שאלות מודרכות 3

1. מראש בניין שגובהו 45 מטר משחררים כדור ממנוחה. בחר ציר y שראשיתו בראש הבניין וכיוונו מטה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור הכדור, מרגע שחרורו עד (כמעט) הגעתו לקרקע.

ב. חשב את הגובה בו נמצא הכדור שתי שניות לאחר שחרורו. מה תהיה מהירותו ברגע זה?

ג. חשב מתי ובאיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע.

ד. שרטט גרפים של תאוצתו, מהירותו ומיקומו של הכדור כפונקציה של הזמן, עד הגעתו לקרקע.

פתרון:

מומלץ לשרטט את ציר התנועה ועליו את נתוני השאלה.

א. לפי נתוני השאלה:

t_o = 0 , y_o = 0 , v_o = 0 , a = 10 m/s² ולכן:

y = 5t²

v = 10t

v² = 20y

ב. הצבה של t = 2 s בשלוש המשוואות תיתן:

y = 5 ´ 2²

v = 10 ´ 2

v² = 20y

ממשוואה ראשונה נקבל:

y = 20 m

ממשוואה שניה נקבל:

v = 20 m/s

שים לב ש- y מייצג מיקום (שעור נקודה בציר y). הגובה של הכדור יהיה:

H = 45 – 20 = 25 m

שים לב שהמהירות שהתקבלה היא חיובית – כלומר עם כיוון הציר! לכן:

v = 20 m/s לכיוון מטה.

ג. הצבה של y = 45 m בכל שלוש המשוואות תיתן:

45 = 5t²

v = 10t

v² = 20 ´ 45

פתרון משוואה ראשונה נותן:

t = ±3 s

כאן אין משמעות לזמן השלילי, כי הבעיה התחילה עבור t = 0! לכן:

t = 3 s

פתרון משוואה שלישית נותן:

v = ±30 m/s

במקרה זה המהירות היא לכיוון מטה, כלומר עם כיוון הציר. לכן הפתרון החיובי נכון.

v = 30 m/s

הערה: יכולנו להשתמש במקום במשוואה השנייה, או להשתמש במשוואה השנייה כבדיקה.

ד.

2. מראש בניין שגובהו 45 מטר משחררים כדור ממנוחה. בחר ציר y שראשיתו בקרקע וכיוונו מעלה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור הכדור, מרגע שחרורו עד (כמעט) הגעתו לקרקע.

ב. חשב את הגובה בו נמצא הכדור שתי שניות לאחר שחרורו. מה תהיה מהירותו ברגע זה?

ג. חשב מתי ובאיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע.

ד. שרטט גרפים של תאוצתו, מהירותו ומיקומו של הכדור כפונקציה של הזמן, עד הגעתו לקרקע.

פתרון:

מומלץ לשרטט את ציר התנועה ועליו את נתוני השאלה.

א. לפי נתוני השאלה: (שים לב שהתאוצה בכיוון הפוך לציר)

t_o = 0 , y_o = 45 m , v_o = 0 , a = -10 m/s² ולכן:

y = 45 - 5t²

v = -10t

v² = -20(y – 45)

ב. הצבה של t = 2 s בשלוש המשוואות תיתן:

y = 45 - 5 ´ 2²

v = -10 ´ 2

v² = -20(y – 45)

ממשוואה ראשונה נקבל:

y = 25 m

ממשוואה שניה נקבל:

v = -20 m/s

שים לב ש- y מיצג מיקום (שעור נקודה בציר y) ושהגובה שווה ל- y. הגובה של הכדור יהיה:

H = 25 m

שים לב שהמהירות שהתקבלה היא שלילית – כלומר בכיוון הפוך לציר! לכן:

v = 20 m/s לכיוון מטה.

ג. הצבה של y = 0 m בכל שלוש המשוואות תיתן:

0 = 45 - 5t²

v = -10t

v² = -20 ´ (0 – 45)

פתרון משוואה ראשונה נותן:

t = ±3 s

כאן אין משמעות לזמן השלילי, כי הבעיה התחילה עבור t = 0! לכן:

t = 3 s

פתרון משוואה שלישית נותן:

v = ±30 m/s

במקרה זה המהירות היא לכיוון מטה, כלומר בכיוון הפוך לציר. לכן הפתרון השלילי נכון.

v = -30 m/s

הערה: יכולנו להשתמש במקום במשוואה השנייה, או להשתמש במשוואה השנייה כבדיקה.

