וקטורים

וקטורים בפיסיקה תיכונית

לווקטור, או קטע מכוון, שלוש תכונות :

1. גודל.

2. כיוון.

3. נקודת התחלה. (נקודת פעולה, נקודת אחיזה – בהתאם להקשר).

(בנוסף – וקטור צריך להיענות לחוק חיבור וקטורים – נושא שידון בהמשך).

עבור רוב הצרכים שלנו – אין חשיבות לתכונה השלישית (נקודת התחלה). בהמשך נתייחס לווקטורים, ככאלו שיש להם שתי תכונות בלבד: גודל וכיוון.

ניתן לתאר וקטור בכמה דרכים:

1. תיאור גרפי (ציורי): וקטור יתואר כחץ. אורך החץ יתאר את גודלו (לפי קנה מידה) וכיוון החץ יתאר את כיוונו (ציר אחד, במישור או במרחב).

דוגמאות לווקטורים דו-ממדיים (במישור):

משתמשים בתיאור גרפי כאשר מציגים או מנתחים בעיה באופן ציורי. זכור: קל לתאר גודל וכיוון על ידי שרטוט חץ!

2. תיאור מילולי: וקטור יתואר במילים לפי גודלו וכיוונו.

דוגמאות לווקטורים דו-ממדיים (במישור):

גודל הווקטור הוא 3 יחידות וכיוונו שמאלה.

וקטור המהירות הוא בגודל 5 מטר לשנייה וכיוונו 30° מעל האופק, ימינה.

וקטור תאוצת הכובד, המסומן באות g, תמיד לכיוון מטה וגודלו כ – 10 מטר לשנייה בריבוע.

משתמשים בתיאור מילולי, בדרך כלל, בשלב ניסוח הבעיה ובשלב ניסוח פתרון סעיף/שאלה.

3. תיאור באמצעות רכיבים או מספרים מכוונים. תיאור כזה, שיפורט בהמשך, יכול להינתן ביחס למערכת צירים נתונה (במערכות צירים שונות התיאור יהיה שונה).

דוגמאות לווקטורים דו-ממדיים (במישור): וקטור {3.0, -5.2}. דוגמאות לווקטורים חד-ממדיים (ציר אחד): -3.4 (וקטור בגודל 3.4 ובכיוון הפוך מהציר).

7.2 _m (וקטור בגודל 7.2 מטר ובכיוון החיובי של הציר).

משתמשים במספרים מכוונים, כאשר "מציבים" וקטורים בביטויים (משוואות) מתמטיים. זכור: לא ניתן להציג וקטור כמספר מכוון אם לא מוגדר ציר!

הגדרות מיוחדות:

כיוון שעבור רוב הצרכים שלנו – אין חשיבות לנקודת ההתחלה של וקטור, אנחנו מגדירים:

שני וקטורים יחשבו שווים אם יש להם אותו גודל ואותו כיוון. אם שני וקטורים מוצגים בצורה ציורית – הם יחשבו שווים (בעלי אותו ערך), אם הם מקבילים, בעלי אותו גודל ואותה מגמה (כלומר: הם לא "הפוכים"). לפעמים אומרים שאם מעתיקים וקטור במקביל לעצמו – יוצרים וקטור השווה לווקטור המקורי.

וקטור B יחשב לווקטור נגדי של וקטור A, אם גודלו של B שווה לגודלו של A וכיוונו של B הפוך לכיוון הווקטור A. כלומר: גודל הווקטורים זהה, הם מקבילים אבל במגמות הפוכות. ברור שאם וקטור B הופכי לווקטור A, אז וקטור A הופכי לווקטור B. נהוג לרשום: B = -A.

וקטור האפס הוא וקטור שגודלו אפס (לכן אין חשיבות לכיוון וקטור האפס). וקטור האפס ניטרלי בפעולת חיבור / חיסור וקטורים (כלומר: אם מוסיפים לווקטור A את וקטור האפס – התוצאה היא וקטור השווה לווקטור A. (כמו שהמספר אפס ניטרלי לחיבור / חיסור באלגברה).

הפעולה של הכפלת וקטור במספר נקראת כפל בסקלר. אם כופלים וקטור במספר חיובי, התוצאה היא וקטור שגודלו מוכפל במספר וכיוונו כמו כיוון הווקטור המקורי. אם המספר שלילי – התוצאה היא וקטור שגודלו מוכפל בערך מוחלט של המספר וכיוונו הפוך לכיוון הווקטור המקורי.

