתון: f = -30 cm , u = 60 cm.

על מערכת צירים uvf נסמן את הנקודות u = 60 cm ו- f = -30 cm. נשרטט את הקו uvf ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

התקבל:

v = -20 cm (תמונה מדומה (כי v שלילי) במרחק 20 cm מהעדשה, מצד העצם).

שיפוע הקו uvf הוא m = 30/90 = 1/3. כלומר: ההגדלה היא 1/3 (הקטנה) והדמות היא ישרה (כי m חיובי). ניתן לחשב את m גם כך: m = 20/60 = 1/3.

הדמות מדומה, ישרה ומוקטנת ונמצאת במרחק 20 cm מצד העצם.

8. כל קו שיוצא מ- u > f ועובר דרך "המוקד", חותך את ציר v עבור v > 0 (m שלילי). לכן תתקבל דמות ממשית והפוכה.

9. כל קו שיוצא מ- 0 < u < f ועובר דרך "המוקד", חותך את ציר v עבור v < 0 (m חיובי). לכן תתקבל דמות מדומה וישרה.

10. כל קו שיוצא מ- u > 0 ועובר דרך "המוקד" (f < 0) – חותך את ציר v עבור v < 0 (m חיובי). לכן תמיד תתקבל דמות מדומה וישרה.

11. נתון: f = 18 cm , m = -2.

על מערכת צירים uvf נעביר קו כלשהו ששיפועו -2 (קו אדום).נסמן את הנקודה f = 18 cm ונעביר קו המקביל לקו ששרטטנו (אדום), כך שיעבור דרך הנקודה ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

12. נתון: f = 18 cm , m = 3.

על מערכת צירים uvf נעביר קו כלשהו ששיפועו 3 (קו אדום).נסמן את הנקודה f = 18 cm ונעביר קו המקביל לקו ששרטטנו (אדום), כך שיעבור דרך הנקודה ונקבל את מה שנראה בשרטוט.

13. דמות ממשית מתקבלת רק בעדשה מרכזת (עבור u>0). דמות מוגדלת מתקבלת רק עבור עדשה מרכזת. לכן העדשה מרכזת. מכאן הפתרון דומה לזה שבשאלה 11.

14. כיוון שהדמות מוגדלת – העדשה מרכזת. כיוון שהדמות מדומה – v שלילי (m חיובי).כלומר: u = 20 cm, m = 3. בדומה לפתרון שאלה 12, נקבל f = 30 cm, v = -60 cm. הדמות מדומה, ישרה ומוגדלת.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

דף ריק לעבודה

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

קווים אופייניים ל- 3 סוגי בעיות