קינמטיקה

קינמטיקה של תנועה מעגלית:

1. דרך וזווית:

נסתכל על גוף המבצע תנועה מעגלית. הגוף נע מנקודה A לנקודה B.

S היא הדרך (אורך המסלול, אורך הקשת) שהגוף עבר (S נמדד ביחידות אורך – מטר).

q היא הזווית המרכזית הנשענת על הקשת S. הזווית נמדדת ב - "יחידות רדיאן" - rad (אחרת יש קצת בעיות בגזירה של הזווית). את היחידות סימנתי במרכאות, כיוון שלמעשה, רדיאן חסרת יחידות (או מטר לחלק למטר).

הגדרה של רדיאן היא היחס בין אורך הקשת S לרדיוס R. כלומר: q = S / R או:

S = R ´ q

כך, כאשר S = R הזווית היא בעלת רדיאן אחד. במעגל שלם אורך הקשת היא S = 2pR ולכן q = 2pR / R = 2p. כלומר: במעגל שלם הזווית המרכזית היא בעלת 2p רדיאנים. מכאן ניתן להסיק שהקשר בין רדיאנים למעלות הוא

360° = 2p rad או 180° = p rad. לפיכך כדי לעבור מרדיאנים למעלות יש לכפול ב - 180° ולחלק ב - p rad. דוגמה:

1 rad = 1 ´ 180 / p = 57.30°

כדי לעבור מיחידות מעלה לרדיאנים, יש לכפול ב - p rad ולחלק ב - 180°. דוגמה:

60° = 60 ´ p / 180 = 1.047 rad.

הדרך S היא סקלר. היא מייצגת את אורך המסלול שעבר גוף בזמן מסוים. יחידות המידה הן מטר.

הזווית q יכולה להיחשב כווקטור (בלימודים יותר מתקדמים). ווקטור זה ניצב למישור התנועה (מקביל לציר הסיבוב). כאן נתייחס אל הזווית כאל סקלר. יחידות הזווית הו רדיאן, או בלי יחידות. הזווית היא המקבילה של הדרך בתנועה מעגלית או תנועה סיבובית.

הקשר בין התכונה הקווית S לתכונה הזוויתית q הוא S = R ´ q.

2. מהירות ממוצעת קווית ומהירות ממוצעת זוויתית:

מהירות ממוצעת קווית (סקלרית) מוגדרת לפי: V = DS / Dt ביחידות מטר לשנייה. משמעות המהירות היא הדרך שעובר הגוף במשך שנייה אחת. אם המהירות היא V = 2 m/s, זה אומר שהגוף יעבור דרך של 2 מטר במשך שנייה אחת.

באופן מקביל מגדירים את המושג מהירות ממוצעת זוויתית, המחושבת לפי w = Dq / Dt. כאן Dq היא "הדרך הזוויתית" שעובר הגוף ביחידות רדיאן, Dt הוא משך הזמן ביחידות שנייה ו- w היא המהירות הזוויתית הממוצעת ביחידות רדיאן לשנייה. משמעות המהירות הזוויתית היא הזווית (המרכזית הנשענת על הקשת S) במשך שנייה אחת. אם המהירות הזוויתית היא w = p rad/s, זה אומר שהגוף ביצע במשך שנייה אחת תנועה מעגלית, כך שהזווית המרכזית היא בת p rad, כלומר חצי מעגל (180°).

3. מהירות רגעית קווית ומהירות רגעית זוויתית:

המהירות הקווית הרגעית הסקלרית מוגדרת כמו המהירות הממוצעת הסקלרית, אך בזמן אפסי Dt -> 0 (כמו שהגדרנו בקינמטיקה של תנועה קווית). לכן נוכל לרשום V = dS/dt = S'.

המהירות הקווית הווקטורית הרגעית מוגדר לפי V = dx/dt. גודל המהירות הקווית הווקטורית הרגעית הוא כגודל המהירות הקווית הסקלרית הרגעית. כיוון המהירות הקווית (תמיד!) משיק למסלול התנועה (כלומר משיק למעגל).

המהירות הזוויתית הרגעית מוגדרת לפי w = dq/dt = q' (כיוון לפי כלל יד ימין – כיוון מקביל לציר הסיבוב. אנחנו לא נייחס כיוון למהירות הזוויתית). גזירה של הקשר S = R ´ q (R קבוע) תיתן:

הקשר בין המהירות הקווית V למהירות הזוויתית w הוא V = R ´ w.