סדר פעולות חיבור לא משנה את התוצאה (כלומר: A + B = B + A).

חיבור וקטורים בדרך ציורית בשני ממדים (במישור)

הערה: פעולת חיבור שני וקטורים שונה מפעולת חיבור מספרים (סקלרים), שכן יש צורך להתחשב גם בכיוון הווקטורים (ולא רק בגודלם). לכן יש להתייחס לפעולת חיבור שני וקטורים כפעולה שונה מפעולת חיבור מספרים, למרות השם הזהה לפעולה.

וקטורים מחברים לפי חוק חיבור וקטורים, הקובע כיצד לחבר שני וקטורים (או יותר). יש לזכור שתוצאת חיבור וקטורים היא וקטור!

א. הגדרת חיבור שני וקטורים, לפי הצגה ציורית (שיטת מקבילית הכוחות): (שיטת מקבילית הכוחות היא גם ההגדרה הציורית הבסיסית לחיבור וקטורים).

כדי לחבר שני וקטורים נתונים, יש לבצע את הפעולות הבאות:

1. יש לשרטט את שני הווקטורים, כך שיצאו מנקודה משותפת. הווקטורים המשורטטים שומרים על גודל וכיוון כמו הווקטורים המקוריים.

2. יש להשלים את השרטוט כך שתתקבל מקבילית (על ידי הוספת שתי צלעות המקבילות לצלעות המקוריות).

3. תוצאת החיבור, הנקראת לעיתים "שקול הווקטורים", היא הווקטור שנקודת התחלתו היא בנקודה המשותפת וסופו בקדקוד הנגדי של המקבילית (וקטור T). ( T = A + B ).

ב. חיבור וקטורים לפי שיטת הצלעון (פוליגון, "ראש זנב"):

כדי לחבר שני וקטורים, A ו- B , נשרטט תחילה את וקטור A (במקום כלשהו). את B נשרטט כך שנקודת תחילתו היא בנקודת סוף וקטור A. התוצאה היא וקטור היוצא מתחילת וקטור A ומגיע לסוף וקטור B: ( T = A + B )

ניתן לראות שלמעשה שרטטנו משולש שהוא חצי מהמקבילית למעלה. הפתרון זהה!

הערה: סדר החיבור לא מחייב!

כדי לחבר מספר וקטורים, משרטטים את אחד הווקטורים תחילה (הסדר לא מחייב). את הווקטור הבא משרטטים כך שיצא מקצהו של הווקטור ששורטט לפניו. משרטטים את הווקטורים הנוספים באותו אופן. תוצאת החיבור (שקול הווקטורים) הוא וקטור היוצא מתחילת הווקטור הראשון ומסתיים בקצהו של הווקטור ששורטט אחרון: ( T = A + B + C + D + E )

חיבור וקטורים בדרך ציורית בממד אחד (ציר אחד)

וקטורים בממד אחד הם וקטורים מקבילים! (נניח, כולם בציר x או שכולם בציר y).

מקבילית (או צלעון), כאשר מדובר בציר אחד – היא מקבילית עם זוויות 0° ו- 180° (כלומר מקבילית "שטוחה"). פעולות חיבור וקטורים במקרה זה אינן שונות מפעולות חיבור וקטורים דו ממדיים. השרטוט הבא מציג חיבור וקטורים חד ממדיים בשיטת הצלעון:

( T = A + B + C )

במקרה זה התוצאה היא וקטור בגודל 3 לכיוון שמאל.

חיבור וקטורים בדרך של הפיכה למספרים מכוונים בממד אחד (ציר אחד)

זכור! לא ניתן להציג וקטור כמספר מכוון אם לא מוגדר ציר!

מספר מכוון מתאים לווקטור חד-ממדי בהינתן ציר נקבע כך:

ערך המספר הוא כגודל הווקטור. המספר חיובי אם כיוון הווקטור ככיוון הציר ושלילי אם כיוון הווקטור הפוך מכיוון הציר.

כך, הווקטורים בשרטוט הבא מבוטאים כמספרים מכוונים: +4, -5, +7, -9, +6 בהתאמה (בהנחה שכל משבצת מייצגת 1x1 יחידות):

במידה וציר x היה מוגדר לכיוון שמאל, כל סימני המספרים המכוונים היו מתהפכים!