ד.

3. מראש בניין שגובהו 40 מטר, זורקים כדור במהירות של 10 m/s כלפי מטה. בחר ציר y שראשיתו בראש הבניין וכיוונו מטה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור הכדור, מרגע זריקת הכדור עד (כמעט) הגעתו לקרקע.

ב. חשב מתי ובאיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע.

ג. שרטט גרפים של תאוצתו, מהירותו ומיקומו של הכדור כפונקציה של הזמן, עד הגעתו לקרקע.

פתרון:

מומלץ לשרטט את ציר התנועה ועליו את נתוני השאלה.

א. לפי נתוני השאלה:

t_o = 0 , y_o = 0 m , v_o = 10 , a = 10 m/s² ולכן:

y = 10t + 5t²

v = 10 + 10t

v² = 100 + 20y

ב. הצבה של y = 40 m בכל שלוש המשוואות תיתן:

40 = 10t + 5t²

v = 10 + 10t

v² = 100 + 20 ´ 40

פתרון משוואה ראשונה נותן:

t = -4, 2 s

כאן אין משמעות לזמן השלילי, כי הבעיה התחילה עבור t = 0! לכן:

t = 2 s

פתרון משוואה שלישית נותן:

v = ±30 m/s

במקרה זה המהירות היא לכיוון מטה, כלומר עם כיוון הציר. לכן הפתרון החיובי נכון.

v = 30 m/s

הערה: יכולנו להשתמש במקום במשוואה השנייה, או להשתמש במשוואה השנייה כבדיקה.

ג.

4. מראש בניין שגובהו 40 מטר, בזמן t = 2 s, זורקים כדור במהירות של 10 m/s כלפי מטה. בחר ציר y שראשיתו בראש הבניין וכיוונו מטה והשב: (השתמש ב- t₀).

א. רשום משוואות תנועה עבור הכדור, מרגע זריקת הכדור עד (כמעט) הגעתו לקרקע.

ב. חשב מתי ובאיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע.

ג. שרטט גרפים של תאוצתו, מהירותו ומיקומו של הכדור כפונקציה של הזמן, עד הגעתו לקרקע.

פתרון:

מומלץ לשרטט את ציר התנועה ועליו את נתוני השאלה.

א. לפי נתוני השאלה:

t_o = 2 s , y_o = 0 m , v_o = 10 , a = 10 m/s² ולכן:

y = 10(t – 2) + 5(t – 2)²

v = 10 + 10(t – 2)

v² = 100 + 20y

ב. הצבה של y = 40 m בכל שלוש המשוואות תיתן:

40 = 10(t – 2) + 5(t – 2)²

v = 10 + 10(t – 2)

v² = 100 + 20 ´ 40

פתרון משוואה ראשונה נותן:

t = -2, 4 s

כאן אין משמעות לזמן השלילי, כי הבעיה התחילה עבור t = 0! לכן:

t = 4 s

פתרון משוואה שלישית נותן:

v = ±30 m/s

במקרה זה המהירות היא לכיוון מטה, כלומר עם כיוון הציר. לכן הפתרון החיובי נכון.

v = 30 m/s

הערה: יכולנו להשתמש במקום במשוואה השנייה, או להשתמש במשוואה השנייה כבדיקה.

ג.

5. מראש בניין שגובהו 25 מטר, זורקים כדור במהירות של 20 m/s כלפי מעלה. בחר ציר y שראשיתו בראש הבניין וכיוונו מעלה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור הכדור, מרגע זריקת הכדור עד (כמעט) הגעתו לקרקע.

ב. לאחר כמה זמן יגיע הכדור לשיא הגובה? מה יהיה גובה זה?

ג. מתי יהיה הכדור בגובה 40 m? מה תהיה מהירותו ברגע זה? (שני פתרונות)

ד. באיזה זמן יהיה הכדור שוב בגובה הבניין? מה תהיה מהירותו?

ה. לאחר כמה זמן ובאיזו מהירות יפגע הכדור בקרקע?

ו. שרטט גרפים של תאוצתו, מהירותו ומיקומו של הכדור כפונקציה של הזמן, עד הגעתו לקרקע.

פתרון:

מומלץ לשרטט את ציר התנועה ועליו את נתוני השאלה.

