שדות מגנטיים

דויד זינגר, חשמל:

פרק ז' – שדה מגנטי, כוח לורנץ

תיאוריה: עמ' 165 – 187

שאלות: עמ' 188 – 190

6 – 11 , 14 – 20 , 22 – 24

פרק ח' – שדה מגנטי של זרם

תיאוריה: עמ' 192 – 199 , 201

שאלות: עמ' 210 – 212

1 – 5 , 8 , 9 , 11 - 16

שדות וכוחות מגנטיים

חישוב כמותי של כוחות מגנטיים נעשה לפי שדות מגנטיים (אין "חוק קולון" עבור כוח מגנטי, אלא בשיטת שדות בלבד). השדה המגנטי מסומן באות B. השדה הוא וקטור. יחידות השדה המגנטי בשיטה המטרית הן טסלה [T].

א. גורמים לשדה מגנטי: (מגנט, תיל ארוך, כריכות, סילונית)

1. מגנט: זהו גוש חומר פרו-מגנטי, שהגבישים בתוכו יכולים להיות מכוונים כך שהוא ייצר שדה מגנטי מכוון. ברזל, למשל, הוא חומר פרו-מגנטי. בדרך כלל הגבישים בתוכו מכוונים, באופן אקראי, לכל הכיוונים. כאשר יוצרים סדר בגבישים, גוש הברזל הופך למגנט עם כיוון שדה מגנטי מסוים. מגנטים נפוצים:

א. מגנט מוט: מגנט בצורת מוט. צד אחד נחשב לצפון [N] והצד האחר לדרום [S].בקרבת הצפון, השדה המגנטי B יוצא מהמגנט וגודלו הולך וקטן עם ההתרחקות מהמצפן. בקרבת הדרום, השדה המגנטי B נכנס למגנט וגודלו גדל ככל שמתקרבים למגנט. למעשה, אם המגנט נמצא לבדו, קווי השדה הם קוים היוצאים מהצפון ונכנסים לדרום.

הערה: בדרך כלל השאלות בהן מעורב מגנט מוט לבדו הן שאלות איכותיות ולא כמותיות!

ב. מגנט פרסה : מגנט בצורת פרסה. שדה מגנטי קיים בין קצה צפון לדרום. משמש בעיקר לקבלת שדה מגנטי אחיד (בקירוב).

ג. צירופי מגנטים : שני מגנטי מוט המסודרים צפון-דרום כמו בשרטוט, יצרו שדה מגנטי מצפון לדרום. משמש לקבלת שדה מגנטי אחיד (בקירוב).

2. תיל ישר ארוך נושא זרם : זרם יוצר שדה מגנטי בסביבתו. תיל ישר וארוך MN, יוצר שדה מגנטי B בנקודה A, הנמצאת במרחק r = AO (O היא נקודת היטל A על התיל) מהתיל לפי:

גודל השדה הוא: ( B_A = (m_o/2p) ´ (I/r

כאשר m₀ = 4π×10^-7 .

כיוון השדה המגנטי נקבע לפי "כלל יד ימין": השדה המגנטי משיק למעגל שמרכזו הנקודה O (היטל A על התיל) ועובר דרך A (כלומר רדיוסו r). מגמת השדה נקבעת לפי מערכת ימנית (כמו הברגת בורג, סגירת ברז).

הערה: זהו כלל יד ימין עבור גורמי שדה מגנטי! יש כלל יד ימין אחר!

מקרים מיוחדים:

א. התיל MN והנקודה A נמצאים במישור הדף: כיוון השדה המגנטי, לפי כלל יד-ימין, לנוסע עם כיוון הזרם, מתקבל החוצה לגבי נקודות הנראות לנוסע משמאלו - ופנימה לגבי נקודות הנראות מימינו.

ב. התיל MN ניצב לדף והנקודה A נמצאת על הדף: כיוון השדה המגנטי, לפי כלל יד ימין, יהיה משיק למעגל העובר דרך A, כלומר: ניצב לרדיוס. אם הזרם פנימה – מגמת המשיק עם כיוון השעון וההיפך.

3. כריכה מעגלית, כריכות מעגליות (סליל):

השדה המגנטי הנוצר על ידי כריכה מעגלית (טבעת), שרדיוסה r ונושאת זרם I:

גודל: B_o = (m_o/2) ´ (I/r ( כיוון: לפי כלל יד ימין (זרם עם כיוון השעון יוצר שדה מגנטי הניצב למישור הכריכה – החוצה. זרם הפוך יצור שדה פנימה.