פעולת החיבור של הווקטורים המשורטטים תעשה כך:

1. מציגים את הווקטורים כמספרים מכוונים.

2. מחברים את המספרים המכוונים באופן אלגברי רגיל.

3. את המספר המכוון, שהוא התוצאה, מציגים כווקטור.

במקרה שלנו הסכום הוא 3 . הווקטור המתאים לו הוא בגודל 3 לכיוון הציר (כאן ימינה).

חיבור וקטורים דו-ממדיים בשיטת "הפרדה ישרת זווית"

פעולת חיבור לפי "הפרדה ישרת זווית" מוצגת כאן עם דוגמה:

יש לחבר את שני (או יותר) הווקטורים הבאים:

שלב ראשון (חובה) – בחירת מערכת צירים והעתקת הווקטורים, כך שכולם יצאו מהראשית:

לפני ביצוע השלב הבא, נראה חיבור שני וקטורים בשיטת מקבילית הכוחות, כאשר הווקטורים ניצבים זה לאחר (נניח כי וקטור אחד נמצא על ציר x והאחר על ציר y): כאן מתקיים: A => A_x + A_y.

אפשר גם לראות פעולה הפוכה: ניתן "לפרק" את וקטור A לשני וקטורים: A_x + A_y <= A. פעולה זאת נקראת "פרוק וקטור לרכיביו". כך וקטור A_x יקרא רכיב x של הווקטור A ו- וקטור A_y יקרא רכיב y של וקטור A.

זכור: רכיבי וקטור הם וקטורים שסכומם (הווקטורים) שווה לווקטור המקורי (ולכן יכולים "להחליף" אותו).

גודל רכיבי הווקטור מקיים: A_x = A ´ cos(α) ; A_y = A ´ sin(α) ; A² = A_x² + A_y² ; tan(α) = A_y / A_x

בשלב הבא "מפרקים את הווקטורים לרכיביהם". כל וקטור (שלא נמצא על אחד הצירים) – מפורק לשני וקטורים הנמצאים על הצירים וסכומם (הווקטורים) שווה לווקטור זה:

שים לב שהווקטורים A ו- B "מחוקים" על ידי הסימנים "~". למעשה קיבלנו ארבעה וקטורים שסכומם שוו לסכום שני הווקטורים המקוריים. אומרים שזוהי מערכת וקטורים שקולה למקורית. נותרנו עם הווקטורים:

כאשר (גדלים בלבד): A_x = A ´ cos(α) ; A_y = A ´ sin(α) ; B_x = B ´ cos(β) ; B_y = B ´ sin(β)

(לפי הדוגמה: A_x = 12 ; A_y = 3 ; B_x = 15 ; B_y = 6)

בשלב הבא נחבר וקטורים בכל ציר בנפרד, בשיטה של מספרים מכוונים:

T_x = A_x + B_x ; T_y = A_y + B_y (לפי הדוגמה: T_x = 12 + 15 = 27 ; T_y = 3 - 6 = -3)

שים לב שלמעלה אלו מספרים מכוונים. מסיבה זאת B_y שלילי!

שים לב: סכום שני הווקטורים, T_x ו- T_y, שווה לסכום הווקטורים המקוריים!

בשלב הבא אנחנו "מתרגמים" חזרה את התוצאות של המספרים המכוונים לווקטורים:

שקול הווקטורים T_x ו- T_y הוא הווקטור T, הנמצא על אלכסון המלבן הנוצר על ידי שני וקטורים אלו. מתקיים (גדלים בלבד): T² = T_x² + T_y² ; tan(θ) = T_y / T_x (לפי הדוגמה: T = 27.17 ; θ = 6.340°ׂׂׂׂׂׂׂׂ )

הווקטור T הוא שקול (סכום) הווקטורים A ו- B!

ניתן לתאר את הווקטור T במילים: גודל הווקטור הוא 27.17 יחידות וכיוונו 6.340° מתחת לקו אופקי.

ניתן (בתנאי שנתונה מערכת הצירים הנוכחית) לתאר את הווקטור T על ידי מספרים מכוונים: T=(27,-3).

תרגילים פתורים:

1. לפניך מספר וקטורים. תאר את הווקטורים במילים (כל משבצת מייצגת 1x1 יחידות).