א. לפי נתוני השאלה:

t_o = 0 , y_o = 0 m , v_o = 20 , a = -10 m/s² ולכן:

y = 20t - 5t²

v = 20 - 10t

v² = 400 - 20y

ב. בשיא הגובה, בתנועה אנכית בלבד, מתקיים v = 0. נציב זאת במשוואות:

y = 20t – 5t²

0 = 20 – 10t

0 = 400 – 20y

מפתרון המשוואה השנייה נקבל:

t = 2 s

מפתרון המשוואה השלישית נקבל:

y = 20 m

לאחר שתי שניות יגיע הכדור לשיא הגובה. הגובה מהקרקע יהיה 45 m.

ג. גובה של 40 m מתאים למיקום y = 15 m. נציב במשוואות ונקבל:

15 = 20t -5t²

v = 20 – 10t

v² = 400 – 20 ´ 15

מפתרון משוואה שלישית נקבל:

v = ±10 m/s

עבור סעיף זה שני הפתרונות נכונים. בשלב העלייה יגיע הכדור לגובה זה במהירות חיובית ובירידה – שלילית.

מהמשוואה הראשונה או השנייה ניתן לקבל את הזמנים:

t = 1 s עבור שלב העלייה

t = 3 s עבור שלב הירידה.

ד. נציב y = 0 במשוואות ונקבל:

0 = 20t -5t²

v = 20 – 10t

v² = 400 – 20 ´ 0

מפתרון משוואה ראשונה נקבל:

t = 0, 2 s

זמן t = 0 הוא זמן הזריקה. הפתרון שאנחנו מחפשים:

t = 2 s

מפתרון משוואה שנייה נקבל:

v = - 20 m/s

כלומר: המהירות היא 20 m/s לכיוון מטה.

ה. נציב y = -25 m במשוואות ונקבל:

-25 = 20t -5t²

v = 20 – 10t

v² = 400 – 20 ´ (-25)

מפתרון משוואה שלישית נקבל:

v = ±30 m/s

בפגיעה בקרקע כיוון המהירות הוא מטה, כלומר הפוך מכיוון הציר. לכן נבחר בתוצאה השלילית:

v = - 30 m/s

מהירות הפגיעה בקרקע היא 30 m/s לכיוון מטה.

לפי משוואה שנייה זמן הפגיעה בקרקע הוא 5 שניות.

ו.

6. מראש בניין שגובהו 60 m משחררים ממנוחה כדור קטן. בו-זמנית זורקים מתחתית הבניין קובייה קטנה במהירות של 30 m/s כלפי מעלה. בחר ציר y שראשיתו בתחתית הבניין וכיוונו מעלה והשב:

א. רשום משוואות מקום זמן לפי הציר הנתון עבור כל אחד מהגופים.

ב. באיזה זמן יהיו הגופים באותו גובה? מה יהיה גובה זה?

ג. באיזה זמן יפגע כל גוף בתחתית הבניין? מה תהיה מהירות כל גוף בפגיעה?

ד. שרטט על אותה מערכת צירים את מיקום כל גוף כפונקציה של הזמן.

ה. שרטט גרף של המרחק בין התיבה לכדור כפונקציה של הזמן.

חסר פתרון!

7. מראש בניין שגובהו 60 m משחררים ממנוחה תיבה קטנה. שתי שניות מאוחר יותר זורקים מראש הבניין כדור במהירות 40 m/s כלפי מטה. בחר ציר y שראשיתו בראש הבניין וכיוונו מטה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור התיבה והכדור, לפי הציר הנתון.

ב. מתי התיבה והכדור יהיו באותו גובה? מה יהיה גובה זה?

ג. שרטט על אותה מערכת צירים את מיקום כל גוף כפונקציה של הזמן (עד המפגש ביניהם).

חסר פתרון!

8. מראש בניין שגובהו 125 m משחררים ממנוחה תיבה קטנה. שתי שניות מאוחר יותר זורקים מתחתית הבניין כדור במהירות 32.5 m/s כלפי מעלה. בחר ציר y שראשיתו בתחתית הבניין וכיוונו מעלה והשב:

א. רשום משוואות תנועה עבור התיבה והכדור, לפי הציר הנתון.

ב. מתי התיבה והכדור יהיו באותו גובה? מה יהיה גובה זה?

ג. שרטט על אותה מערכת צירים את מיקום כל גוף כפונקציה של הזמן.

חסר פתרון!