כאשר ישנן N כריכות חופפות ובכולן זרם זהה בגודל ובכיוון: יש לכפול את גודל השדה ב- N . כיוון השדה יהיה כמו כריכה בודדת.

B_o = (m_o/2) ´ (I/r) ´ N

הערה: לפעמים מניחים בקירוב כי זהו השדה המגנטי בכל סביבת מרכז הכריכה!

4. סילונית ( סולונואיד): (דומה לקפיץ) סילונית בעלת אורך L הכוללת N כריכות שדרכן עובר זרם I, יוצרת שדה מגנטי בציר הסילונית (כאן קו מקווקו עבה). גודל השדה הוא: B = m_oIN/L וכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין (ניתן להסתכל על כריכה בודדת). לפעמים משתמשים בגודל "צפיפות כריכות" n = N/L.

ב. שדה מגנטי מפעיל עליהם כוח: (מטען נקודתי, תיל קצר)

1. מטען נקודתי הנע בשדה מגנטי: שדה מגנטי, בתנאים מתאימים, מפעיל כוח מגנטי על מטען נקודתי (שיש למהירותו רכיב הניצב לכיוון השדה):

א. כאשר מהירות המטען ניצבת לשדה: על מטען נקודתי, בעל מטען q, הנע במהירות u הניצבת לכיוון השדה המגנטי פועל כוח מגנטי שגודלו: F_B = uB|q| וכיוונו בהתאם לכלל יד ימין (מהירות – אגודל, אצבעות – שדה, אצבע-אמה – כוח. למטען שלילי הכוח הפוך). דוגמאות עבור מטען חיובי:

הערה: זהו כלל יד ימין לכוח! הוא שונה מכלל יד ימין לשדה!

הערה: במקום כלל יד ימין, ניתן להשתמש בכלל בורג ימני, כלל יד שמאל ואפילו כלל יד ימין שונה ממה שהכרת!

הערה: תוצאת כיוון הכוח הפוכה למטען שלילי ביחס לכיוון המתקבל למטען חיובי!

הערה: כיוון שכיוון הכוח המגנטי על מטען נקודתי ניצב למהירות הרגעית (וגם ניצב לשדה) – שדה מגנטי לא מבצע עבודה על מטען נקודתי הנע בתוכו!

מטען נקודתי, שמהירותו ניצבת לשדה המגנטי ושהכוח היחיד שפועל עליו הוא הכוח המגנטי, יבצע תנועה מעגלית קצובה. לכן יקיים את שתי המשוואות הבאות: (חוק II) uB|q|=mu²/R ו- T = 2πR/u.

הערה: שים לב שבכל רגע הכוח המגנטי ניצב למהירות הרגעית (המהירות הרגעית משיקה למסלול) ולכן מצביע על מרכז המעגל!

ב. כאשר מהירות המטען מקבילה לשדה: כאשר מהירות המטען מקבילה לשדה המגנטי – השדה לא מפעיל כוח על המטען!

ג. כאשר למהירות המטען רכיב הניצב לשדה ורכיב המקביל לשדה: בגלל הרכיב הניצב המטען יבצע תנועה מעגלית (יש להציב בביטויים את הרכיב הניצב במקום u). בגלל הרכיב המשיק המטען הנקודתי ינוע במהירות קבועה במקביל לשדה. שילוב שתי תנועות אלו מהווה "תנועה ספירלית" ("תנועה בורגית").

2. תיל ישר קצר נושא זרם הנמצא בשדה מגנטי: (הכוח על התיל נובע מהכוחות המגנטיים הפועלים על המטענים הזורמים בתיל.)

א. כאשר התיל (הזרם) ניצב לשדה: על התיל פועל כוח מגנטי שגודלו: F = IBL וכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין לכוחות (זרם – אגודל, אצבעות – שדה, אצבע-אמה – כוח).

ב. כאשר התיל (הזרם) מקביל לשדה: לא פועל כוח מגנטי על התיל!

ג. כאשר לתיל (לזרם) "רכיב" ניצב לשדה ורכיב מקביל לשדה: רק הרכיב הניצב גורם לכוח (לכן מופיע בדף נוסחאות F = IBLSin(α)).

הערה: כוח מגנטי על תיל יכול לבצע עבודה!