פתרון:

A: וקטור בגודל 10 בכיוון 37° מעל קו אופקי (מעל האופק).

B: ניתן לחשב את גודל הזווית β לפי: tan(β)=6/8 => β=36.87°.

וקטור B הוא בגודל 10 בכיוון 37° מתחת לקו אופקי (מתחת לאופק).

C: מסימטריה ברור כי וקטור c יוצר זווית של 45° עם הציר האופקי.

וקטור C הוא בגודל 11.31 בכיוון צפון מערב בדיוק (במידה ומדובר בכיווני הרוחות...).

2. לפניך תיאור של מספר וקטורים. שרטט בקנה מידה מתאים כל וקטור:

a. וקטור בגודל 5 בכיוון 53° מעל האופק ובנטייה ימינה.

b. וקטור בגודל 8 ימינה.

c. וקטור בגודל 6 למעלה.

פתרון:

3. לפניך מספר וקטורים המקבילים לציר y. רשום מספר מכוון המתאים לכל וקטור לפי ציר זה.

פתרון:

A: +5 , B: -9 , C: +7 .

4. סמדר החלה לצעוד מנקודה A. תחילה היא צעדה 80 מטר לכיוון צפון. לאחר מכן צעדה מרחק 60 מטר לכיוון מזרח. לגבי צופה הנמצא בנקודה A: באיזה מרחק ובאיזה כיוון רואה הצופה את סמדר? ערוך תרשים וקטורים והראה שהתשובה היא שקול וקטורי הצעידות!

פתרון:

הצופה רואה את סמדר במרחק 100 מטר ובכיוון 53° צפונה מהמזרח.

5. אילנית נמצאת באזור חשוך. היא צועדת מרחק של 16 מטר בכיוון אחד. לאחר מכן היא משנה את כיוון תנועתה ב- 90° וצועדת מרחק של 12 מטרים. באיזה מרחק נמצאת אילנית יחסית לנקודת המוצא?

פתרון: במרחק 20 מטר.

6. סירה שטה מרחק של 20 ק"מ לכיוון 30° צפונית למזרח. לאחר מכן היא שטה 15 ק"מ בדיוק צפונה. באיזה מרחק ובאיזה כיוון נראית הסירה למכ"ם הנמצא בנקודת המוצא של הסירה?

פתרון: במרחק של 30.4 ק"מ ובזווית של 55.3° צפונית למזרח.

שאלות

1. הסבר/הוכח : שקול, או סכום וקטורי, של שני וקטורים יהיה אפס, אם ורק אם שני הווקטורים שווים בגודלם והפוכים בכיווניהם.

2. הסבר/הוכח : כאשר לשני וקטורים אותו כיוון – גודל שקול הווקטורים יהיה סכום אלגברי של גודלי הווקטורים וכיוונו יהיה ככיוון כל אחד מהווקטורים.

3. מושכים עצם מסוים בעזרת שני כוחות מקבילים של 20 ו- 30 יחידות בהתאמה .יחידות כוח יהיו ניוטונים.

א. חשב את גודל ואת כיוון הכוח השקול הפועל על העצם.

ב. איזה כוח, גודל וכיוון, נוסף יש להפעיל על העצם, כדי ששקול הכוחות יתאפס?

4. מושכים עצם מסוים בכוח אחד של 30 יחידות ימינה ובכוח אחר של 20 יחידות שמאלה.

א. חשב את גודל ואת כיוון הכוח השקול הפועל על העצם.

ב. איזה כוח, גודל וכיוון, נוסף יש להפעיל על העצם, כדי ששקול הכוחות יתאפס?

5. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ווקטור. כל ס"מ מייצג יחידה אחת.

א. תאר את הווקטור במילים (גודל, כיוון).

ב. רשום מהם רכיבי הווקטור במערכת הצירים הנתונה.

6. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ושני וקטורים A ו-B. כל ס"מ מייצג יחידה אחת.

א. תאר כל וקטור במילים.

ב. מצא/חשב את רכיבי כל וקטור על מערכת הצירים הנתונה.

ג. מצא את שקול הווקטורים. תאר את התוצאה במילים.

ד. איזה וקטור יש להוסיף לשניים הנתונים, כדי שהשקול של שלושתם יתאפס?

7. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ושני וקטורים A ו-B. כל ס"מ מייצג יחידה אחת. ראה שרטוט.