4. תאוצה משיקית ותאוצה זוויתית:

תאוצה משיקית סקלרית רגעית מוגדרת לפי a_t = dV/dt = d²S/dt² = S" (כאן a_t היא התאוצה המשיקית). משמעות התאוצה המשיקית היא קצב שינוי בגודל המהירות הקווית. יחידות התאוצה המשיקית הן מטר לשנייה בריבוע.

כיוון תאוצה משיקית ווקטורית רגעית משיק למסלול המעגלי. גודל התאוצה המשיקית הווקטורית הוא כגודל התאוצה המשיקית הסקלרית.

התאוצה הזוויתית מוגדרת לפי a = dw/dt = d²q/dt² = q" (כאן a היא התאוצה הזוויתית). יחידות התאוצה הזוויתית הן רדיאן לשנייה בריבוע. אנחנו לא נתייחס לכיוון התאוצה הזוויתית (מקביל לציר הסיבוב). גזירה של הקשר V = R ´ w (R קבוע) תיתן:

הקשר בין התאוצה המשיקית a_t לתאוצה הזוויתית a הוא a_t = R ´ a.

5. תאוצה רדיאלית:

תאוצה רדיאלית (מרכזית, צנטריפטלית) היא תאוצה שתמיד מכוונת למרכז המעגל. בגלל תאוצה זאת הגוף משנה את כיוון תנועתו (לא את גודל המהירות).

כאן אתן את גודל התאוצה הרדיאלית ללא הוכחה: a_r = V²/R = w² ´ R.

תנועה מעגלית קצובה:

תנועה מעגלית קצובה היא תנועה מעגלית בגודל מהירות קווית קבוע (זאת אומרת מהירות זוויתית קבועה, אין תאוצה זוויתית או משיקית, אבל יש תאוצה רדיאלית). עבור תנועה מעגלית קצובה נגדיר:

1. זמן סיבוב T (בהרחבה: זמן מחזור, זמן הקפה) הוא הזמן שגוף מבצע תנועה של סיבוב שלם (הקפה מלאה). הזמן נמדד בשניות.

קיים הקשר: T = 2p/w. או T = 2pR/V

2. תדירות סיבוב f מבטא את מספר הסיבובים שעובר הגוף במשך שנייה אחת. התדירות נמדדת בסיבובים לשנייה (ובהרחבה מחזורים לשנייה). יחידה זאת נקראת על שם הרץ (H_z).

קיים הקשר: f = 1/T = w/2p.

תנועה סיבובית והקשר לתנועה מעגלית:

לגבי גוף המסתובב סביב ציר כלשהו, ניתן להתייחס לתכונות הזוויתיות: זווית שיסתובב בזמן מסוים q, מהירות זוויתית w, תאוצה זוויתית a, זמן מחזור T ותדירות f. כל המושגים האלו זהים להגדרות תנועה מעגלית.

כאשר גוף מסתובב סביב ציר סיבוב כלשהו (ללא תנועות נוספות), כל נקודה על הגוף מבצעת תנועה מעגלית, בעלת אותם ערכים זוויתיים כמו סיבוב הגוף. כך, למשל, המהירויות הזוויתיות של הנקודות A ו- B בשרטוט שוות ביניהן ושוות למהירות הזוויתית של הגוף. לעומת זאת התכונות הקוויות: דרך S, מהירות קווית V, תאוצה משיקית a_t ותאוצה רדיאלית a_r, שונות לכל נקודה.

דוגמה:

גוף A מחובר לחוט הכרוך סביב גלגלת המקובעת למקומה. אם הגלגלת מאיצה בתאוצה זוויתי a, אזי כל נקודה הנמצאת במרחק R מציר הסיבוב של הגלגלת מאיצה בתאוצה משיקית:

a_t = R ´ a

אם החוט כרוך סביב הגלגלת ברדיוס R – תאוצת הגוף A תהיה גם היא

a_A = R ´ a

משוואות קינמטיקה עבור תאוצה זוויתית קבועה:

q = q_o + w_ot + ½at²

w = w_o + at

w² = w_o² + 2a(q - q_o)

כאשר q_o היא הזווית ההתחלתית, w_o היא המהירות הזוויתית ההתחלתית, q היא הזווית ברגע מסוים, w היא המהירות הזוויתית ברגע מסוים, a היא התאוצה הזוויתית ו- t הוא הזמן. אם הזמן התחיל לא ברגע t = 0 יש לתקן את המשוואות!