ג. שילובים:

1. תילים מקבילים: תיל באורך L נושא זרם I₂ , נמצא במרחק d מתיל ארוך מקביל אליו הנושא זרם I₁. התיל (הזרם) הארוך מפעיל כוח מגנטי על התיל (הזרם) הקצר. התיל הארוך יוצר שדה מגנטי בגודל (B = (m_o/2p)´(I₁/d ובכיוון (פנימה לפי השרטוט) לפי כלל יד ימין ליצירת שדה מגנטי. השדה המגנטי הזה מפעיל על התיל (הזרם) הקצר כוח שגודלו F = I₂BL ובכיוון לפי כלל יד ימין לכוח מגנטי (לפי השרטוט שמאלה). לכן נקבל: F = I₂(m_o/2p)´(I₁/d)´L. מבחינת כיוון הכוח: אם הזרמים באותו כיוון מתקבל כוח משיכה וההיפך.

הערה: בדף נוסחאות רשום ביטוי לכוח ליחידת אורך (כוח על כל מטר) בין תילים מקבילים: (F/L = (m_o/2p)´(I₁I₂/d

הערה: במידה ונשאלת השאלה – מה הכוח שהתיל הקצר מפעיל על התיל הארוך? יש לטעון שלפי החוק השלישי של ניוטון – הכוח שווה והפוך. (החוק השלישי לא נכון במקרה זה).

2. תיל קצר בתוך סילונית: מסגרת מוליכה זרם MNPQ נמצאת בתוך סילונית. בסילונית נוצר שדה מגנטי מקביל לציר הסילונית (כאן אופקי) ולכן מקביל גם לצלעות NP ו- MQ. מסיבה זאת לא פועל על צלעות אלו כוח מגנטי. הכוח היחיד פועל על צלע PQ. גודל הכוח: השדה המגנטי בסילונית: B = m₀I₁N/L ועל הצלע PQ פועל כוח: F = I₂BL.

3. תיל ארוך על מסגרת מלבנית: התיל הארוך מפעיל כוח מגנטי על המסגרת (במקרה זה מתקיים גם החוק השלישי של ניוטון). חישוב הכוחות על צלעות NP ו- MQ דורש פעולת אינטגרל (כי השדה המגנטי לאורך הצלעות האלו משתנה עם מרחקן מהתיל הארוך). בגלל סימטריה, הכוחות על צלעות אלו שווים והפוכים ולכן מבטלים זה את האחר. לכן התוצאה תהיה הכוח על צלע MN (חישוב כמו סעיף 1) פחות הכוח הפועל על צלע PQ (כי כיוון הכוח על צלע PQ הפוך מכיוון הכוח על צלע MN).

ד. שימושים:

1. ספקטוגרף מסות: ספקטוגרף מסות כולל שלושה חלקים: מאיץ, בורר מהירויות ומערכת בדיקת רדיוס (קוטר) מסלול חלקיק. מטרת המכשיר: בדיקת היחס q/m של יונים.

א. מאיץ: תפקיד המאיץ הוא להעניק למטען q בעל מסה m מהירות u. לשם כך מאיצים אותו בהפרש פוטנציאלים (מתח) V₁. (d – המרחק בין הלוחות).

ניתן לחשב את המהירות u משיקולי עבודה ואנרגיה

V₁´|q| = ½mu²

או לפי חוק שני של ניוטון:

E=V₁/d -> F = Eq = V₁q/d -> a=F/m = V₁q/(md)-> u² = 2ad = 2V₁q/m .

בשתי הדרכים נקבל:

u² = 2V₁´|q|/m

הערה: שימו לב שביטוי המהירות מכיל את היחס q/m !

ב. בורר מהירויות: בבורר מהירויות על החלקיק מופעלים כוחות חשמליים (באמצעות שדה חשמלי E) וכוחות מגנטיים (באמצעות שדה מגנטי B). (d – המרחק בין הלוחות).

קיים: E = V₂/d , F_E = E|q| , F_B = uB|q|.

לפי הדוגמא המשורטטת:

אם היה קיים רק שדה חשמלי E – המטען (חיובי) היה נע במסלול פרבולי (כמו זריקה אופקית) מטה.

אם היה קיים רק שדה מגנטי B – המטען היה מבצע תנועה מעגלית למעלה.

אם הכוח המגנטי גדול מהכוח החשמלי – המטען ינוע לכיוון מעלה.

אם הכוח המגנטי קטן מהכוח החשמלי – המטען ינוע לכיוון מטה.

אם F_E = F_B החלקיק ימשיך את תנועתו בקו ישר. כלומר, כאשר מתקיים uBq = Eq -> uB = E החלקיק ינוע בקו ישר.