א. תאר כל וקטור במילים.

ב. מצא/חשב את רכיבי כל וקטור על מערכת הצירים הנתונה.

ג. מצא את שקול הווקטורים. תאר את התוצאה במילים.

ד. מצא/חשב את חיסור הווקטורים A-B .

8. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ושני וקטורים A ו-B. כל ס"מ מייצג יחידה אחת.

א. תאר כל וקטור במילים.

ב. מצא/חשב את רכיבי כל וקטור על מערכת הצירים הנתונה.

ג. מצא את שקול הווקטורים. תאר את התוצאה במילים.

ד. מצא/חשב את הסכום הווקטורים: A+2B .

9. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ווקטור A. גודל הווקטור הוא 12 יחידות וכיוונו יוצר זווית של 60° עם ציר x ראה שרטוט. (הווקטור לא משורטט בפרופורציות נכונות!)

מהם רכיבי הווקטור A על מערכת הצירים הנתונה?

10. על דף מילימטרי משורטטת מערכת צירים ושלושה וקטורים. וקטור A הוא בגודל 10 יחידות ויוצר זווית של 30° עם ציר x, וקטור B הוא בגודל 12 יחידות ויוצר זווית של 60° עם ציר x, וקטור C הוא בגודל 15 יחידות ויוצר זווית של45° עם ציר x. ראה שרטוט (הווקטור לא משורטט בפרופורציות נכונות!)

א. חשב את שקול הווקטורים.

ב. איזה וקטור יש להוסיף לווקטורים הנתונים כדי ששקול הווקטורים יתאפס?

תוצאות:

1. במידה ושני הווקטורים אינם מקבילים – לפי שיטת מקבילית הכוחות השקול יהיה "האלכסון" ויהיה שונה מאפס. אם הווקטורים מקבילים ולאותו כיוון – גודל השקול יהיה סכום אלגברי של גודלי הווקטורים ולכן שונה מאפס. רק אם הווקטורים בכיוונים הפוכים ובאותו גודל – השקול יהיה אפס.

2. לפי שיטת הצלעון קל לראות זאת. לפי שיטת מקבילית הכוחות מקבלים מקבילית "ללא גובה" – האלכסון שווה לסכום שתי צלעות סמוכות. בשיטת הפרדה ישרת זווית – לבחור את ציר x כך ששני הווקטורים הם לכיוון x.

3. א. שקול: 50 יחידות ימינה. ב. 50 יחידות שמאלה.

4. א. שקול: 10 יחידות ימינה. ב. 10 יחידות שמאלה.

5. א. גודל הווקטור הוא 5 יחידות, לפי פיתגורס, וכיוונו כ - 37° ביחס לציר x ,מעל האופק. ב. 3 בציר y, 4 בציר x.

6. א. A: גודל: 5.83 כיוון: 31.0° ביחס ל ציר x , מעל האופק. B: גודל: 2 , כיוון: הפוך לציר x , שמאלה, מערבה. ב. A: 5,3 B : -2,0 ג. גודל: 4.24 כיוון: 45° ביחס לציר x , מעל האופק. ד. וקטור נגדי לשקול: בגודל 4.24 ובכיוון45° ביחס לציר x ברביע השלישי.

7. א. A: גודל: 5.83 כיוון: 31.0° ביחס ל ציר x , מעל האופק. B: גודל: 5 , כיוון: 53.1° ביחס לציר x , רביע רביעי. ב. A: 5,3 B : 3,-4 ג. גודל: 8.06 כיוון: 7.13° ביחס לציר x , מתחת לאופק. ד. A-B=A+(-B) , כלומר: חיבור הנגדי. גודל: 7.28 כיוון: 74.1° ביחס לציר x , רביע ראשון.

8. א. A: גודל: 5.83 כיוון: 31.0° ביחס ל ציר x , מעל האופק. B: גודל: 3.61, כיוון: 56.3° ביחס לציר x , רביע שלישי. ב. A: 5,3 B : -2,-3 ג. גודל: 3 כיוון: עם ציר x , ימינה, מזרחה. ד. גודל: 3.16 כיוון: 71.6° ביחס לציר x , רביע רביעי.

9. A_X=6 ; A_Y=10.4

10. גודל שקול: 14.1 כיוון שקול: 19.8° ביחס לציר x , רביע ראשון.