ג. מזהה רדיוס (קוטר):

2. גלוונומטר טנגנטי

שאלות:

1. תיל ישר ארוך, הנושא זרם I = 5 _A מונח במישור הדף. נקודות M ו- P נמצאות במרחק 15 cm מהתיל ובמישור הדף. הנקודה N נמצאת במרחק 25 cm מהתיל ובמישור הדף.

א. יש לחשב את גודל ואת כיוון השדה המגנטי הנוצר בכל אחת מהנקודות האלה.

ב. מה יהיה כיוון השדה המגנטי בכל נקודה, אם כיוון הזרם יהיה הפוך?

2. תיל ישר ארוך, הנושא זרם I = 3 _A מונח במישור הדף. נקודות M ו- N נמצאות במרחק 20 cm מהתיל ובמישור הדף.

א. יש לחשב את גודל ואת כיוון השדה המגנטי הנוצר בכל אחת מהנקודות האלה.

ב. מה יהיה כיוון השדה המגנטי בכל נקודה, אם כיוון הזרם יהיה הפוך?

3. תיל ישר ארוך, הנושא זרם של I = 2 _A, מונח בניצב לדף כך שהזרם בכיוון "החוצה". נקודות M, N, P, Q נמצאות במרחק של30 cm מהתיל, במישור הדף. נקודה A נמצאת במרחק 21.2 cm מהתיל ובמישור הדף (בזווית 45° עם קו אופקי).

א. יש לחשב את גודל ואת כיוון השדה המגנטי הנוצר בכל אחת מהנקודות האלה.

ב. מה יהיה כיוון השדה המגנטי בכל נקודה, אם כיוון הזרם יהיה הפוך?

4. בטבעת מוליכה שרדיוסה r = 12 cm זורם זרם I = 6 _A נגד כיוון השעון.

א. מהו גודל ומהו כיוון השדה המגנטי במרכז הטבעת O?

ב. מה יהיה כיוון השדה המגנטי במרכז הטבעת אם יהפכו את כיוון הזרם?

5. אל סילונית שאורכה L = 20 cm ועליה מלופפים N = 7 ליפופים, מחברים מקור מתח e = 12 v ונגד R = 5 _W (הנח כי הנגד מיצג את התנגדות שקולה במעגל).

א. מה גודל הזרם בסילונית?

ב. מהו גודל השדה המגנטי הנוצר בציר הסילונית?

ג. מהו כיוון השדה המגנטי הנוצר?

ד. מה יהיה כיוון השדה אם יהפכו את הדקי הסוללה?

6. שני תילים ישרים וארוכים, MN ו- PQ, נמצאים במישור הדף, מקבילים ונושאים זרמים I₁ = 2 _A ו- I₂ = 5 _A בהתאמה. מסומנות נקודות A, C, D, G. כל משבצת מייצגת 1×1 cm (המרחק בין A ל- C הוא 2 cm).

א. מהו גודל ומהו כיוון השדה המגנטי הנוצר בכל נקודה?

ב. מה יהיה גודל השדה המגנטי ומה יהיה כיוונו באם ישנו את כיוון הזרם I₂?

7. כריכה מעגלית בעלת רדיוס r = 15 cm, הנושאת זרם I₁ = 4 _A, נמצאת באותו מישור יחד עם תיל ישר וארוך הנושא זרם I₂ = 3 _A. המרחק בין התיל למרכז הכריכה הוא d = 25 cm. כיווני הזרמים מוראים בשרטוט.

א. מהו גודל ומהו כיוון השדה המגנטי הנוצר במרכז הכריכה?

ב. כיצד היו משתנות תשובותיך אם:

1. היו הופכים את כיוון הזרם בתיל?

2. או, אם היו מלפפים שלוש כריכות במקום אחת?

8. למטען נקודתי חיובי q = 6 mc ומסה m = 3×10^-5 kg יש מהירות u = 5 m/s ימינה. ברגע t = 0 מפעילים באזור בו נמצא המטען שדה מגנטי אחיד B = 7 _T "פנימה".

א. מהו גודל ומהו כיוון הכוח המגנטי הפועל על המטען הנקודתי?

ב. בהנחה שהכוח המגנטי הוא היחיד הפועל על המטען – שרטט באופן איכותי את המסלול המעגלי שבו ינוע המטען.

ג. חשב את רדיוס המסלול המעגלי.

ד. באיזה זמן יגיע לראשונה המטען לנקודה בה נמצא ברגע הפעלת השדה המגנטי?

ה. מה יהיה כיוון הכוח המגנטי אם המטען יהיה שלילי?

9. למטען נקודתי חיובי q = 2 mc ומסה m = 4×10^-5 kg יש מהירות u = 3 m/s ימינה. ברגע t = 0 מפעילים באזור בו נמצא המטען שדה מגנטי אחיד B = 7 _T "החוצה".

א. מהו גודל ומהו כיוון הכוח המגנטי הפועל על המטען הנקודתי?

ב. בהנחה שהכוח המגנטי הוא היחיד הפועל על המטען – שרטט באופן איכותי את המסלול המעגלי שבו ינוע המטען.

ג. חשב את רדיוס המסלול המעגלי.

ד. באיזה זמן יגיע לראשונה המטען לנקודה בה נמצא ברגע הפעלת השדה המגנטי?

ה. מה יהיה כיוון הכוח המגנטי אם המטען יהיה שלילי?

10. לפי השרטוט הבא, מצא את כיוון הכוח המגנטי הפועל על המטען הנקודתי כאשר:

א. אם q חיובי.

ב. אם q שלילי.

11. לפי השרטוט הבא, חשב את גודל הכוח המגנטי הפועל על המטען הנקודתי.

א. אם q חיובי.

ב. אם q שלילי.

12. באזור בו קיים רק שדה כוח מגנטי ימינה (בלי כוחות כבידה או כוחות חשמליים), משחררים מטען נקודתי q, בעל מסה m ממנוחה.

מה יהיה גודל ומה כיוון תאוצת המטען הנקודתי?

13. תיל מונח על שולחן אופקי ונושא זרם I = 3 _A (ימינה). אורך התיל הוא L = 50 cm והוא מושפע משדה מגנטי בעוצמה B = 6 _T , לכיוון "פנימה".

א. מהו גודל ומהו כיוון הכוח המגנטי הפועל על התיל?

ב. מה יהיה כיוון הכוח המגנטי אם הזרם יהיה הפוך?

14. תיל מונח על שולחן אופקי ונושא זרם I = 4 _A (למטה). אורך התיל הוא L = 60 cm והוא מושפע משדה מגנטי בעוצמה B = 3 _T , לכיוון "החוצה".

א. מהו גודל ומהו כיוון הכוח המגנטי הפועל על התיל?

ב. מה יהיה כיוון הכוח המגנטי אם הזרם יהיה הפוך

15. חסר

תוצאות:

1. א. B_M = B_P = 6.667 ´ 10^-6 _T ; B_N = 8 ´ 10^-6 _T , M: החוצה, P: פנימה, N: החוצה. ב. הכיוונים יתהפכו.

2. א. B = 3 ´ 10^-6 _T M: החוצה, N: פנימה. ב. הכיוונים יתהפכו.

3. א. B_A = 1.887 ´ 10^-6 _T , B_M = B_N = B_P = B_Q = 1.333 ´ 10^-6 _T A: "צפון מערב", M: למטה, N: שמאלה, P: למעלה, Q: ימינה. ב. הכיוונים יתהפכו.

4. א. B = 3.142 ´ 10^-5 _T החוצה. ב. כיוון השדה יתהפך.

5. א. I = 2.4 _A ב. B = 1.056 ´ 10^-4 _T ג. ימינה. ד. שמאלה.

6. א. B_A = 6 ´ 10^-6 _T פנימה, B_C = 6.667 ´ 10^-6 _T החוצה, B_D = 3 ´ 10^-5 _T פנימה, B_G = 8.667 ´ 10^-5 _T פנימה. ב. B_A = 2 ´ 10^-5 _T פנימה, B_C = 7.333 ´ 10^-5 _T החוצה, B_D = 7 ´ 10^-5 _T החוצה, B_G = 1.133 ´ 10^-4 _T החוצה.

7. א. B_O = 1.436 ´ 10^-5 _T החוצה. ב. 1. B_O = 1.916 ´ 10^-5 _T החוצה. 2. B_O = 4.787 ´ 10^-5 _T החוצה.

8. א. F = 2.1 ´ 10^-4 _N למעלה. ב. נגד כיוון השעון. ג. R = 3.572 m ד. T = 4.488 s ה. למטה.

9. א. F = 4.2 ´ 10^-5 _N למטה. ב. עם כיוון השעון. ג. R = 8.571 m ד. T = 17.95 s ה. למעלה.

10. א. אם q > 0 הכוח יהיה פנימה. ב. אם q < 0 הכוח יהיה החוצה.

11. אפס בכל מקרה.

12. אפס כוח, אפס תאוצה.

13. א. F = 9 _N למעלה. ב. למטה.

14. א. F = 7.2 _N שמאלה. ב. ימינה.

15. חסר